Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

ck 1hk 1 ckhk 23 ck 1

ck hk 1 31 ck ck 1 hk

f xk 1 f

xk

f xk f

xk 1

 

k 1,n 1.

2

hk 1

 

 

hk

 

,

 

 

 

 

 

 

Приводя подобные слагаемые и учитывая условия (4.14) и (4.15), получаем

ck 1hk 2ck hk hk 1 ck 1hk 1

 

f xk 1 f xk

f xk f xk 1

 

 

 

 

k 1,n 1,

(4.17)

6

hk 1

 

,

 

 

hk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

cn 0.

 

 

 

 

c0

 

 

 

 

В итоге всех преобразований получена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. После определения всех неизвестных величин ck , k 0,n определяются остальные коэффициенты сплайнов

 

 

c

k

c

k 1 ,

 

 

 

 

dk

 

hk

 

 

 

 

 

 

fk ,

 

 

 

 

 

ak

 

 

 

 

 

 

 

b

ck

h

k

dk h2

fk

fk 1 ,

k 1,n .

 

k

2

 

6

k

 

hk

 

 

 

 

 

 

 

 

Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами

Покажем, что при неограниченном увеличении числа n узлов на отрезке [a,b]

последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции.

Для упрощения рассмотрим последовательность сеток с равномерными

расположениями узлов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n xi

a h i,

i 0,n ,

h b a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

В этом случае система уравнений (4.17) принимает более простой вид

c

4c

k

c

 

6

 

f x

 

2f x

k

f x

 

,

k 1,n 1,

 

k 1

 

k 1

h

2

 

k 1

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть аппроксимируемая функция f(x) непрерывна вместе со своими производными вплоть до четвертого порядка, то есть f C(4) a,b , а также имеют место равенства

f (a) 0,

f (b) 0.

Обозначим:

109

g a,b

maxg(x)

 

 

 

 

x a,b

 

 

max (xk )

Wn

xk Wn

 

1

fxx,k h2 f xk 1 2f xk f xk 1

M4 fIV[a,b] .

-чебышевская норма на отрезке [a,b];

-чебышевская норма на сеточной области n ;

-разностный аналог второй производной аппроксимируемой функции f(x);

Теперь система уравнений (4.17) выглядит следующим образом:

 

 

 

ck 1 6fxx,k ,

k 1,n 1,

ck 1 4ck

 

 

 

 

 

(4.18)

c

0

0, c

n

0.

 

 

 

 

 

Лемма 4.1. Для всех f(x) C(4) a,b справедлива оценка

f S

3M

4h2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 4

 

Доказательство. В силу определения введенной нормы на сеточной области

необходимо проверить точки xk , для которых S xk ck .

 

 

 

Обозначим погрешность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

k

c

k

 

x

k

k 0,n

.

 

 

 

 

 

 

f

 

,

 

 

 

 

Для k = 0 и k = n, в частности, z0 zn

0.

 

 

 

 

 

Уравнения (4.18) в новых обозначениях принимают вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4f xk f xk 1 ,

k 1,n 1,

zk 1 4zk zk 1 6fxx,k f xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.19)

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0 0, zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

6fxx,k f xk 1 4f xk f xk 1

 

(4.20)

6 fxx,k f xk f xk 1 4f xk f xk 1 6f xk

6 fxx,k f xk f xk 1 2f xk f xk 1 6 fxx,k f xk f xx,k h2 ,

причем

f xx,k

 

f xk 1 2f xk f xk 1

h2

- разностный аналог второй производной функции f x в точке xk 1 .

Воспользуемся формулами Тейлора:

110

f

 

x

k 1

 

f

 

x

k

 

 

 

 

 

x

k

 

h2

 

x

k

 

h3

 

x

k

 

h4

k

 

 

 

 

 

 

 

x

k

,x

k 1

 

,

 

 

 

 

 

2

6

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hf

 

 

 

 

f

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

fiv

 

 

,

 

 

 

 

 

 

f

 

x

k 1

 

f

 

x

k

 

 

 

 

 

x

k

 

h2

 

x

k

 

h3

 

x

k

 

h4

k

 

 

 

 

 

 

x

k 1

,x

k

 

.

 

 

 

 

 

2

6

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hf

 

 

 

 

f

 

 

 

 

f

 

 

 

 

fiv

 

 

,

 

 

 

 

 

Аналогичным образом построим разложение для функции f (x):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

x

k

 

 

 

 

 

 

k

h2

 

 

 

 

 

 

x

k

,x

k 1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

f

 

 

hf x

 

 

 

 

fiv

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

x

k

 

 

 

 

x

k

h2

k

 

 

 

 

 

 

 

x

k 1

,x

k

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

f

 

 

 

hf

 

 

 

 

 

 

fiv

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можно оценить разностные аппроксимации производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

h

4

 

 

h

4

fiv

 

 

 

 

 

 

 

h

2

 

fiv fiv ,

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fiv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx,k

h2f x

k

 

 

 

 

f x

k

 

 

 

 

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

k

 

 

 

24

 

k

 

 

 

 

 

 

 

24

k

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

fiv h

2

 

 

 

1

 

fiv fiv .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx,k

 

h

 

 

 

fiv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

2

 

 

2

 

k

 

 

 

 

2

 

k

 

 

2

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим полученные выражения в формулы (4.20):

k 6 fxx,k f xk f xx,k h2 6fxx,i f xk f xx,k h2

 

 

 

 

1

 

 

2

iv

 

 

1

2

 

 

iv

 

1

2

 

iv

 

1

 

2

iv

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4h

 

 

fk

4h

 

 

fk

2h

 

fk

2h

 

fk

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

k

h2

maxfiv

 

 

 

maxfiv

 

2maxfiv

 

 

2maxfiv

 

 

 

 

Wn

x

W

n

 

 

 

 

4

 

W

k

 

 

 

W

n

k

 

W

n

k

 

W

k

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

6h2

f

 

3M

4

h2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Wn

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь, согласно формулам (4.19), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4zk k zk 1 zk 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4zk

k zk 1

zk 1

max k maxzk 1

max zk 1

 

n

2 z

 

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk n

 

 

xk n

 

 

 

xk n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку эта оценка имеет место во всех точках сеточной области

 

n , то она

справедлива и в точке, где

 

 

zk

 

достигает максимума, то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zk zk n .

Следовательно,

4z n n 2z n ,

111

 

 

 

 

 

z 1

3M4h2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

n

4

 

 

 

 

 

откуда сразу следует утверждение леммы 4.1.

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.3. Для любой функции

f C(4) a,b

справедливы оценки:

 

 

 

 

 

 

f S a,b

M4h4

,

 

 

 

(4.21)

 

 

 

 

 

f S a,b M4h3 ,

 

 

 

(4.22)

 

 

 

 

 

f S a,b

M4h2 .

 

 

 

(4.23)

Доказательство. Рассмотрим

произвольный

отрезок xk 1,xk , k 1,n. Согласно

определению сплайна (4.8), а также учитывая формулы (4.11), получаем

 

 

 

 

c

c

x xk

 

x xk 1

 

xk x

1 ck 1,

Sk x ck dk x xk ck

k h

k 1

ck

h

ck 1

h

ck

 

 

 

 

 

a x xk ,

0 a 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

Несложно проверить справедливость следующего тождества:

 

 

f x S x

 

f xk ck 1 f xk 1

ck 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.24)

 

 

f x f xk

1 f x f xk 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим первое слагаемое в правой части (4.24) :

f xk ck 1 f xk 1 ck 1 f xk ck 1 f xk 1 ck 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k

c

k

 

 

 

maxf

 

x

 

c

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

maxf

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk Wn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk Wn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f S

 

1

 

f S

3M

 

h2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

Wn

 

 

 

 

 

k 1 Wn

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем оценку второго слагаемого. Согласно формуле Тейлора

 

 

 

 

 

 

 

 

f xk f x xk

x f x xk

x 2

fiv k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x

k 1

f

x

 

 

 

x

 

x f x

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

x

 

,x

k

.

k 1

 

 

k 1

 

fiv

 

 

 

k

k

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем соотношения для разностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x f xk x xk f x xk

x 2

fiv k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

112

f x f xk 1 x xk 1 f x xk 1 x 2 fiv k . 2

Теперь можно преобразовать второе слагаемое в правой части формулы (4.24):

f x f xk 1 f x f xk 1

 

x

 

x 2

 

 

x

 

 

x 2

 

x xk f x

 

k

2

fiv k 1 x xk 1 f x

 

k 1

 

fiv k

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x x xk 1 x xk 1 12 x xk 2 fiv k 1 x xk 1 2fiv k

f x 1 h 1 h 12 h2 1 2 fiv k 1 2h2fiv k

1 h2 1 1 fiv k fiv k .

2

Произведем оценку:

f x f xk 1 f x fk 1

 

1 h2 1 1 fiv

 

k

 

fiv

k

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

fiv

 

 

max

 

 

 

 

 

1 h2

1

 

 

1

 

k

 

 

k

fiv

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

,x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

,x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M4 h2 1 M4 h2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При выводе последнего соотношения учтено, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

fiv

 

x

 

max fiv

 

x

 

M

4

,

a 1 a

 

 

1

 

 

x x

k 1

,x

k

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Теперь можно оценить левую часть тождества (4.24):

f x Sk x 3M4h2

M4h2

7M4h2

M4h2,

x xk 1,xk . (4.25)

4

8

8

 

 

Учитывая, что выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно использовать и для оценки погрешности f x S x на всем участке a,b :

f x S x M4h2 .

Отсюда получаем

f S a,b max f x S x M4h2 ,

x a,b

то есть утверждение (4.23) теоремы.

113

Для доказательства соотношения (4.22) введем на отрезке xk 1,xk вспомогательную функцию r x f x Sk x . В силу определения сплайна, r xk 1 r xk 0. Но тогда, в

соответствии с теоремой Ролля29, существует хотя бы одна точка xk 1,xk , r 0.

В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно произвести оценку

r x r x r r x r h ,

откуда, с учетом соотношения (4.25), получаем

f x Sk x f Sk h M4h3 .

Поскольку это неравенство справедливо на любом отрезке xk 1,xk , с его помощью можно получить получить утверждение (4.22) теоремы:

f S a,b max f x Sk x M4h3 .

x a,b

Для получения последнего утверждения (4.21) построим на отрезке xk 1,xk функцию

g t f t Sk t K t xk 1 t xk .

Из условия обращения этой функции в нуль для произвольно выбранного значения x xk 1,xk

g x f x Sk x K x xk 1 x xk 0

определим значение константы

f x Sk x K x xk 1 x xk .

Очевидно, что теперь

g x g xk g xk 1 0.

Это означает, что существует хотя бы одна точка xk 1,xk , g 0. Отсюда получаем

g f Sk 2K 0,

f Sk 2K 2 f x Sk x ,

x xk 1 x xk

29 Ролль Мишель [21.4.1652 - 8.11.1719] - французский математик. С 1685 года является членом Парижской

академии наук.

Теорема Ролля, [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале a,b , дифференцируема во всех его

внутренних точках и имеет на концах интервала равные значения, то существует хотя бы одна точка

a,b , f 0.

114

f x Sk x 12 f Sk x xk 1 x xk .

Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки x xk 1,xk :

f x Sk x 1 f Sk x xk 1 x xk M4h2

x xk 1

x xk M4h2 h2 .

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

4

Здесь учтено, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x ,x

 

 

k 1

 

 

k

h2

 

 

x x

x x

.

 

 

max

k

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Поскольку последнее неравенство справедливо для любого x xk 1,xk , получим

выражение (4.21) теоремы:

f S a,b max f x Sk x M84h4 M4h4 ,

x a,b

что и требовалось доказать.

115

Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве

Рассмотрим линейное нормированное пространство H, в котором задана конечная система линейно-независимых элементов k H, k 0,n . Требуется заменить некоторый элемент f H линейной комбинацией

 

 

n

 

 

j c0j0

c1j1 cnjn

ckjk ,

(4.26)

 

 

k 0

 

 

где j - обобщенный многочлен.

 

 

 

 

Задача о наилучшем приближении заключается в поиске среди множества линейных

 

 

 

n

 

комбинаций вида (4.26) такой, для которой отклонение

f ckjk

было бы наименьшим.

 

 

 

k 0

 

 

~

n

 

 

Такой элемент (обобщенный

~

является

элементом наилучшего

полином) j

ckjk

k 0

приближения.

Пусть H - гильбертово пространство с нормой, порожденной скалярным произведением

b

f,g H f x g x dx,

 

a

 

 

 

f

f,f 1 2

b

f2

1 2

 

(x)dx .

H

H

 

 

 

 

 

a

 

 

Рассмотрим отклонение приближения (4.26) от элемента f :

f H2

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

f ck k ,f cp

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

p 0

 

H

 

 

 

 

 

 

f,f H

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

n

 

 

 

f, cp p

 

 

 

ck k

,f

 

 

ck k, cp p

 

 

(4.27)

 

 

p 0

 

 

H

k 0

 

 

H

k 0

p 0

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

 

 

 

 

f H2 2 ck f, k H ckcp k, p H

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

k 0 p 0

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

A - матрица с компонентами akp jk,jp H, k,p 0,n ;

c - вектор коэффициентов c0,c1, ,cn T ;

f - вектор f0,f1, , fn T, fk f,jk H, k 0,n .

Скалярное произведение векторов определим обычным образом:

117

n

 

 

u,v ukvk ,

u,v Rn 1 .

 

k 0

 

 

Теперь выражение (4.27) можно представить следующим образом:

 

f j 2H Ac,c 2 f,c f 2H .

(4.28)

Очевидно, что поиск элемента ~ наилучшего приближения сводится теперь к j H

поиску минимума функционала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(c) Ac,c 2 f,c ,

 

 

(4.29)

поскольку слагаемое f 2H

 

в выражении (4.28) от параметров ck ,

k 0,n не зависит.

 

 

 

Исследуем

свойства

матрицы

A.

Поскольку

akp jk,jp H

jp,jk H apk ,

то

очевидно, что матрица A симметрична.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если положить f = 0,

то из соотношения (4.28) можно получить:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ac,c j 2 0

c Rn 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

Если для какого-либо c Rn 1

имеет место равенство Ac ,c 0, то в силу j 2H

0

получаем,

что

j c j

0

cj

1

c j

n

0, и

из

условия

линейной

независимости

 

 

 

 

0

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

k

H, k 0,n

следует

:

 

c

0,

c 0,

,

c 0.

Но

это

означает,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

n

 

 

 

 

Ac,c 0

c 0, то есть матрица А является положительно определенной.

 

 

 

 

Теорема 4.4. Если А - симметричная положительно определенная матрица,

f -

заданный вектор,

то функционал (4.29)

имеет единственную точку минимума ~c тогда и

только тогда, когда вектор ~c удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений

~

 

(4.30)

Ac

f .

Доказательство. В силу положительной определенности матрица А имеет определитель, отличный от нуля, то есть система уравнений (4.30) разрешима и имеет

единственное решение.

 

 

 

 

 

Достаточность теоремы. Пусть ~c

является решением системы уравнений (4.30). Для

произвольного вектора v, согласно определению (4.29),

имеет место:

~

 

~

~

~

 

F c v A c v ,c v 2 f,c v

~ ~

~

~

Av,v

~

 

Ac,c

Ac,v Av,c

2 f,c

2 f,v .

Учитывая симметрию матрицы A и вид функционала (4.29), запишем

~

~ ~

~

 

~

 

F c v Ac,c 2 Ac,v Av,v

2 f,c

2 f,v

~ ~

~

 

 

 

~

Ac,c

2 Ac,v f,v Av,v 2 f,c

118

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]