Boyarshinov_ChM_T1

xm ym,

xm 1 ym 1 cm 1mxm,

k 2

Таким образом, “прямой ход” метода Гаусса можно трактовать как преобразование

Объединяя эти соотношения, получаем

LUx = f.

Сравнивая последнюю формулу с записью уравнения (2.1), можно сделать заключение,

что процедура метода Гаусса эквивалентна разложению исходной матрицы коэффициентов в произведение двух матриц специального вида:

L - нижняя треугольная матрица с ненулевыми коэффициентами на главной диагонали;

U - верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.

Обозначим угловые миноры матрицы А символами D j, j 1,m :

7 Обозначение матрицы L принято по первой букве английского слова lower - “нижний”.

21

Dm det(A).

Это означает, что возможность разложения (2.3), соответствующего условию теоремы,

показана для простейшего случая m=2. Теперь предположим, что условия теоремы

22

выполнены для случая (m-1), то есть имеет место разложение Am 1 Lm 1Um 1. Вводя обозначения

сравнивая результат со структурой матрицы Am , получаем систему (2m-1) алгебраических

значениями на главных диагоналях), существуют единственные решения первых двух

быть отлично от нуля. Для того, чтобы убедиться в этом, произведем следующие выкладки:

det(A) det(Am ) det(LmUm ) det(Lm ) det(Um) m m det(Lm 1) det(Um 1).

23

В силу того, что det(A) 0, det(Lm 1) 0, det(Um 1) 1, имеет место равенство

определители представлены разложениями соответственно по последнему столбцу и нижней строке.

Покажем единственность разложения (2.3). Предположим, что такое разложение

возможно не единственным образом, то есть

A L(1)U(1) L(2)U(2) .

Проводя простейшие преобразования, получаем

L(1) L(2)U(2)U(11) ,

L(12)L(1) U(2)U(11) .

Можно заметить, что поскольку исходные и обратные матрицы сохраняют свою

“треугольную” форму, в левой части последнего выражения расположена нижняя

треугольная матрица, а в правой части - верхняя треугольная. Но равенство в этом случае

Нулевое значение на главной диагонали матрицы вызывает аварийную остановку вычислительного процесса. Нетрудно убедиться, что для исходной матрицы А один из

успешного выполнения процедуры метода Гаусса следует поменять местами строки матрицы А (смена столбцов приведет к необходимости изменить порядок неизвестных),

например:

24

Приведение исходной матрицы к новому виду можно интерпретировать как некоторое преобразование вида A* P A. Для рассматриваемого случая

Теорема 2.2. Если определитель матрицы коэффициентов det(A) 0, то существует

Если a11 0, теорема справедлива при Р = Е , то есть в случае тождественного преобразования.

Пусть теперь a11 0. Поскольку det(A) a11a22 a12a21 a12a21 0, то a21 0.

Преобразуем исходную матрицу к виду

25

В силу сделанного предположения все угловые миноры матрицы Pm 1Am 1 отличны от нуля;

последний угловой минор Dm det(Am) det(A) 0 также отличен от нуля. В

рассмотренном частном случае теорема доказана.

2. Пусть теперь det(Am 1) 0.

Представим разложение определителя матрицы А в виде разложения по последнему

столбцу:

det(A) det(Am ) a1m det(A(m1) 1) a2m det(A(m2)1) am m det(A(mm)1) .

В силу det(A) 0, существует хотя бы один det(A(mk)1) 0. Поменяем местами строки матрица А с номерами m и k (m k в силу принятого условия det(Am 1) 0). В результате

справедливо разложение

PA = LU,

где L - нижняя треугольная матрица с ненулевами коэффициентами на главной диагонали; U - верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.

Определение числа операций алгоритма метода Гаусса

Подсчитаем число операций умножения и деления (наиболее длительные операции

(m 1) (m 2) 1 m (m 1) . 2

2. Вычисление коэффициентов a(ikj), k 2,m, i k,m, j k,m (сумма слагаемых арифметической прогрессии 2-го порядка [6]):

(m 1) (m 1) (m 2) (m 2) 1 1 1 22 (m 1)2 m (m 1) (2m 1) . 6

3. Вычисление значений fi(k), k 2,m, i k,m :

(m 1) (m 2) 1 m (m 1) . 2

4. Вычисление значений yi, i 1,m производится m раз. 5. Вычисление xi, i 1,m при “обратном ходе” метода Гаусса:

26

1 2 (m 1) m (m 1) . 2

Общее количество операций умножения и деления определяется суммой всех определенных выше выражений:

Иными словами, количество операций умножения и деления приблизительно

пропорционально m3 , что и определяет затраты на выполнение метода Гаусса. 3

Вычисление определителя матрицы

Вычитание строк в методе Гаусса (образование линейных комбинаций уравнений) не изменяет значения определителя матрицы [7]. Знак определителя может измениться лишь при использовании процедуры выбора “главного” элемента, когда производится перестановка строк (столбцов) преобразуемой матрицы. В результате выполнения всех необходимых преобразований метода Гаусса определитель исходной матрицы может быть вычислен достаточно просто:

m

det(A) det(LU) det(L) det(U) det(L) ajjj 1 .

j 1

Здесь учтено, что L и U - треугольные матрицы и, кроме того, матрица U содержит только единицы на главной диагонали.

Таким образом, сохраняя значения коэффициентов, расположенных после преобразования уравнений (до операции деления коэффициентов строки на первый ненулевой элемент) на главной диагонали, можно вычислить определитель исходной матрицы.

Построение обратной матрицы

8 Кронекер Леопольд [7.12.1823 - 29.12.1891] - немецкий математик. С 1861 года - член Берлинской академии наук; с 1872 года стал членом-корреспондентом Петербургской академии наук. В 1883 году занял должность профессора Берлинского университета.

27

Теперь q-й столбец p(q) обратной матрицы можно рассматривать как результат решения системы линейных алгебраических уравнений вида

Таким образом, для нахождения обратной матрицы необходимо решить m систем линейных алгебраических уравнений с правыми частями, определенными специальным образом. При этом матрицу коэффициентов следует преобразовать лишь один раз, но одновременно преобразовывать m правых частей всех систем уравнений.

28

Метод квадратного корня

Метод квадратного корня предназначен для решения систем линейных алгебраических

где S - верхняя треугольная матрица с положительными значениями на главной диагонали; D - диагональная матрица со значениями +1 или -1.

Согласно теореме 2.1 при неравенстве нулю всех угловых миноров матрицу А можно разложить в произведение A = LU.

30