Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
89
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Rn полную ортонормированную систему, которую можно использовать в качестве базиса.

Очевидно, что для симметричных матриц Xi Yi . А значит, имеет место устойчивость собственных значений:

d idA.

Для оценки устойчивости собственных векторов теперь рассмотрим случай i j. В

силу формулы (5.3) следует

A Xi ,Y j Xi ,ATY j Xi , jY j j Xi ,Y j .

Используя это выражение и условие ортогональности векторов

Xi ,Yj 0, i j,

из соотношения (5.4) получаем

A Xi ,Y j i Xi ,Y j j Xi ,Y j ,

Xi ,Y j A Xi ,Y j .

i j

Разложим вектор Xi по базису Xk , k 1,n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi ik Xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

Вычислим скалярное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Xi ,Yp

ik Xk,Yp

 

ik Xk,Yp ip Xp,Yp ,

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

которое позволяет получить выражение для коэффициентов разложения ij :

 

 

ip

Xi ,Yp

 

 

 

A Xi ,Yp

, i p.

 

 

 

Xp,Yp

Xp,Yp i p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае

i = p

за счет произвола в выборе длины собственных векторов можно

положить ip

0. Теперь разложение вектора Xi

по базису Xk,

k 1,n

имеет вид

 

 

 

 

 

 

n

 

A Xi ,Yk

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

k

,Y

k

i

Xk .

 

 

 

 

 

 

 

k 1,k i X

 

 

k

 

 

 

Оценим приращение вектора Xi :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

A Xi

Yk

Xk

 

 

 

 

n

 

Yk Xk

 

Xi

Xk,Yk i

k

 

 

A Xi

,Yk i

,

 

k 1,k i

 

 

 

 

 

k 1,k i Xk

k

129

 

 

 

n

Ck .

Xi

A Xi

 

 

 

 

 

k 1,k i i

k

Отсюда очевидно, что неустойчивость собственных векторов имеет место в случае,

когда велики коэффициенты перекоса Ck , либо близки собственные значения k, k 1,n .

Пример 5.2. Рассмотрим матрицу A,

указанную в примере 5.1. Нетрудно убедиться,

что для транспонированной матрицы

AT

1

5

 

 

собственные числа остаются теми же,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

1 6,

2

1, а соответствующие

собственные

векторы определяются следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

1

 

2 1

0707106781,

 

 

 

 

 

2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

1

0707106781,

 

 

Y

2

 

 

1

5

0928476691,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

29

2

0371390676,

Перемножим скалярно собственные векторы обеих матриц:

X1

1

25,

1

5

 

1

0 0,

,Y2

29

 

 

29

 

29

 

2

 

 

 

X2,Y1 2

11,

 

1

 

1 0

0,

2

 

2

 

2

1

 

 

2

 

 

то есть имеет место ортогональность собственных векторов матриц A и AT ;

X1,Y1

1

25,

2

1

 

7

2

091914503,,

 

 

29

2

1

 

2

29

 

X2,Y2

2

11,

1

5

7

2

091914503,.

 

 

 

2

 

29

2

2

29

Подсчитаем коэффициенты перекоса:

С1

 

X1 Y1

 

 

 

1 1

 

2

29

1087967587,,

X1,Y1

7

 

2

 

7

2

 

 

 

 

2

29

 

 

 

 

 

С2

 

X2 Y2

 

 

 

 

1 1

 

2

29

1087967587,.

X2,Y2

 

7

 

 

2

 

7

2

 

 

 

 

2

29

 

 

 

 

Пример 5.3. Оценить влияние погрешности на результаты вычисления собственных

значений матрицы

130

1

1

0

0

 

 

 

 

 

 

A 0

2

1

0

,

0

0

3

1

 

 

0

0

 

 

 

4

 

где e - малое возмущение (погрешность).

Решение характеристического уравнения

det A E 1 2 3 4 0.

дает корни (собственные значения):

1 25. 5 41 , 2

2 25. 5 41 , 2

3 25. 5 41 , 2

4 25. 5 41 . 2

В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных величинах e.

Таблица 5.1

Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности

Собственные значения

e = 0

e = 0,1

e = 0,01

e = 0,001

 

 

 

 

 

1

1,0

0,983817673

0,9983384

0,999833384

2

2,0

2,051456633

2,005012689

2,000500125

3

3,0

2,948543367

2,994987311

2,999499875

4

4,0

4,016182327

4,0016616

4,000166616

 

 

 

 

 

Определение собственных значений и векторов

Метод интерполяции

131

Пусть задана матрица А размером n n. Очевидно, что характеристический многочлен в этом случае имеет порядок n (полином степени n), и задача заключается в определении

корней этого полинома.

Алгоритм вычисления собственных значений матрицы А следующий:

1. Строится функция f det A E :

 

 

 

 

- на числовой оси выбирается (n+1) значений k,

k 0,n ;

- подсчитываются значения функции

f

 

 

, k 0,n

, например, с помощью процедуры

 

 

k

 

метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений;

- по найденным значениям fk, k 0,n

 

строится интерполяционный полином Pn x

Ньютона (Лагранжа); ранее отмечалось, что для рассматриваемого случая многочлен степени n определяется единственным образом; в силу этого построенный полином как раз

ибудет характеристическим.

2.Каким-либо из известных методов решения нелинейных уравнений отыскиваются корни построенного полинома Pn x , которые представляют собой собственные значения

исходной матрицы.

Трехдиагональные матрицы

В практике инженерных расчетов часто встречаются трехдиагональные матрицы, у

которых отличны от нуля лишь коэффициенты, расположенные на главной диагонали, а

также над и под нею. Пусть такая матрица имеет вид

 

a11

a12

0

 

0

0

0

 

 

 

a22

a23

0

0

0

 

 

a21

 

 

0

a32

a33

 

0

0

0

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

0

0

0

 

an 2n 2

an 2n 1

0

 

 

 

0

0

 

an 1n 2

an 1n 1

 

 

 

0

an 1n

 

 

0

0

 

0

ann 1

ann

 

 

0

 

 

Для определения собственных значений требуется подсчитать определитель матрицы

 

a11

a12

0

 

0

0

0

 

 

 

a21

a22

a23

 

0

0

0

 

 

 

 

 

0

a32

a33

 

0

0

0

 

A E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

0

0

0

 

an 2n 2

an 2n 1

0

 

 

 

 

0

0

 

an 1n 2

an 1n 1

an 1n

 

 

0

 

 

 

0

0

0

 

0

ann 1

 

 

 

 

 

ann

132

Разложим этот определитель Dn det A E по коэффициентам нижней строки матрицы A E :

Dn ann Dn 1 ann 1Bnn 1 ,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

0

 

0

0

 

 

 

 

a22

a23

 

0

0

 

 

 

a21

 

 

 

0

a32

a33

 

0

0

 

 

Dn 1 det

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

0

0

0

 

an 2n 2

an 2n 1

 

 

 

 

0

0

 

an 1n 2

an 1n 1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

0

 

0

0

 

 

 

 

 

a21

a22

a23

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a32

a33

 

0

0

 

 

Bnn 1 det

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

0

0

0

 

an 2n 2

0

 

 

 

 

 

 

0

0

 

an 1n 2

 

 

 

 

 

0

an 1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот минор содержит лишь один ненулевой элемент an 1n

в последнем столбце. В

этом случае возможно представление

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

a12

0

 

0

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a23

 

0

 

 

 

an 1n

 

 

 

 

Bnn 1

det

0

a32

a33

 

0

an 1nDn 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 2n 2

 

Таким образом, получено рекуррентное соотношение для вычисления значения определителя трехдиагональной матрицы:

Dn ann Dn 1 ann 1an 1nDn 2 .

Для определенности следует положить D 1 0, D0 1. В этом случае, очевидно,

имеют место выражения:

D1 a11 D0 a10a01D 1 a11 ,

D2 a22 D1 a21a12D0 a11 a22 a21a12 ,

... и так далее.

133

Поиск собственных векторов

При численных расчетах, как правило, отыскиваются лишь приближенные величины

собственных значений

~

,

k 1,n. В этом случае

 

 

k

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

det A kE 0

и система уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

~

k

0

 

 

 

A kE X

 

позволяет отыскать лишь тривиальное решение Xk 0, k 1,n .

Пусть F Rn - произвольный вектор. Рассмотрим систему уравнений

~

(0)

F .

(5.5)

A iE Z

 

Пусть X j, j 1,n - собственные линейно-независимые

векторы, соответствующие

различным собственным значениям32; эти векторы в

Rn можно взять в качестве базиса.

Разложим векторы Z(0), F по этому базису:

 

 

n

 

n

Z(0) (j0)X j ,

F

jX j .

j 1

 

j 1

Подставим эти выражения в систему уравнений (5.5):

 

 

 

 

 

 

 

~

 

n

(0)

X

j

 

n

 

 

 

j

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A iE j

 

jX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

(0)

 

~

 

 

j

 

 

j

 

 

n

 

(0)

AX

j

~

j

jX

j

 

 

 

 

j

 

A iE X

 

jX

 

j

 

 

i

X

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

(0)

 

j

~

 

X

j

jX

j

 

 

n

 

 

(0)

 

~

 

 

j

0.

 

 

 

j jX

 

i

 

 

j j i j X

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу линейной независимости векторов X j,

 

j 1,n

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

 

 

j

~

,

j 1,n .

 

 

 

 

 

 

 

 

j

j i j 0,

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j i

 

 

 

 

 

 

 

 

При условии, что

 

i

~

 

, коэффициент

 

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

(0)

,

k i,

 

i

i

 

становится большим, i

k

вследствие чего

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z(0)

 

(j0)X j (i

0)Xi ,

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

32 Согласно [7], собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

134

то есть вектор Z(0) будет близок по направлению к собственному вектору Xi . Повторим решение системы уравнений (5.5) с новой правой частью:

~

(1)

Z

(0)

.

A iE Z

 

 

Вновь представим решение в виде разложения

n

Z(1) (j1)X j j 1

иповторим предыдущие рассуждения, что приведет к выражению

(0)

j , j 1,n.~(j1)

 

j

i

 

 

Очевидно, что поскольку величина

i(0) значительно преобладает над остальными

коэффициентами (j0),

j i, новый коэффициент

(i1) будет еще больше, чем (i

0) , то есть

вектор Z(1) будет еще ближе по направлению к собственному вектору Xi . Иными словами возможно построение итерационного процесса вида

~

(k 1)

Z

(k)

,

(5.6)

A iE Z

 

 

причем Z(0) - произвольный начальный вектор.

Следует отметить, что если собственное значение вычислено достаточно точно, то

~

 

 

det A iE 0, что может привести к аварийной остановке вычислительного процесса.

В этом случае для повышения устойчивости расчетов в матрицу

~

вносится

A iE

 

~

 

некоторая погрешность, например, за счет искажения собственного значения i .

 

1

2

 

Пример 5.4. Определить собственные векторы для матрицы A

.

 

5

4

 

При выполнении примера 5.1 получены собственные значения 1 6, 2 1. Для

определения собственных векторов, соответствующих первому собственному значению,

~

зададим погрешность e : 1 1 6 .

Система уравнений (5.6) для первого вектора Z(0)

1

принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5 X

11 2X12 1,

 

 

5X1

 

 

2

 

X1 1.

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

Это система уравнений имеет следующее решение:

 

 

4

 

 

 

 

10

X11

7

,

X12 7 .

135

Для погрешности e=0,001 получаем

 

X11 5714897872,,

X12 1428510213,,

X1 1538584416,.

После нормирования компоненты собственного вектора единичной длины

X11 0371438695,,

X12 0928457482,.

Первый собственный вектор, определенный ранее для этой же матрицы,

X

1

1

2

0371390676,

 

 

 

 

.

 

 

29

5

0928476691,

Выполним такую же процедуру для второго собственного значения:

~

2

1;

2

2 X

12 2X22 1,

 

 

 

 

 

 

 

2

2

5X

1 5 X2 1;

 

 

 

 

 

15 9

 

3

 

 

 

X12

5 7 ,

X

22 7 ;

 

 

X12

428767319,,

X22

4286530496,;

 

 

 

 

 

X2 6062877623,.

Нормированный собственный вектор

 

 

 

 

X12 0707201012,,

X22 0707012538,.

Второй собственный вектор, определенный в примере 5.1, отличается от найденного

лишь направлением: X

2

2 1

0707106781,

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2

1

 

0707106781,

Частичная проблема собственных значений

Часто возникает задача определения не всего спектра собственных значений и векторов, а лишь каких-то, например, максимального и минимального собственных значений и соответствующих им векторов. В этом разделе рассматриваются простейшие способы вычисления собственных чисел и векторов. Для более широкого знакомства с проблемой собственных значений можно дополнительно обратиться к монографиям [11, 12].

Метод линеаризации

136

Пусть рассматривается задача (5.1), которую представим в компонентной форме

n

 

 

fi X, aijXj Xi,

i 1,n .

(5.7)

j 1

Полученное выражение можно рассматривать как систему n нелинейных уравнений с (n+1) неизвестными величинами , Xk , k 1,n . Для замыкания системы уравнений можно добавить условие нормирования собственного вектора:

n

 

 

X 2 Xj 2

1.

(5.8)

j 1

Использование метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (5.7) - (5.8) приводит к итерационному процессу

fi X

(k), (k) fi X

(k)

 

(k)

DX(jk) 0,

i 1,n ,

 

 

,

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

Xj

 

 

 

 

 

 

2

 

n

X(k)

2

DX(jk) 0,

 

 

 

X(k)

 

 

 

 

Xj

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

где DX(jk) X(jk 1) X(jk) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая конкретный вид уравнений (5.7) и (5.8), получаем

 

n

 

 

(k) DX(ik)

n

 

i 1,n;

aijDX(jk) D(k) X(ik)

aijX(jk) (k)X(ik),

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2 X(jk)DX(jk) 1 X(jk) .

 

 

 

 

 

 

k 1

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате такого итерационного процесса будет найдено какое-то собственное значение и соответствующий ему собственный вектор, в зависимости от начального приближения.

Пример 5.5. Определить методом линеаризации собственные векторы матрицы

1

2

A

.

5

4

Согласно формулам (5.9) получаем итерационную процедуру для вычисления собственных значений и векторов:

137

 

(k)

 

(k)

 

 

(k)

 

(k)

 

 

 

(k)

 

 

 

 

 

(k)

 

 

(k)

 

(k)

(k)

(k)

;

 

1 DX1

2 DX2

X1

D

 

 

 

 

 

DX1

 

 

 

X1

1 X1 2 X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

(k)

 

 

(k)

 

(k)

 

 

(k)

 

 

 

 

 

(k)

 

 

 

(k)

 

(k)

(k)

4 X

(k)

;

5 DX1

4 DX2

X2

D

 

 

 

 

 

 

DX2

 

 

X2

5 X1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2X(k)DX(k)

1

 

X(k)

 

2

 

 

X(k)

 

2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2X(k)DX(k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (k) DX1(k)

2 DX2(k)

X1(k) D (k)

(k) X1(k)

1 X1(k) 2 X2(k);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

 

(k)

 

(k)

 

 

 

 

(k)

 

 

 

 

 

(k)

 

 

 

(k)

 

(k)

 

(k)

(k)

 

 

 

5 DX1

4

 

DX2

X2

D

 

 

 

X2

5 X1 4 X2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)DX

(k) 1

 

X(k)

 

2

 

 

X(k)

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

2X(k)DX(k) 2X

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

На каждом этапе расчетов очередное приближение решения определяется по формулам

X1(k 1) X1(k) DX1(k),

X2(k 1) X(2k) DX2(k),

(k 1) (k) D (k) .

Результаты расчетов сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Расчет собственного значения и вектора методом линеаризации

Номер

X1(k)

X(2k)

 

итерации

 

 

 

 

 

 

 

0

1,0

1,0

1,0

1

-0,375

1,875

4,75

2

0,45741931

1,082795321

6,26862705

3

0,376979184

0,946529203

6,038835844

4

0,371426686

0,928555837

6,000515885

5

0,371390677

0,928476699

6,000000051

6

0,371390676

0,928476691

6,000000000

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

решение сошлось к найденным

ранее собственному вектору

X

1

1

2

 

0371390676,

6.

 

 

 

 

и собственному значению 1

 

 

29

5

 

0928476691,

 

Степенной метод

Степенной метод предназначен для определения наибольшего (по модулю)

собственного значения.

Пусть все собственные числа упорядочены следующим образом:

1 1 n.

Рассмотрим итерационный процесс вида

138

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]