Boyarshinov_ChM_T1

Rn полную ортонормированную систему, которую можно использовать в качестве базиса.

Очевидно, что для симметричных матриц Xi Yi . А значит, имеет место устойчивость собственных значений:

d idA.

Для оценки устойчивости собственных векторов теперь рассмотрим случай i j. В

силу формулы (5.3) следует

A Xi ,Y j Xi ,ATY j Xi , jY j j Xi ,Y j .

Используя это выражение и условие ортогональности векторов

Xi ,Yj 0, i j,

из соотношения (5.4) получаем

A Xi ,Y j i Xi ,Y j j Xi ,Y j ,

Xi ,Y j A Xi ,Y j .

i j

Разложим вектор Xi по базису Xk , k 1,n :

129

Отсюда очевидно, что неустойчивость собственных векторов имеет место в случае,

когда велики коэффициенты перекоса Ck , либо близки собственные значения k, k 1,n .

Перемножим скалярно собственные векторы обеих матриц:

то есть имеет место ортогональность собственных векторов матриц A и AT ;

Подсчитаем коэффициенты перекоса:

Пример 5.3. Оценить влияние погрешности на результаты вычисления собственных

значений матрицы

130

где e - малое возмущение (погрешность).

Решение характеристического уравнения

det A E 1 2 3 4 0.

дает корни (собственные значения):

1 25. 5 41 , 2

2 25. 5 41 , 2

3 25. 5 41 , 2

4 25. 5 41 . 2

В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных величинах e.

Таблица 5.1

Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности

Определение собственных значений и векторов

Метод интерполяции

131

Пусть задана матрица А размером n n. Очевидно, что характеристический многочлен в этом случае имеет порядок n (полином степени n), и задача заключается в определении

корней этого полинома.

Алгоритм вычисления собственных значений матрицы А следующий:

Ньютона (Лагранжа); ранее отмечалось, что для рассматриваемого случая многочлен степени n определяется единственным образом; в силу этого построенный полином как раз

ибудет характеристическим.

2.Каким-либо из известных методов решения нелинейных уравнений отыскиваются корни построенного полинома Pn x , которые представляют собой собственные значения

исходной матрицы.

Трехдиагональные матрицы

В практике инженерных расчетов часто встречаются трехдиагональные матрицы, у

которых отличны от нуля лишь коэффициенты, расположенные на главной диагонали, а

также над и под нею. Пусть такая матрица имеет вид

Для определения собственных значений требуется подсчитать определитель матрицы

132

Разложим этот определитель Dn det A E по коэффициентам нижней строки матрицы A E :

Dn ann Dn 1 ann 1Bnn 1 ,

Таким образом, получено рекуррентное соотношение для вычисления значения определителя трехдиагональной матрицы:

Dn ann Dn 1 ann 1an 1nDn 2 .

Для определенности следует положить D 1 0, D0 1. В этом случае, очевидно,

имеют место выражения:

D1 a11 D0 a10a01D 1 a11 ,

D2 a22 D1 a21a12D0 a11 a22 a21a12 ,

... и так далее.

133

Поиск собственных векторов

При численных расчетах, как правило, отыскиваются лишь приближенные величины

позволяет отыскать лишь тривиальное решение Xk 0, k 1,n .

Пусть F Rn - произвольный вектор. Рассмотрим систему уравнений

Подставим эти выражения в систему уравнений (5.5):

j 1

32 Согласно [7], собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

134

то есть вектор Z(0) будет близок по направлению к собственному вектору Xi . Повторим решение системы уравнений (5.5) с новой правой частью:

Вновь представим решение в виде разложения

n

Z(1) (j1)X j j 1

иповторим предыдущие рассуждения, что приведет к выражению

(0)

j , j 1,n.~(j1)

вектор Z(1) будет еще ближе по направлению к собственному вектору Xi . Иными словами возможно построение итерационного процесса вида

причем Z(0) - произвольный начальный вектор.

Следует отметить, что если собственное значение вычислено достаточно точно, то

При выполнении примера 5.1 получены собственные значения 1 6, 2 1. Для

определения собственных векторов, соответствующих первому собственному значению,

~

зададим погрешность e : 1 1 6 .

135

X1 1538584416,.

После нормирования компоненты собственного вектора единичной длины

Первый собственный вектор, определенный ранее для этой же матрицы,

Выполним такую же процедуру для второго собственного значения:

Частичная проблема собственных значений

Часто возникает задача определения не всего спектра собственных значений и векторов, а лишь каких-то, например, максимального и минимального собственных значений и соответствующих им векторов. В этом разделе рассматриваются простейшие способы вычисления собственных чисел и векторов. Для более широкого знакомства с проблемой собственных значений можно дополнительно обратиться к монографиям [11, 12].

Метод линеаризации

136

Пусть рассматривается задача (5.1), которую представим в компонентной форме

j 1

Полученное выражение можно рассматривать как систему n нелинейных уравнений с (n+1) неизвестными величинами , Xk , k 1,n . Для замыкания системы уравнений можно добавить условие нормирования собственного вектора:

j 1

Использование метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (5.7) - (5.8) приводит к итерационному процессу

В результате такого итерационного процесса будет найдено какое-то собственное значение и соответствующий ему собственный вектор, в зависимости от начального приближения.

Пример 5.5. Определить методом линеаризации собственные векторы матрицы

Согласно формулам (5.9) получаем итерационную процедуру для вычисления собственных значений и векторов:

137

На каждом этапе расчетов очередное приближение решения определяется по формулам

Результаты расчетов сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Расчет собственного значения и вектора методом линеаризации

Степенной метод

Степенной метод предназначен для определения наибольшего (по модулю)

собственного значения.

Пусть все собственные числа упорядочены следующим образом:

1 1 n.

Рассмотрим итерационный процесс вида

138