Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

1

1 x x0 x x1 dx 0,

1

1

x x x0 x x1 dx 0.

1

Интегрируем первое уравнение:

1

1

1 x x0 x x1 dx x2 x x0 x1 x0x1 dx

1 1

 

x3

x2 x

0

x

x x

x

1

1

2 2x

x 0,

 

 

3

2

1

0

 

 

3

0 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x0x1 1 . 3

Аналогично интегрируем второе уравнение системы:

1

1

x x x0 x x1 dx x3 x2 x0 x1 x x0x1 dx

1

 

 

1

 

 

 

x4

x3

x2

1

2

x0

x1 0,

 

 

x0 x1

2

x0x1

 

 

4

3

1

3

 

 

x0 x1.

Совместно решая полученные уравнения, получаем

x

 

 

1,

x

1 ,

 

0

 

3

1

3

что совпадает с результатом примера 7.1.

Рассмотрим условия существования и единственности системы уравнений (7.19).

Представим полином

x x x0 x xn

в виде

x a0 a1x a2x2 xn 1.

Условия ортогональности (7.18)

b

 

xa a0 a1x a2x2 xn 1 dx 0,

a 0,n ,

a

 

169

b

b

 

xa a0

a1x a2x2 anxn dx xa xn 1dx,

a 0,n

a

a

 

можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ak , k 0,n .

Рассмотрим соответствующую систему однородных уравнений

b

 

 

 

 

 

xa a0 a1x a2x2 anxn dx 0,

a 0,n .

(7.20)

a

 

 

 

 

 

Домножим каждое из этих однородных уравнений

на соответствующее aa и

просуммируем:

 

 

 

 

 

n b

 

 

 

 

 

aaxa a0 a1x a2x2 anxn dx 0,

 

a 0a

 

 

 

 

 

b

 

 

n

 

 

a0 a1x a2x2 anxn aaxadx 0,

 

a

 

 

a 0

 

 

b

n

2

 

 

 

 

aaxa dx 0.

 

 

a

a 0

 

 

 

Отсюда очевидно, что последнее равенство возможно лишь при условии

 

 

 

n

 

 

 

 

 

aaxa 0,

 

 

 

 

a 0

 

 

 

откуда, в силу линейной независимости функций xa, a 0,n , следует

 

 

a 0,

0,n .

 

 

Это означает, что однородная система (7.20) имеет только тривиальное решение, то есть определитель системы уравнений отличен от нуля. Таким образом, полином

x x x0 x xn

определяется единственным образом.

Теорема 7.3. Если многочлен x степени n ортогонален на a,b любому

многочлену степени меньше n, то корни многочлены x различны и расположены на этом отрезке.

170

Доказательство. Предположим, что многочлен x имеет m различных корней

нечетной кратности на [a, b]. Очевидно, что m n . Покажем, что m = n.

Обозначим корни 1,

2, ,

 

m ; представим x

в виде

 

x x 1 a1 x 2 a2 x m am r x ,

где a1,a2, ,am - нечетные числа, функция r(x) не

 

меняет знак на [a, b]. Вычислим

интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

J

 

 

x

x

x

2

 

x

r xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.21)

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a1 1

 

 

 

 

 

a2

1

 

 

 

 

 

 

am 1

 

 

 

x

x

2

x

m

r xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку a1 1,a2

1, ,am 1 - четные числа и

 

r(x)

знакопостоянна на [a, b], то

интеграл (7.21) отличен от нуля. С другой стороны, если m < n, то многочлен

 

 

 

 

q x x 1 x 2 x m

 

имеет степень меньше n, и по условию теоремы имеем

 

 

J = 0. Следовательно, m=n, что и

требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Погрешность интерполяционных формул Гаусса определяется выражением

 

 

 

 

2n1

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,b

 

 

 

 

!

2 x f(2n) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и оценивается неравенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2n

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2 x dx,

 

M2n

maxf 2n x .

 

 

 

 

2n !a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

171

Контрольные вопросы и задания

Определите понятия “квадратурная формула” и “квадратурная сумма”.

Как оценивается погрешность квадратурной формулы?

Как определяется порядок погрешности квадратурной формулы?

Получите оценку точности квадратурной формулы для варианта метода прямоугольников, изображенного на рис. 7.2.

Поясните с помощью рисунков 7.1 и 7.2 преимущество формулы (7.5) перед

xk

квадратурной формулой f x dx f xk 1 h .

xk 1

Оцените точность квадратурных формул методов трапеций и Симпсона.

Оцените погрешность квадратурной формулы Эйлера (7.13).

Поясните идею оценки погрешности квадратурных формул методом Рунге?

При оценке точности квадратурных формул методом Рунге используется выражение

Jk Jh,k

 

2p 1

Jh/2,k

Jh,k . Проанализируйте величину погрешности в случае,

p 1

1

 

2

 

 

 

когда p = 1.

Как оценить погрешность квадратурной формулы при интегрировании с

переменным шагом.

Какие формулы приближенного интегрирования относятся к квадратурным

формулам интерполяционного типа?

В каком случае квадратурная формула интерполяционного типа является точной?

Какие формулы приближенного интегрирования являются квадратурными

формулами наивысшей точности?

Какая идея лежит в основе построения квадратурных формул Гаусса наивысшей

точности?

Проверьте точность интегрирования полиномов для случая, рассмотренного в

примере 7.1.

 

Покажите, что если формулы Гаусса точны x ,

0,n , то они точны и для

любого полинома Pn(x) степени n.

 

П Р Е Д М Е Т Н Ы Й У К А З А Т Е Л Ь

А

 

— линеаризации

 

138

аппроксимация функции

94

— наименьших квадратов

 

122

— — в гильбертовом пространстве

117

— наименьших невязок

 

66

 

 

— наименьших поправок

 

67

Б

 

— Ньютона

 

80, 88

Больцано Б.

78

 

— — модифицированный

 

84

 

 

 

В

 

— обратных итераций

 

141

 

— половинного деления

 

73

Вандермонд А.Т.

95

 

— простых итераций

 

48, 75, 87

 

 

 

Г

 

— релаксации

 

88

 

— решения итерационный

 

42

Гаусс К.Ф.

17

— решения, прямой

 

17

Горнер У.Д.

96

— с чебышевским набором параметров

61

З

 

— — — —, неявный

 

65

 

— секущих

 

84

Зейдель Ф.Л.

45

— скорейшего спуска

 

69

И

 

— — —, неявный

 

70

 

— стационарный

 

48

интерполяция функции

94

— степенной

 

140

—, сходимость

101

— явный

 

48

—, — поточечная

101

— Якоби

 

42, 90

—, — равномерная

101

модель математическая

 

8

— сплайнами

106

Н

 

 

— —, сходимость

110

 

 

К

 

норма “кубическая”

 

36

 

—“сферическая”

 

36

корней отделение

85

— матрицы

 

36

Коши О.Л.

78

Ньютон И.

 

80

коэффициент перекоса

129

О

 

 

Кронекер Л.

29

 

 

Л

 

округление

 

13

 

определитель Вандермонда

 

95

Лагранж Ж.Л.

79

П

 

 

Липшиц Р.О.С.

77

 

 

Лопиталь Г.Ф.А.

86

параметры итерационные

 

48

М

 

“переполнение”

 

15

 

погрешность абсолютная

 

12

мантисса

13

— аппроксимации

99, 146, 150

матрица треугольная, верхняя

21

— —, порядок

 

146

— —, нижняя

22

— арифметических операций

 

14

— положительно определенная

49

— исходных данных

 

11

метод верхней релаксации

48

— математической модели

 

10

— Гаусса

18

— неустранимая

 

10

— —, “обратный” ход

21

— округления

 

13

— —, “прямой” ход

21

— относительная

 

13

— Зейделя

45, 90

— проведения расчетов

 

13

— интерполяции

132

— регулируемая

 

12

— квадратного корня

30

— численного метода

 

11

173

полином интерполяционный

95

— — Лагранжа

99

— — Ньютона

95

— — Эрмита

103

— характеристический

126

— Чебышева

55

“потеря порядка”

15

Р

 

разности разделенные

95

решение приближенное

9

— точное

9

— численное

9

Ролль М.

115

Рунге К.Д.Т.

161

С

 

Самарский А.А.

8

Сильвестр Д.Д.

50

Симпсон Т.

156

скорость сходимости

54

собственное значение

126

— — наибольшее

140

— — наименьшее

141

— —, устойчивость

129

собственный вектор

126

— вектор, устойчивость

130

сплайн

106

сумма квадратурная

149

схема Горнера

96

сходимость итерационных методов

47

Т

Тейлор Б.

80

У

устойчивость системы уравнений

36

Ф

Фабер Г.

101

Ферма П.

67

формула Гаусса

164

— квадратурная

149

— — интерполяционного типа

163

— парабол

156

— прямоугольников

150

— Рунге

161

— Симпсона

156

— трапеций

153

— Эйлера

160

Фурье Ж.Б.Ж.

121

Ч

Чебышев П.Л.

55

число обусловленности

38

Э

Эйлер Л.

160

эксперимент вычислительный

8

Эрмит Ш.

103

 

Я

Якоби К.Г.Я.

42

174

Б И Б Л И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К

1. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

2. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 512

с.

3. Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 304 с.

4. Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. - М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 400 с.

5. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1977. - 304 с.

6.Бронштейн И. Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 544 с.

7.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552

с.

8.Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 416 с.

9.Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980 -

496.

10.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов.

-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973720.

11.Фаддев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.:

Физматгиз, 1960. - 656 с.

12. Коллатц Л. Задачи на собственное значение. - М.: Наука, 1968. - 504 с.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]