Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Пусть рассматривается система линейных алгебраических уравнений Ax = f с

симметричной положительно определенной матрицей А. Решение будем искать с помощью явного нестационарного метода Ричардсона,

 

 

 

 

 

x(n 1)

x(n)

Ax(n) f,

n 0,1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Попытаемся

так

определить

 

набор

(1), (2), , (N) ,

чтобы

x(N) x

была

минимальной для заданного числа итераций N.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

2.6.

 

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица,

min 0, max

0 -

наименьшее и наибольшее собственные значения. Пусть задано число

итераций N. Среди всех наборов (n),

n 1,N , наименьшую погрешность

x(N) x

имеет

набор, для которого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

(0)

,

n 1,N;

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0t(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

 

2

 

;

 

 

1 ;

min ;

t(n) cos

2n 1

 

 

 

min

 

0

.

 

 

 

 

 

max

 

 

 

1

max

 

 

2N

 

 

Оценка погрешности в этом случае имеет вид:

x(N) x

q(N) x(0) x ,

q(n)

2 N

,

 

 

1

 

1

1

.

 

 

 

1 12N

 

1

 

 

Доказательство. Введем, как и ранее, погрешность решения z(n) x(n) x . Схема Ричардсона позволяет записать систему уравнений относительно погрешностей:

z(n 1) z(n)

Az(n) 0,

n 0,N 1.

(n 1)

 

 

Отсюда получаем

z(n 1) z(n) (n 1)Az(n) E (n 1)A z(n) .

В частности,

z(1) E 11)A z(0) ,

z(2) E (2)A z(1) E (2)A E (1)A z(0),

 

. . .

N

 

z(N) E (n)A z(0) .

n 1

 

Обозначим

61

N

T(N) E (N)A E (N 1)A E (1)A E (n)A . n 1

Понятно, что T(N) - симметричная матрица. Теперь погрешность на N итерации можно представить выражением

z(N) T(N)z(0),

z(N) T(N)z(0) .

Для симметричной положительно определенной матрицы в качестве нормы может быть выбран спектральный радиус max(T(N)) . В самом деле, для собственного вектора m, соответствующего собственному значению max ,

T(N) max ,

T(N) max max.

Сучетом свойств нормы получаем

T(N) T(N),

 

T(N) .

(2.19)

С другой стороны, пусть k ,

k 1,m - ортонормированная

система векторов,

построенная на основе собственных векторов матрицы T(N) ,

m

k, n ik ni k n . i 1

Разложим вектор m по этому базису:

m

ck k .

k 1

Согласно определению нормы вектора

2m m m m

, ck k, cn n ck ikk 1 n 1 i 1 k 1

m

 

m

m

 

 

cn in

 

ckcn ik in

n 1

 

 

i 1

 

 

 

k,n 1

 

 

mm

ckcn k n c2k .

k,n 1 k 1

В компонентной записи вектор T(N) с использованием собственных чисел и

векторов выглядит следующим образом:

T(N) i

m

m

 

Ti(N)j

j Ti(N)j

 

j 1

j 1

 

m

 

m

m

kj

 

m

ck kj

 

ck

Ti(N)j

 

ck k ik .

k 1

 

k 1

j 1

 

 

k 1

Здесь использовано определение собственных значений и векторов:

62

 

 

T(N) k

k k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

m

m

 

m

in

 

 

m

 

m

 

 

T(N)

T(N) ,T(N) ck k ik cn n

 

ckcn

k n ik in

 

 

i 1

k 1

 

n 1

 

 

 

k,n 1

 

i 1

 

 

 

m

 

m

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

ckcn k n k n

c2k 2k 2max c2k

2max

2

,

 

 

 

k,n 1

 

k 1

 

 

k 1

 

 

 

 

 

можно подсчитать норму оператора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T(N)

T(N)

sup

 

max

 

.

 

 

 

 

 

sup

 

 

 

 

 

 

 

 

H, 0

H, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая последнее неравенство с выражением (2.19), определяем точное значение нормы:

T(N) .

С учетом этого можно оценить величину погрешности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(N) T(N)z(0) z(0) .

 

 

 

 

 

 

 

Построение

 

доказательства

теоремы

2.6

основано

на поиске

такого

набора

(n),

n 1,N , который минимизирует спектральный радиус матрицы T(N) .

 

 

 

 

 

Предположим, что все собственные значения матрицы А упорядочены:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

min

2

m 1 m

max .

 

 

 

 

 

 

Известно

[7],

что если

f(A) - матричная

функция

матричного

аргумента

А, то

f

 

 

1

,f

 

 

, , f

 

 

m - полная система собственных значений матрицы f(A).

 

 

 

 

 

2

 

 

Поскольку

T(N) A E (N)A E (N 1)A E (1)A

является как раз матричной функцией матричного аргумента, то соответствующая скалярная функция

1 (N) i 1 (N 1) i 1 (1) i

определяет собственные значения матрицы T(N) . В этом случае ее спектральный радиус может быть определен как

(N) (N 1) (1)

max 1 i 1 i 1 i .

1 i m

Обозначим

63

f 1 (N) 1 (N 1) 1 (1) .

(2.20)

Тогда спектральный радиус можно определить следующим образом:

 

 

 

 

 

max

f( )

 

 

 

 

 

 

min max

 

 

 

 

 

 

и определение набора (n),

n 1,N сводится к задаче поиска

 

 

 

min

max

f

min

f

.

 

 

n ,n

1,N

min max

 

n ,n

1,N

 

 

Очевидно, что функция (2.20) является полиномом степени N, причем f(0) = 1. Иначе говоря, поиск итерационных параметров (n), n 1,N сводится к задаче об отыскании полинома степени N, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке min, max , которая может быть решена с использованием полинома Чебышёва.

Корни функции (2.20) принимают значения:

 

 

 

1 (n) 0,

n

1

, n 1,N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

и должны совпадать с корнями полинома Чебышёва:

 

 

 

 

n

max min

max min cos 2n 1 ,

n 1,N .

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2N

 

 

 

Теперь очевидно, что итерационные параметры следует выбирать следующим образом:

(n) 1

n

max min

max

min

cos 2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min t

 

1

1

 

 

max

2

min 1

 

max

 

(n)

 

1

 

t(n)

,

 

 

 

 

 

max

min

 

 

(0)

 

1

 

 

 

 

 

 

(n)

 

(0)

 

,

n 1,N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0t(n)

 

 

 

 

 

 

 

Обозначения соответствуют введенным при формулировке теоремы.

Для оценки нормы погрешности заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

f( ) f

2 N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12N ,

 

 

 

 

 

 

 

 

min max

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда получаем z(N)

 

2 N

z(0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Что и требовалось доказать.

Неявный метод с чебышёвским набором параметров

64

Рассмотрим неявную итерационную схему с положительно определенными матрицами А и В:

x(n 1)

x(n)

Ax(n) f .

(2.21)

B

 

(n 1)

 

 

Эта система уравнений для погрешностей принимает вид

 

Bz(n 1)

z(n)

Az(n) 0.

 

(n 1)

 

 

Указанные свойства матрицы В позволяют представить ее в виде B B12B12 . Тогда предыдущее соотношение можно представить в форме

B12z(n 1) B12z(n) B 12Az(n) 0.

(n 1)

 

Обозначим B1 2z(n)

v(n),

z(n) B 1 2v(n) . Тогда

 

 

 

v(n 1) v(n) Cv(n) 0,

 

 

 

(n 1)

где

C B 1 2AB 1 2 -

симметричная положительно определенная матрица, причем

минимальное (максимальное) собственное значение матрицы B 1A является одовременно и минимальным (максимальным) собственным значением для матрицы С.

Теорема 2.7. Пусть А и

В - симметричные и положительно определенные матрицы.

min, max - наименьшее и

наибольшее собственные значения матрицы B 1A . Для

заданного числа N итераций неявный чебышёвский метод (2.21) имеет минимальную

погрешность при наборе (n),

n 1,N , определенном условиями предыдущей теоремы, где

min B 1Amax B 1A .

Удачным выбором матрицы В можно приблизить значение параметра к 1, что приведет к понижению погрешности z(N).

65

Метод минимальных невязок

Погрешность z(n) x(n) x решения системы линейных алгебраических уравнений вида14 Ax = f определить невозможно, поскольку точное решение x неизвестно. Однако можно оценить невязку

r(n) Az(n) A x(n) x Ax(n) Ax Ax(n) f ,

определяющую, насколько полученное решение не удовлетворяет исходному уравнению.

Рассмотрим явный итерационный метод:

x(n 1) x(n)

(n 1) Ax(n) f .

Определим из этого соотношения величину x(n 1) :

x n 1 x n n 1 Ax n f x n n 1 r n .

При использовании итерационной схемы для (n+1) шага следует так подобрать

итерационный параметр (n 1) ,

чтобы при известном x(n)

значение невязки r(n 1) стало

наименьшим.

 

 

Оценим невязку для следующего шага:

 

r(n 1) Ax(n 1) f Ax(n) (n 1)Ar(n) f r(n) (n 1)Ar(n) .

Определим, как и ранее, квадрат нормы невязки:

 

r(n 1) 2

r(n) (n 1)Ar(n), r(n) (n 1)Ar(n)

r(n), r(n) (n 1)Ar(n), r(n) r(n), (n 1)Ar(n) (n 1)Ar(n), (n 1)Ar(n)

r(n) 2

2 (n 1) r(n), Ar(n) (n 1) 2

Ar(n) 2.

При выводе последнего выражения учтено, что

Au, v u, ATv u, Av ,

AT A - в силу симметрии матрицы.

Полученное соотношение между невязками на соседних шагах итерационной

процедуры можно рассматривать как функциональную зависимость

r(n 1) (n 1) . Для

нахождения значения итерационного параметра, при котором невязка

r(n 1) минимальна,

воспользуемся теоремой Ферма15 :

 

14 Здесь и далее предполагается, что А - симметричная, положительно определенная матрица.

66

d r(n 1) 2

2 r(n), Ar(n) 2 (n 1) Ar(n)

2

,

d (n 1)

0

 

(n 1)

r(n), Ar(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ar(n) 2 .

 

 

Оценка невязки получаемого решения:

A x(n) x 0n A x(0) x .

Здесь

0

1

;

min ;

min, max - наименьшее и наибольшее собственные

 

 

1

 

max

 

значения матрицы А; n - номер итерации.

Метод минимальных поправок

Неявную итерационную схему

Bx(n 1)

x(n)

Ax(n) f

(n 1)

 

можно представить виде

 

 

Bx(n 1)

x(n)

r(n) 0,

(n 1)

 

x(n 1) x(n) (n 1)B 1r(n),

где, как и ранее, r(n) Ax(n) f . Вектор

w(n) B 1r(n) назовем поправкой. Очевидно, что

поправка w(n) удовлетворяет уравнению

 

 

Bw(n 1) w(n)

Aw(n) 0.

(n 1)

 

Предполагая, что В - симметричная положительно определенная матрица, определим норму в виде

v B

Bv, v .

 

Подсчитаем значение квадрата нормы поправки w(n 1)

w(n) (n 1)B 1Aw(n) :

w(n 1) 2 B w(n) (n 1)B 1Aw(n) , w(n) (n 1)B 1Aw(n) B

15 Пьер Ферма [17.8.1601-12.1.1665] - французский математик. По профессии был юристом, с 1631 года являлся советником парламента в Тулузе. Основные научные труды изданы лишь после его смерти.

Теорема Ферма [10]: пусть функция y = f(x), непрерывная в некотором замкнутом интервале [a, b], принимает свое наименьшее (наибольшее) значение во внутренней точке этого интервала. Если в точке производная функции f(x) существует, то она равна нулю.

67

Bw(n), w(n) (n 1) Aw(n), w(n) (n 1) Bw(n), B 1Aw(n) (n 1) 2 Aw(n),B 1Aw(n)

Bw(n), w(n) 2 (n 1) Aw(n), w(n) (n 1) 2 Aw(n), B 1Aw(n)

2

2

2

2

w(n) B 2 (n 1) w(n)

A (n 1)

Aw(n)

B 1 .

При получении последнего выражения использовались следующие соотношения:

n

1

n

 

 

 

1

T

n

 

n

1

n

 

n

n

n

 

Bw

,B Aw

 

 

 

B

 

A Bw

 

,w

 

AB Bw

 

,w

 

Aw ,w

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AT A, B 1 T

B 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w(n)

2

Aw(n), w(n) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aw(n) 2 1

Aw(n), B 1Aw(n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что величина w(n 1) будет минимальной при условии

B

d w(n 1)

2

 

 

 

 

 

 

B 2 w(n)

2

2 (n 1) Aw(n) 2

0,

d

(n 1)

 

 

 

 

A

B 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

w(n)

2

 

 

Aw(n), w(n)

 

 

Aw(n)

A2

1

Aw(n), B 1Aw(n) .

 

 

 

 

B

 

 

 

 

Для реализации метода минимальных поправок требуется на каждой итерации решать систему уравнений Bw(n) r(n) , откуда находится сама поправка w(n) . Кроме этого необходимо определить решение системы уравнений Bv(n) Aw(n) , а именно, вычислить v(n) B 1Aw(n) , требующееся для нахождения итерационного параметра.

Погрешность метода минимальных поправок оценивается следующим образом (с

учетом введенного определения нормы):

 

 

 

A x(n) x

B

1

0n

A x(0) x

B

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Как и ранее, 0

1

;

min ;

min, max - наименьшее и наибольшее собственные

 

1

 

max

 

 

 

 

 

 

значения матрицы B 1A ; n - номер итерации.

Метод скорейшего спуска

68

Относительно погрешности z(n) x(n) x итерационная схема Ричардсона, как это было уже показано ранее, принимает вид:

z(n 1) z(n) Az(n) 0.(n 1)

Отсюда, погрешность

 

z(n 1)

z(n)

(n 1) Az(n) .

Определим выражение

 

 

z(n 1)

2A Az(n 1), z(n 1) A z(n) (n 1)Az(n) , z(n) (n 1)Az(n)

Az(n), z(n) A (n 1)Az(n), z(n) Az(n), (n 1)Az(n) A (n 1)Az(n), (n 1)Az(n)

Az(n), z(n) 2 (n 1) Az(n), Az(n) (n 1) 2 A2z(n), Az(n)

 

2

2

 

2

2

z(n)

A 2 (n 1) Az(n)

(n 1)

Az(n)

A.

При выводе последнего соотношения использована симметричность матрицы А,

AAz(n), z(n) Az(n), Az(n) .

Полученное выражение может рассматриваться как квадратичная функция итерационного параметра (n 1) . Воспользуемся теоремой Ферма для нахождения значения итерационного параметра, доставляющего экстремум этому выражению,

 

 

 

d

z(n 1) 2

 

 

 

2

 

Az(n)

2

0,

 

 

 

 

d

(n 1)

A 2 Az(n)

2 (n 1)

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

Az(n)

2

 

Az(n), Az(n)

 

 

 

 

 

Az(n)

2 A2z(n), Az(n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2 z(n 1) 2

2 Az(n)

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

d (n 1)

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительна в силу

положительной

 

определенности

А, то есть выражение

z(n 1)

2

Az(n 1), z(n 1)

принимает наименьшее значение при найденном (n 1) .

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69

Вспоминая, что Az(n) r(n) - невязка решения системы уравнений, получаем

 

(n 1)

r(n)

2

 

 

 

2 .

 

 

 

r(n)

A

 

 

 

 

 

Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений методом

скорейшего спуска оценивается выражением

 

 

x(n) x

0n x(0) x

, 0

1 ,

min ,

 

A

A

1

max

 

 

 

где min , max - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А; n - номер итерации.

Неявный метод скорейшего спуска

Рассмотрим неявную итерационную схему вида

Bx(n 1) x(n) Ax(n) f

(n 1)

с симметричной и положительно определенной матрицей B.

Для погрешности z(n) x(n) x эта схема принимает следующую форму:

 

B

z(n 1) z(n)

Az

(n)

0.

 

(n 1)

 

Отсюда, z(n 1)

z(n) (n 1)B 1Az(n) .

 

 

 

Как и ранее, с учетом симметрии матрицы А, определим выражение

z(n 1)2A Az(n 1), z(n 1)

Az(n), z(n) 2 (n 1) Az(n), B 1Az(n) (n 1) 2 AB 1Az(n), B 1Az(n)

 

 

2

2

(n 1)

2

2

 

z(n)

A 2 (n 1) Az(n)

B 1

B 1Az(n)

A.

Благодаря положительной определенности матрицы А,

Az(n 1), z(n 1) 0,

минимум полученного выражения достигается при значении итерационного параметра

70

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]