Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf

Скачиваний:

130

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Пусть рассматривается система линейных алгебраических уравнений Ax = f с

симметричной положительно определенной матрицей А. Решение будем искать с помощью явного нестационарного метода Ричардсона,

x(n 1)

x(n)

Ax(n) f,

n 0,1,

(n 1)

Попытаемся

так

определить

набор

(1), (2), , (N) ,

чтобы

x(N) x

была

минимальной для заданного числа итераций N.

Теорема

2.6.

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица,

min 0, max

0 -

наименьшее и наибольшее собственные значения. Пусть задано число

итераций N. Среди всех наборов (n),

n 1,N , наименьшую погрешность

x(N) x

имеет

набор, для которого

(n)

(0)

n 1,N;

1 0t(n)

(0)

;

1 ;

min ;

t(n) cos

2n 1

min

max

Оценка погрешности в этом случае имеет вид:

x(N) x	q(N) x(0) x ,	q(n)	2 N	,		1
			1			1	.
			1 12N		1

Доказательство. Введем, как и ранее, погрешность решения z(n) x(n) x . Схема Ричардсона позволяет записать систему уравнений относительно погрешностей:

z(n 1) z(n)	Az(n) 0,	n 0,N 1.
(n 1)

Отсюда получаем

z(n 1) z(n) (n 1)Az(n) E (n 1)A z(n) .

В частности,

z(1) E 11)A z(0) ,

z(2) E (2)A z(1) E (2)A E (1)A z(0),

	. . .
N
z(N) E (n)A z(0) .
n 1

Обозначим

T(N) E (N)A E (N 1)A E (1)A E (n)A . n 1

Понятно, что T(N) - симметричная матрица. Теперь погрешность на N итерации можно представить выражением

z(N) T(N)z(0),

z(N) T(N)z(0) .

Для симметричной положительно определенной матрицы в качестве нормы может быть выбран спектральный радиус max(T(N)) . В самом деле, для собственного вектора m, соответствующего собственному значению max ,

T(N) max ,

T(N) max max.

Сучетом свойств нормы получаем

T(N) T(N),

	T(N) .	(2.19)
С другой стороны, пусть k ,	k 1,m - ортонормированная	система векторов,

построенная на основе собственных векторов матрицы T(N) ,

k, n ik ni k n . i 1

Разложим вектор m по этому базису:

ck k .

k 1

Согласно определению нормы вектора

2m m m m

, ck k, cn n ck ikk 1 n 1 i 1 k 1

m	m	m
cn in	ckcn ik in
n 1		i 1
n 1	k,n 1	i 1

ckcn k n c2k .

k,n 1 k 1

В компонентной записи вектор T(N) с использованием собственных чисел и

векторов выглядит следующим образом:

T(N) i	m	m
T(N) i	Ti(N)j	j Ti(N)j
	j 1	j 1

m	m	m	kj	m
ck kj	ck	Ti(N)j	kj	ck k ik .
k 1	k 1	j 1		k 1

Здесь использовано определение собственных значений и векторов:

T(N) k

k k .

Учитывая, что

T(N)

T(N) ,T(N) ck k ik cn n

ckcn

k n ik in

i 1

k 1

n 1

k,n 1

i 1

ckcn k n k n

c2k 2k 2max c2k

2max

k,n 1

k 1

можно подсчитать норму оператора

T(N)

sup

max

sup

H, 0

Сравнивая последнее неравенство с выражением (2.19), определяем точное значение нормы:

T(N) .

С учетом этого можно оценить величину погрешности:

z(N) T(N)z(0) z(0) .

Построение

доказательства

теоремы

2.6

основано

на поиске

такого

набора

(n),

n 1,N , который минимизирует спектральный радиус матрицы T(N) .

Предположим, что все собственные значения матрицы А упорядочены:

0 1

min

m 1 m

max .

Известно

[7],

что если

f(A) - матричная

функция

матричного

аргумента

А, то

, , f

m - полная система собственных значений матрицы f(A).

Поскольку

T(N) A E (N)A E (N 1)A E (1)A

является как раз матричной функцией матричного аргумента, то соответствующая скалярная функция

1 (N) i 1 (N 1) i 1 (1) i

определяет собственные значения матрицы T(N) . В этом случае ее спектральный радиус может быть определен как

(N) (N 1) (1)

max 1 i 1 i 1 i .

1 i m

Обозначим

f 1 (N) 1 (N 1) 1 (1) .										(2.20)
Тогда спектральный радиус можно определить следующим образом:
				max	f( )
			min max
и определение набора (n),	n 1,N сводится к задаче поиска
	min		max	f		min		f	.
	n ,n	1,N	min max			n ,n	1,N		.

Очевидно, что функция (2.20) является полиномом степени N, причем f(0) = 1. Иначе говоря, поиск итерационных параметров (n), n 1,N сводится к задаче об отыскании полинома степени N, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке min, max , которая может быть решена с использованием полинома Чебышёва.

Корни функции (2.20) принимают значения:

1 (n) 0,

, n 1,N

(n)

и должны совпадать с корнями полинома Чебышёва:

max min

max min cos 2n 1 ,

n 1,N .

Теперь очевидно, что итерационные параметры следует выбирать следующим образом:

(n) 1

max min

max

min

cos 2n 1

min t

max

min 1

max

(n)

t(n)

max

min

(0)

(n)

(0)

n 1,N.

1 0t(n)

Обозначения соответствуют введенным при формулировке теоремы.

Для оценки нормы погрешности заметим, что

max

f( ) f

2 N

12N ,

min max

1 1

откуда получаем z(N)

2 N

z(0) .

1 2N

Что и требовалось доказать.

Неявный метод с чебышёвским набором параметров

Рассмотрим неявную итерационную схему с положительно определенными матрицами А и В:

x(n 1)	x(n)	Ax(n) f .	(2.21)
B		Ax(n) f .	(2.21)
(n 1)
Эта система уравнений для погрешностей принимает вид
Bz(n 1)	z(n)	Az(n) 0.
(n 1)

Указанные свойства матрицы В позволяют представить ее в виде B B12B12 . Тогда предыдущее соотношение можно представить в форме

B12z(n 1) B12z(n) B 12Az(n) 0.

(n 1)

	Обозначим B1 2z(n)	v(n),	z(n) B 1 2v(n) . Тогда
			v(n 1) v(n) Cv(n) 0,
			(n 1)
где	C B 1 2AB 1 2 -	симметричная положительно определенная матрица, причем

минимальное (максимальное) собственное значение матрицы B 1A является одовременно и минимальным (максимальным) собственным значением для матрицы С.

Теорема 2.7. Пусть А и	В - симметричные и положительно определенные матрицы.
min, max - наименьшее и	наибольшее собственные значения матрицы B 1A . Для
заданного числа N итераций неявный чебышёвский метод (2.21) имеет минимальную
погрешность при наборе (n),	n 1,N , определенном условиями предыдущей теоремы, где

min B 1Amax B 1A .

Удачным выбором матрицы В можно приблизить значение параметра к 1, что приведет к понижению погрешности z(N).

Метод минимальных невязок

Погрешность z(n) x(n) x решения системы линейных алгебраических уравнений вида14 Ax = f определить невозможно, поскольку точное решение x неизвестно. Однако можно оценить невязку

r(n) Az(n) A x(n) x Ax(n) Ax Ax(n) f ,

определяющую, насколько полученное решение не удовлетворяет исходному уравнению.

Рассмотрим явный итерационный метод:

x(n 1) x(n)

(n 1) Ax(n) f .

Определим из этого соотношения величину x(n 1) :

x n 1 x n n 1 Ax n f x n n 1 r n .

При использовании итерационной схемы для (n+1) шага следует так подобрать

итерационный параметр (n 1) ,	чтобы при известном x(n)	значение невязки r(n 1) стало
наименьшим.
Оценим невязку для следующего шага:
r(n 1) Ax(n 1) f Ax(n) (n 1)Ar(n) f r(n) (n 1)Ar(n) .
Определим, как и ранее, квадрат нормы невязки:
r(n 1) 2	r(n) (n 1)Ar(n), r(n) (n 1)Ar(n)
r(n), r(n) (n 1)Ar(n), r(n) r(n), (n 1)Ar(n) (n 1)Ar(n), (n 1)Ar(n)
r(n) 2	2 (n 1) r(n), Ar(n) (n 1) 2	Ar(n) 2.

При выводе последнего выражения учтено, что

Au, v u, ATv u, Av ,

AT A - в силу симметрии матрицы.

Полученное соотношение между невязками на соседних шагах итерационной

процедуры можно рассматривать как функциональную зависимость	r(n 1) (n 1) . Для
нахождения значения итерационного параметра, при котором невязка	r(n 1) минимальна,
воспользуемся теоремой Ферма15 :

14 Здесь и далее предполагается, что А - симметричная, положительно определенная матрица.

d r(n 1) 2	2 r(n), Ar(n) 2 (n 1) Ar(n)		2	,
d (n 1)	2 r(n), Ar(n) 2 (n 1) Ar(n)		0	,
	(n 1)	r(n), Ar(n)
	(n 1)
		Ar(n) 2 .

Оценка невязки получаемого решения:

A x(n) x 0n A x(0) x .

Здесь	0	1	;	min ;	min, max - наименьшее и наибольшее собственные
		1		max

значения матрицы А; n - номер итерации.

Метод минимальных поправок

Неявную итерационную схему

Bx(n 1)	x(n)	Ax(n) f
(n 1)
можно представить виде
Bx(n 1)	x(n)	r(n) 0,
(n 1)
x(n 1) x(n) (n 1)B 1r(n),
где, как и ранее, r(n) Ax(n) f . Вектор	w(n) B 1r(n) назовем поправкой. Очевидно, что
поправка w(n) удовлетворяет уравнению
Bw(n 1) w(n)		Aw(n) 0.
(n 1)

Предполагая, что В - симметричная положительно определенная матрица, определим норму в виде

v B	Bv, v .
Подсчитаем значение квадрата нормы поправки w(n 1)		w(n) (n 1)B 1Aw(n) :

w(n 1) 2 B w(n) (n 1)B 1Aw(n) , w(n) (n 1)B 1Aw(n) B

15 Пьер Ферма [17.8.1601-12.1.1665] - французский математик. По профессии был юристом, с 1631 года являлся советником парламента в Тулузе. Основные научные труды изданы лишь после его смерти.

Теорема Ферма [10]: пусть функция y = f(x), непрерывная в некотором замкнутом интервале [a, b], принимает свое наименьшее (наибольшее) значение во внутренней точке этого интервала. Если в точке производная функции f(x) существует, то она равна нулю.

Bw(n), w(n) (n 1) Aw(n), w(n) (n 1) Bw(n), B 1Aw(n) (n 1) 2 Aw(n),B 1Aw(n)
Bw(n), w(n) 2 (n 1) Aw(n), w(n) (n 1) 2 Aw(n), B 1Aw(n)
2	2	2	2
w(n) B 2 (n 1) w(n)	A (n 1)	Aw(n)	B 1 .

При получении последнего выражения использовались следующие соотношения:

,B Aw

A Bw

AB Bw

Aw ,w

AT A, B 1 T

B 1 ,

w(n)

Aw(n), w(n) ,

Aw(n) 2 1

Aw(n), B 1Aw(n) .

Очевидно, что величина w(n 1) будет минимальной при условии

d w(n 1)		2
d w(n 1)		B 2 w(n)				2	2 (n 1) Aw(n) 2	0,
d	(n 1)					A	B 1
d
(n 1)			w(n)	2			Aw(n), w(n)
(n 1)			Aw(n)	A2	1	Aw(n), B 1Aw(n) .
				B

Для реализации метода минимальных поправок требуется на каждой итерации решать систему уравнений Bw(n) r(n) , откуда находится сама поправка w(n) . Кроме этого необходимо определить решение системы уравнений Bv(n) Aw(n) , а именно, вычислить v(n) B 1Aw(n) , требующееся для нахождения итерационного параметра.

Погрешность метода минимальных поправок оценивается следующим образом (с

учетом введенного определения нормы):

			A x(n) x	B	1	0n	A x(0) x	B	1 .
				B				B
Как и ранее, 0	1	;	min ;	min, max - наименьшее и наибольшее собственные
	1		max

значения матрицы B 1A ; n - номер итерации.

Метод скорейшего спуска

Относительно погрешности z(n) x(n) x итерационная схема Ричардсона, как это было уже показано ранее, принимает вид:

z(n 1) z(n) Az(n) 0.(n 1)

Отсюда, погрешность

	z(n 1)	z(n)	(n 1) Az(n) .
Определим выражение
z(n 1)	2A Az(n 1), z(n 1) A z(n) (n 1)Az(n) , z(n) (n 1)Az(n)

Az(n), z(n) A (n 1)Az(n), z(n) Az(n), (n 1)Az(n) A (n 1)Az(n), (n 1)Az(n)

Az(n), z(n) 2 (n 1) Az(n), Az(n) (n 1) 2 A2z(n), Az(n)

	2	2		2	2
z(n)	A 2 (n 1) Az(n)	(n 1)		Az(n)	A.

При выводе последнего соотношения использована симметричность матрицы А,

AAz(n), z(n) Az(n), Az(n) .

Полученное выражение может рассматриваться как квадратичная функция итерационного параметра (n 1) . Воспользуемся теоремой Ферма для нахождения значения итерационного параметра, доставляющего экстремум этому выражению,

z(n 1) 2

Az(n)

(n 1)

A 2 Az(n)

2 (n 1)

(n 1)

Az(n)

Az(n), Az(n)

Az(n)

2 A2z(n), Az(n) .

Вторая производная

d2 z(n 1) 2

2 Az(n)

d (n 1)

положительна в силу

положительной

определенности

А, то есть выражение

z(n 1)

Az(n 1), z(n 1)

принимает наименьшее значение при найденном (n 1) .

Вспоминая, что Az(n) r(n) - невязка решения системы уравнений, получаем

	(n 1)	r(n)	2
	(n 1)		2 .
		r(n)	A
			A
Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений методом
скорейшего спуска оценивается выражением
x(n) x	0n x(0) x	, 0	1 ,	min ,
	A	A	1	max
	A	A

где min , max - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А; n - номер итерации.

Неявный метод скорейшего спуска

Рассмотрим неявную итерационную схему вида

Bx(n 1) x(n) Ax(n) f

(n 1)

с симметричной и положительно определенной матрицей B.

Для погрешности z(n) x(n) x эта схема принимает следующую форму:

	B	z(n 1) z(n)	Az	(n)	0.
	B	(n 1)	Az		0.
Отсюда, z(n 1)	z(n) (n 1)B 1Az(n) .

Как и ранее, с учетом симметрии матрицы А, определим выражение

z(n 1)2A Az(n 1), z(n 1)

Az(n), z(n) 2 (n 1) Az(n), B 1Az(n) (n 1) 2 AB 1Az(n), B 1Az(n)

		2	2	(n 1)	2	2
	z(n)	A 2 (n 1) Az(n)	B 1	(n 1)	B 1Az(n)	A.

Благодаря положительной определенности матрицы А,

Az(n 1), z(n 1) 0,

минимум полученного выражения достигается при значении итерационного параметра

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.07.201978.85 Кб2bilety_43-49.doc
#
13.03.2016105.07 Кб48bilety_fkhma (1).docx
#
22.09.2019260.61 Кб1bilety_po_istorii1_1.doc
#
29.03.2015539.41 Кб6bilety_sgmu.docx
#
29.03.2015545.25 Кб5bilety_sgmu.docx
#
13.03.20161.32 Mб130Boyarshinov_ChM_T1.pdf
#
13.03.20162.93 Mб308Boyarshinov_ChM_T2.pdf
#
13.03.20161.69 Mб99Boyarshinov_ChM_T3.pdf
#
21.08.201955.81 Кб6British Etiquette and Manners.doc
#
01.05.2019559.62 Кб4budget.doc
#
29.03.20153.3 Mб25buhgal.pdf