4. Позиционные задачи

56. Построить точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость, если: прямая l горизонтально-проецирующая, а плоскость ABC – общего положения (рис. 137).

Рис. 137

57. Построить линию пересечения плоскости ABC и фронтально-проецирующей плоскости G (рис. 138).

Рис. 138

58. На какой глубине при вертикальном бурении из точки D поверхности земли встретится пласт, плоскость которого определена точками A, B, C (рис. 139).

Рис. 139

59. Построить точку пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения, заданной треугольником ABC (рис. 140).

Рис. 140

Решение

Алгоритм графического решения состоит из следующих элементарных операций: Через данную прямую l проводим вспомогательную плоскость Г, в большинстве случаев проецирующую. Пусть это будет фронтально - проецирующая плоскость Г  l. Строим линию пересечения данной плоскости ABC и вспомогательной плоскости Г: MN = (ABC) Г. Прямая MN определяется точками пересечения сторон АВ и ВС треугольника ABC с плоскостью Г.

А₂В₂ Г₂ = М₂

В₂С₂ Г₂ = N₂

M₂  N₂ = M₂N₂

С помощью линий связи на А₁В₁ и B₁C₁ находим точки M₁ и N₁, которые определяют горизонтальную проекцию линии пересечения (M₁N₁). Находим точку К пересечения прямой l с построенной прямой MN.

К = MN  l

l₁M₁N₁ = K₁

К₂ Є M₂N₂.

Точка К является искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью ABC.

Определим видимость методом конкурирующих точек.

Возьмём на пересечении горизонтальных проекций l₁ и А₁С₁ прямых l и АС пару конкурирующих точек 1 и 2, горизонтальные проекции которых совпадают, т.е. 1₁=2₁. Найдём фронтальные проекции этих точек, проводя линии связи через точки 1₁ и 2₁. Пусть точка 1  l и 2  АС. Тогда 1₂  l₂ и 2₂  А₂С₂. Так как высота точки 1 больше, чем у точки 2, т.е. , то точка1₁  l₁ - видимая, а точка l₁  A₁C₁ - невидимая. Итак, прямая l₁ видима на П₁ до точки K₁, а после этой точки до прямой А₁В₁ - невидимая.

Аналогично устанавливается видимость на фронтальной проекции с помощью конкурирующих точек 3 и 4.

60. Определить точки, в которых мачта АВ антенны и её растяжки АС, АD, АЕ пересекают кровлю (рис. 141).

Рис. 141

61. Построить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (рис. 142).

Рис. 142

62. Построить линию пересечения двух плоских фигур, заданных треугольниками ABC и DEK (рис. 143).

Рис. 143

Решение

Известно, что две плоские фигуры всегда пересекаются по прямой линии, которая определяется двумя точками. Таким образом, надо найти две общие точки у треугольников ABC и DEK. Этими точками могут быть точки пересечения, например, стороны DK с плоскостью треугольника ABC и стороны АВ с плоскостью треугольника DEK. Таким образом, решение задачи сводится к двукратному выполнению первой основной позиционной задачи. Для этого, например, через прямую DK проведём горизонтально-проецирующую плоскость α (α₁). Построим прямую 1-2 пересечения плоскости треугольника ABC и плоскости α. Определяем точку M (M₁, M₂) пересечения прямых 1₂2₂ и D₂K₂. Аналогично находятся и точка N (N₁, N₂) пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника DEK, для чего через АВ проведена фронтально-проецирующая плоскость  (₂), Точки M (M₁, M₂) и N (N₁, N₂) соединим прямой, которая и является искомой линией пересечения плоскостей. Затем определим видимость методом конкурирующих точек, как и в предыдущей задаче.

63. Построить линию пересечения двух плоских фигур АВС и DEF и определить их видимость (рис. 144).

Рис. 144

64. Построить линию пересечения АВС и плоскости, заданной параллельными прямыми ED и FG (рис. 145).

Рис. 145

65. Построить линию пересечения плоских откосов α (a || b) и  (l || m) (рис. 146).

Рис. 146

66. Построить линию пересечения плоскостей Γ (a || b) и Δ (l || m) крыши (рис. 147).

Рис. 147