Boyarshinov_ChM_T1

погрешности. Прецизионные измерения обеспечивают погрешность в пределах 10-8 - 10-10 %.

Как и в предыдущем случае, погрешности измерения вносят неустранимые искажения в результаты решения задач. В связи с этим имеет смысл накладывать ограничения и на точность выполнения математических вычислений: погрешность вычислений должна быть меньше погрешности измерения примерно в 10 раз. Более высокая точность вычислений является бессмысленной из-за наличия погрешностей представления исходных данных.

Погрешность численного метода

Погрешность метода решения задачи на вычислительной машине определяется неточностью замены алгебраического, дифференциального или интегрального оператора в исходном уравнении поставленной задачи приближенным (линейным или разностным).

Например, при замене интеграла конечной суммой:

под графиком заменяется суммой площадей соответствующих прямоугольников (рис 1.2).

Очевидно, что при приближенном определении значения интеграла появляется погрешность, определяемая величиной “лишних” частей взятых прямоугольников. Чем меньше шаг интегрирования h, тем выше точность вычисления значения интеграла.

Рис. 1.2. Схема численного интегрирования

Аналогичная ситуация имеет место при замене производной разностным аналогом

(рис. 1.3):

df f(x h) f(x) . dx h

Понятно, что в этом случае погрешность замены производной разностным аналогом также уменьшается с уменьшением величины шага h. Иначе говоря, при использовании

11

численных методов погрешность решения является регулируемой: при корректном построении разностной аппроксимации исходного уравнения всегда имеется некоторый параметр, варьированием которого можно регулировать величину погрешности получаемого результата.

x x+h

Рис. 1.3. Схема численного дифференцирования

Вместе с тем следует иметь в виду, что повышение точности решения модели приводит к ощутимому повышению затрат ресурсов ЭВМ (времени проведения вычислений и оперативной памяти). Поэтому необходимо придерживаться “золотой середины”:

достижение приемлемых затрат ресурсов при получении удовлетворительной точности.

Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах

Оценка погрешности результата вычисления при заданной ошибке в представлении данных может быть проведена следующим образом. Пусть x - точное значение, а ~x -

приближенное значение той же переменной. Обозначим абсолютную погрешность d в

определении переменной разностью

~

x x.

Поскольку точное значение x неизвестно, введем “верхнюю” оценку D для величины погрешности: D . Определим также величину относительной погрешности

Абсолютная погрешность делится на приближенное значение переменной, поскольку ее точное значение неизвестно.

Погрешности округления чисел в ЭВМ

12

Округлением будем называть операцию замены заданного числа другим числом,

первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного

числа, а начиная с S+1 разряда содержат нули.

Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд округленного числа, в

зависимости от ситуации, может добавляться единица.

Пусть, например, x=123456789, тогда при S=7 округленное число принимает значение

~ ~

x 123456700. В этом случае погрешность округления равна x x 89 100 D , то есть

не превышает единицы (с соответствующим порядком) в младшем разряде округленного числа.

Всякое вещественное число в компьютере представляется в нормализованном виде x =

a pb, где p - основание, b - показатель степени (целые числа), a - мантисса (вещественное число). Для определенности и однозначности будем считать p=10, 0,1 a 1,0. Ошибки

округления появляются при хранении именно мантиссы вещественного числа. В

представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7

значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8

байт) или 19 (10 байт).

Рассмотрим оценки погрешности округления при S=7. Округленное число представляется в виде 0,XXXXXXX 10b , где под символом X может пониматься любая

цифра от 0 до 9. Очевидно, что абсолютная погрешность определяется значением

Для всех чисел, представимых в электронно-вычислительной машине, относительная погрешность одна и та же, что очень существенно при получении оценок погрешностей математических моделей.

Погрешность результатов вычисления арифметических операций

13

Оценим погрешность результата сложения двух чисел, заданных с ошибкой:

Для определения абсолютных погрешностей операций умножения и деления двух

чисел проведем соответствующие выкладки:

~~

1x2 2 x1 1 2;

Оценим относительные погрешности результатов умножения и деления:

В последних выражениях учитывается, что величины 1, 2 1.

Таким образом, при выполнении арифметических операций сложения и вычитания складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении -

относительные погрешности.

“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на ЭВМ

Пусть w - наименьшее положительное число, представимое в ЭВМ; w 11754943, 10 38

при использовании 4 байт, и w 22250738585072014, 10 308 при 8-байтовом представлении

приближение истинного числа в компьютере равно ~x 0. Но это означает, что имеет место катастрофическая потеря точности арифметических вычислений:

С другой стороны, пусть W - наибольшее положительное число, представимое в ЭВМ.

Все действительные числа |x| > W нельзя представить в нормализованной форме.

14

соответствии с определением относительной погрешности приближенное значение

переменной можно представить в виде ~x x . Приближенный (округленный) результат

1

произведения двух первых чисел в указанном выражении может быть оценен формулой

относительной погрешности вычисления всего результата 0,0998501 % . При перемножении

1 000 000 сомножителей погрешность может достигнуть 63,212 % . На практике такого катастрофического нарастания погрешности, как правило, не наблюдается в силу того, что погрешности округления могут иметь разные знаки и зачастую компенсируют друг друга.

Контрольные вопросы и задания

Дайте определение понятиям “математическая модель”, “вычислительный эксперимент”, “алгоритм”, “компьютерное моделирование”.

Опишите этапы выполнения вычислительного эксперимента.

Укажите причины погрешностей математической модели. Какие из них являются неустранимыми, а какие - регулируемыми?

Объясните причины погрешности исходных данных.

Что понимается под погрешностью численного метода?

Как оценить величину погрешности вычислений на ЭВМ?

Какую погрешность, относительную или абсолютную, целесообразно оценивать и почему?

15

2 . С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И Й

Система m линейных алгебраических уравнений представляется в виде

Система уравнений (2.1) имеет единственное решение, если определитель det(A)

отличен от нуля. В развернутой (компонентной) записи эта система уравнений имеет вид

Прямые методы решения

Прямыми называют методы решения систем линейных алгебраических уравнений, для которых результат получается за конечное, заранее определенное, число арифметических операций. Наиболее популярным среди них является метод Гаусса5.

Метод Гаусса

Рассмотрим процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса на следующем примере:

Геттингенского университета, а также должность директора Геттингенской астрономической обсерватории.

С 1802 года являлся иностранным (с 1824 - иностранным почетным) членом Петербургской академии наук.

17

2x1 4x2 6x3 8,1x1 4x2 1x3 12,2x1 6x2 0x3 14.

что гарантирует единственность решения.

1 шаг. Первая строка системы уравнений делится на первый коэффициент:

1x1 2x2 3x3 4,1x1 4x2 1x3 12,2x1 6x2 0x3 14.

2 шаг. Первая строка вычитается из второго уравнения:

1x1 2x2 3x3 4,0x1 2x2 4x3 16,2x1 6x2 0x3 14.

3 шаг. Из третьего уравнения вычитается первая строка, умноженная на 2:

1x1 2x2 3x3 4,0x1 2x2 4x3 16,0x1 2x2 6x3 22.

4 шаг. Второе уравнение делится на 2:

1x1 2x2 3x3 4,0x1 1x2 2x3 8,0x1 2x2 6x3 22.

5 шаг. Из третьего уравнения вычитается второе уравнение, умноженное на 2:

1x1 2x2 3x3 4,0x1 1x2 2x3 8,0x1 0x2 2x3 6.

18

Таким образом, получено решение исходной системы уравнений.

Теперь рассмотрим процедуру получения решения методом Гаусса в более общем случае. Пусть a11 0. Тогда первое уравнение системы (2.2) можно поделить на этот коэффициент:

В результате преобразований получена подсистема (m-2) уравнений с (m-2)

неизвестными:

19

Снова выполняется следующий шаг по понижению порядка системы алгебраических уравнений, и так далее, до тех пор, пока вся система уравнений не будет преобразована к виду

1 x1 c12 x2 c13 x3 c1m xm y1,

В результате всех произведенных выкладок матрица коэффициентов А системы алгебраических уравнений приведена к виду

- “верхняя” треугольная матрица6, укоторой равны нулю все элементы, расположенные под главной диагональю. Процедура получения такой матрицы носит название “прямого хода” метода Гаусса. Очевидным условием для успешного выполнения “прямого хода” является a(jjj 1) 0, j 1,m .

“Обратный ход” метода позволяет определить искомые величины:

6 Обозначение матрицы U принято по первой букве английского слова upper - “верхний”.

20