Boyarshinov_ChM_T1

Приводя подобные слагаемые и учитывая условия (4.14) и (4.15), получаем

ck 1hk 2ck hk hk 1 ck 1hk 1

В итоге всех преобразований получена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. После определения всех неизвестных величин ck , k 0,n определяются остальные коэффициенты сплайнов

Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами

Покажем, что при неограниченном увеличении числа n узлов на отрезке [a,b]

последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции.

Для упрощения рассмотрим последовательность сеток с равномерными

Пусть аппроксимируемая функция f(x) непрерывна вместе со своими производными вплоть до четвертого порядка, то есть f C(4) a,b , а также имеют место равенства

Обозначим:

109

6 fxx,k f xk f xk 1 4f xk f xk 1 6f xk

6 fxx,k f xk f xk 1 2f xk f xk 1 6 fxx,k f xk f xx,k h2 ,

причем

- разностный аналог второй производной функции f x в точке xk 1 .

Воспользуемся формулами Тейлора:

110

Подставим полученные выражения в формулы (4.20):

k 6 fxx,k f xk f xx,k h2 6fxx,i f xk f xx,k h2

zk zk n .

Следовательно,

4z n n 2z n ,

111

Оценим первое слагаемое в правой части (4.24) :

f xk ck 1 f xk 1 ck 1 f xk ck 1 f xk 1 ck 1

112

f x f xk 1 x xk 1 f x xk 1 x 2 fiv k . 2

Теперь можно преобразовать второе слагаемое в правой части формулы (4.24):

f x f xk 1 f x f xk 1

f x x xk 1 x xk 1 12 x xk 2 fiv k 1 x xk 1 2fiv k

f x 1 h 1 h 12 h2 1 2 fiv k 1 2h2fiv k

1 h2 1 1 fiv k fiv k .

2

Произведем оценку:

f x f xk 1 f x fk 1

Теперь можно оценить левую часть тождества (4.24):

Учитывая, что выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно использовать и для оценки погрешности f x S x на всем участке a,b :

f x S x M4h2 .

Отсюда получаем

f S a,b max f x S x M4h2 ,

x a,b

то есть утверждение (4.23) теоремы.

113

Для доказательства соотношения (4.22) введем на отрезке xk 1,xk вспомогательную функцию r x f x Sk x . В силу определения сплайна, r xk 1 r xk 0. Но тогда, в

соответствии с теоремой Ролля29, существует хотя бы одна точка xk 1,xk , r 0.

В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно произвести оценку

r x r x r r x r h ,

откуда, с учетом соотношения (4.25), получаем

f x Sk x f Sk h M4h3 .

Поскольку это неравенство справедливо на любом отрезке xk 1,xk , с его помощью можно получить получить утверждение (4.22) теоремы:

f S a,b max f x Sk x M4h3 .

x a,b

Для получения последнего утверждения (4.21) построим на отрезке xk 1,xk функцию

g t f t Sk t K t xk 1 t xk .

Из условия обращения этой функции в нуль для произвольно выбранного значения x xk 1,xk

g x f x Sk x K x xk 1 x xk 0

определим значение константы

f x Sk x K x xk 1 x xk .

Очевидно, что теперь

g x g xk g xk 1 0.

Это означает, что существует хотя бы одна точка xk 1,xk , g 0. Отсюда получаем

g f Sk 2K 0,

f Sk 2K 2 f x Sk x ,

x xk 1 x xk

29 Ролль Мишель [21.4.1652 - 8.11.1719] - французский математик. С 1685 года является членом Парижской

академии наук.

Теорема Ролля, [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале a,b , дифференцируема во всех его

внутренних точках и имеет на концах интервала равные значения, то существует хотя бы одна точка

a,b , f 0.

114

f x Sk x 12 f Sk x xk 1 x xk .

Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки x xk 1,xk :

Поскольку последнее неравенство справедливо для любого x xk 1,xk , получим

выражение (4.21) теоремы:

f S a,b max f x Sk x M84h4 M4h4 ,

x a,b

что и требовалось доказать.

115

Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве

Рассмотрим линейное нормированное пространство H, в котором задана конечная система линейно-независимых элементов k H, k 0,n . Требуется заменить некоторый элемент f H линейной комбинацией

k 0

приближения.

Пусть H - гильбертово пространство с нормой, порожденной скалярным произведением

b

f,g H f x g x dx,

Рассмотрим отклонение приближения (4.26) от элемента f :

Введем обозначения:

A - матрица с компонентами akp jk,jp H, k,p 0,n ;

c - вектор коэффициентов c0,c1, ,cn T ;

f - вектор f0,f1, , fn T, fk f,jk H, k 0,n .

Скалярное произведение векторов определим обычным образом:

117

Очевидно, что поиск элемента ~ наилучшего приближения сводится теперь к j H

поиску минимума функционала

только тогда, когда вектор ~c удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений

Доказательство. В силу положительной определенности матрица А имеет определитель, отличный от нуля, то есть система уравнений (4.30) разрешима и имеет

118