9.2. Основная теорема аксонометрии (теорема Польке).

Любые три отрезка, взятые в одной плоскости, исходящие из одной точки под разными углами, могут быть приняты за параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков пространства (рис. 85).

Рис. 85

Это означает, что задав на плоскости П’три проходящие через одну точку несовпадающие прямыеO’X’,O’Y’,O’Z’и отложив на них три отрезка произвольной длины, можно утверждать, что всегда найдется такое направление проецирования, при котором указанная фигура может рассматриваться как параллельная проекция трех взаимно перпендикулярных осей координатOXYZс отложенными на них соответственно равными единичными отрезками

e_x = e_y = e_z = 1.

Следствие из этой теоремы. Любые три прямые на плоскости, исходящие из одной точки под разными углами, с взятыми на них масштабами, могут быть приняты за аксонометрические оси.

9.3. Прямоугольная аксонометрическая проекция и ее свойства.

Спроецируем ортогонально все элементы натуральной системы координат OXYZна плоскостьП’(рис. 86).

Рис. 86

Пусть координатные оси OX,OY,OZпересекут плоскостьП’в точкахА,ВиСсоответственно. ТреугольникАВСназывается треугольником следов.

Рассмотрим свойства прямоугольной аксонометрии.

1. Сумма квадратов показателей искажения равна двум:

k² + m² + n² = 2. (8)

Пусть (O’X’Y’Z’,е’_х,е’_у,е’_z) – прямоугольная аксонометрическая проекция натуральной системы координатOXYZ. Обозначим углы:

OX П’ =,OY П’ =,OZ П’ = ,

= OX OO’, = OY OO’, = OZ OO’.

Углы ’,’,’ называют направляющими углами. Из прямоугольных треугольниковОО’A,OO’B,OO’C следует, что,,.

Из курса аналитической геометрии известно, что сумма квадратов косинусов направляющих углов равна единице, т.е.:

. (9)

Подставив значения ,,в выражение (9), получим:

или

, или

, откуда

. (10)

Но, так как ,,, тоk² + m² + n² = 2.

2. Аксонометрические оси являются высотами треугольника следов. Покажем, что ось O’Z’ сторонеАВ: в самом деле,OZ плоскостиXOY, следовательно, чтоO’Z’ XOY, но тогдаO’Z’ AB. Аналогично доказывается, чтоO’X’ BC,O’Y’ AC.

3. Треугольник следов всегда остроугольный.

4. Аксонометрические оси в прямоугольной аксонометрии образуют между собой тупые углы. Эти свойства доказываются очень легко.

9.4. Стандартные аксонометрические системы.

Из всего множества аксонометрических проекций государственным стандартом (ГОСТ 2.317-69) рекомендуется применять лишь пять: две ортогональные аксонометрические проекции (изометрия и диметрия) и три косоугольные. Рассмотрим их по порядку.

Прямоугольная изометрическая проекция. Имеем в изометрииk = m = n. Отсюда,, и тогда, т.е. оси натуральной системы координат наклонены к плоскости проекций под равными углами. Отсюда следует, что треугольник следов в прямоугольной изометрии – равносторонний, а в равностороннем треугольнике углы между высотами (на которых лежат аксонометрические оси) равны 120⁰.

Найдем, чему равны показатели искажения. Из формулы следует, что3k² = 2,k = m = n = 0,82. Для упрощения построений коэффициентыk = m = nокругляют доK = M = N = 1. Такую аксонометрию называют приведенной или практической. Она дает увеличение в 1/0,82 = 1,22 раза.

Окончательно имеем следующее расположение осей координат и коэффициентов искажения (рис. 87)

Рис. 87