Boyarshinov_ChM_T1
.pdf
Доказательство. Предположим, что многочлен x имеет m различных корней
нечетной кратности на [a, b]. Очевидно, что m n . Покажем, что m = n.
Обозначим корни 1, |
2, , |
|
m ; представим x |
в виде |
|
|||||||||||||||||||||||
x x 1 a1 x 2 a2 x m am r x , |
||||||||||||||||||||||||||||
где a1,a2, ,am - нечетные числа, функция r(x) не |
|
меняет знак на [a, b]. Вычислим |
||||||||||||||||||||||||||
интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||
J |
|
|
x |
x |
x |
2 |
|
x |
r xdx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.21) |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a1 1 |
|
|
|
|
|
a2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
am 1 |
|
|||||||
|
|
x |
x |
2 |
x |
m |
r xdx. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку a1 1,a2 |
1, ,am 1 - четные числа и |
|
r(x) |
знакопостоянна на [a, b], то |
||||||||||||||||||||||||
интеграл (7.21) отличен от нуля. С другой стороны, если m < n, то многочлен |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q x x 1 x 2 x m |
|
|||||||||||||||||||||||
имеет степень меньше n, и по условию теоремы имеем |
|
|
J = 0. Следовательно, m=n, что и |
|||||||||||||||||||||||||
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность интерполяционных формул Гаусса определяется выражением |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
||||||||||
|
|
|
|
! |
2 x f(2n) dx, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и оценивается неравенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M2n |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
w2 x dx, |
|
M2n |
maxf 2n x . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n !a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a,b |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
171
Контрольные вопросы и задания
Определите понятия “квадратурная формула” и “квадратурная сумма”.
Как оценивается погрешность квадратурной формулы?
Как определяется порядок погрешности квадратурной формулы?
Получите оценку точности квадратурной формулы для варианта метода прямоугольников, изображенного на рис. 7.2.
Поясните с помощью рисунков 7.1 и 7.2 преимущество формулы (7.5) перед
xk
квадратурной формулой f x dx f xk 1 h .
xk 1
Оцените точность квадратурных формул методов трапеций и Симпсона.
Оцените погрешность квадратурной формулы Эйлера (7.13).
Поясните идею оценки погрешности квадратурных формул методом Рунге?
При оценке точности квадратурных формул методом Рунге используется выражение
Jk Jh,k |
|
2p 1 |
Jh/2,k |
Jh,k . Проанализируйте величину погрешности в случае, |
|
p 1 |
1 |
||||
|
2 |
|
|
|
|
когда p = 1.
Как оценить погрешность квадратурной формулы при интегрировании с
переменным шагом.
Какие формулы приближенного интегрирования относятся к квадратурным
формулам интерполяционного типа?
В каком случае квадратурная формула интерполяционного типа является точной?
Какие формулы приближенного интегрирования являются квадратурными
формулами наивысшей точности?
Какая идея лежит в основе построения квадратурных формул Гаусса наивысшей
точности?
Проверьте точность интегрирования полиномов для случая, рассмотренного в
примере 7.1. |
|
Покажите, что если формулы Гаусса точны x , |
0,n , то они точны и для |
любого полинома Pn(x) степени n. |
|
Б И Б Л И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К
1. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.
2. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 512
с.
3. Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 304 с.
4. Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. - М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 400 с.
5. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1977. - 304 с.
6.Бронштейн И. Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 544 с.
7.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552
с.
8.Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 416 с.
9.Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980 -
496.
10.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов.
-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973720.
11.Фаддев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.:
Физматгиз, 1960. - 656 с.
12. Коллатц Л. Задачи на собственное значение. - М.: Наука, 1968. - 504 с.