Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
89
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

~

 

~ ~

~

~

 

~

.

Av,v 2 Ac

f,v Ac,c

2 f,c

Av,v 2 Ac

f,v F c

Принимая во внимание выражение (4.30), окончательно получаем

F ~c v Av,v F ~c .

Сучетом положительной определенности матрицы А последнее выражение приводит

кнеравенству F ~c v F ~c v Rn 1 , но это и означает минимальность функционала

(4.29) в точке ~c .

 

 

 

 

 

 

Необходимость. Пусть теперь вектор ~c

доставляет минимум функционалу (4.29).

Воспользуемся полученным выше равенством

 

 

 

 

~

 

~

 

~

.

 

F c v Av,v

2 Ac f,v F c

Положим v u,

u Rn 1- произвольный вектор, - скаляр; тогда

 

~

2

 

~

 

~

 

F c u Au,u 2 Ac f,u F c .

Полученное выражение теперь можно рассматривать как скалярную функцию

 

2

 

~

 

~

 

 

g

Au,u 2 Ac f,u F c

аргумента .

В силу допущения о минимальности функционала (4.29) имеем F ~c u F ~c , то есть g g 0 . Это, в свою очередь означает, что =0 доставляет минимум функции

g( ), откуда следует

d

g

0,

 

 

 

 

 

 

d

0

 

 

~

 

 

~

 

g 0 2 Au,u 2 Ac f,u

0

2 Ac f,u 0.

Поскольку последнее равенство справедливо u Rn 1 , получаем Ac~ f 0, что и требовалось доказать.

В компонентной записи система линейных алгебраических уравнений выглядит следующим образом:

n

f,jp H,

 

 

~ck jk ,jp H

p 0,n.

(4.31)

k 0

 

 

 

Алгоритм определения элемента наилучшего приближения:

b

- вычисление коэффициентов матрицы akp jk ,jp H jk x jp x dx, k,p 0,n;

a

119

b

- вычисление значений правых частей fp f,jp H f x jp x dx, p 0,n ;

a

- решение системы уравнений (4.31);

n

~ ~

- построение j ckjk .

k0

Вслучае ортонормированности системы jk, k 0,n

значительно упрощается, поскольку в этом случае

вектора ~ определяются сразу: ck

 

~

n

 

~

построение приближения j ckjk

akp jk,jp

 

k 0

dkp и коомпоненты

 

H

 

 

b

 

~ck f,jk H

f x jk x dx,

k 0,n .

 

a

 

В этом случае погрешность приближения может быть оценена следующим образом:

~

2

~ ~

f

2

~

~

2

 

f

H

f ,f H

H

2 f, H

 

H

n

 

n

 

 

n

n

 

n

f2H 2 ~ck f, k H ~ck~cp k , p H f2H 2 ~ck2 ~ck~cp kp f2H ~ck2.

k 0 k,p 0 k 0 k,p 0 k 0

n

~

30

~ck, k 0,n -

Разложение j ~ckjk

носит название многочлена Фурье , а

k 0

 

 

коэффициенты Фурье.

На рис. 4.6 приведены графики приближения | x | c помощью степенных рядов.

30 Фурье Жан Батист Жозеф [21.3.1768 - 16.5.1830] - французский математик. Окончил военную школу в Осере, там же работал преподавателем. В 1796 - 1798 годах преподавал в Политехнической школе в Париже. В 1798 году принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта. В 1802 -1815 годах был префектом департамента Изер. С 1817 года избран членом Парижской академии наук.В 1829 году стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук.

120

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

Рис. 4.6. Построение наилучшего приближения функции | x | с помощью

полиномов Pn

Метод наименьших квадратов

 

 

 

 

 

 

В практических исследования часто возникает ситуация, когда необходимо аппроксимировать табличные значения fk f xk , k 0,n с помощью приближения j(x),

содержащего определяемые коэффициенты ck , k 0,m в количестве, меньшем чем число узловых точек, m < n. По этой причине, в отличие от рассмотренных ранее способов аппроксимации функции полиномами Ньютона, Лагранжа, сплайнами, не используется условие f xk j xk , k 0,n - равенство значений функции f(x) и ее приближения j(x) для заданного числа значений аргумента. Так, в рассматриваемом методе наименьших квадратов, “близость” аппроксимирующего многочлена к самой функции оценивается с помощью какой-либо нормы, то есть “в среднем” для всего отрезка, на котором строится аппроксимация. Для получения алгоритма построения приближения воспользуемся полученными соотношениями (4.26) - (4.31).

Пусть известен набор значений fk f xk , k 0,n функции для ряда значений ее аргумента. Для рассматриваемого случая положим H = Rn 1. В линейном пространстве размерности (n+1) скалярное произведение и норма определяются известным образом:

n

 

u,v ukvk ,

u,v Rn 1 ,

k 0

 

n

u u,u ukuk .

k 0

121

Пусть отыскиваемое приближение j x;c0,c1, ,cm зависит от известного числа m

параметров c0,c1, ,cm .

Степень отклонения функции f(x) от ее приближения j(x) определяется соотношением

f 2 f2 2 f, 2

n

n

n

(4.32)

fk2 2 fk xk ;c0,c1, ,cm 2 xk;c0,c1, , cm .

k 0

k 0

k 0

Для определения наименьшего отклонения воспользуемся необходимыми условиями минимума функции нескольких переменных:

2 n

f 2 fk

с0 k 0

2 n

f 2 fk

с1 k 0

 

 

 

 

 

n

 

f 2 2 fk

 

сm

k 0

xk ;c0,c1, ,cm

n

xk;c0,c1, ,cm 0,

2 xk ;c0, c1, ,cm

c0

k 0

c0

xk ;c0, c1, ,cm

n

xk ;c0, c1, ,cm 0,

2 xk ;c0,c1, ,cm

c1

k 0

c1

xk;c0,c1, , cm

n

 

2 xk;c0,c1, ,cm xk;c0,c1, , cm 0.

cm

k 0

cm

Иными словами, речь идет о решении системы алгебраических уравнений, в общем случае - нелинейных:

n

 

x

 

;c

 

,c , ,c

m 0,

fk xk ;c0,c1, ,cm

 

 

k

 

0

1

k 0

 

 

 

 

c0

 

 

 

x

 

;c

 

,c , ,c

m 0,

n

 

 

fk xk ;c0,c1, ,cm

 

 

k

 

0

1

k 0

 

 

 

 

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk;c0,c1, ,cm 0.

n

fk xk ;c0,c1, ,cm

k 0

 

 

 

cm

 

В частном случае, когда приближение j(x) представимо в виде

m

j x;c0,c1, ,cm jk x ,

k 0

оценку (4.32) отклонения функции от ее приближения можно записать в форме:

122

n

n

n

f 2 fk2 2 fk xk ;c0,c1, ,cm 2 xk ;c0,c1, ,cm

k 0

 

k 0

 

 

k 0

 

n

n

m

n

m

m

 

fk2 2 fk cp p xk

cp p xk cq q xk .

k 0

k 0

p 0

k 0 p 0

q 0

 

Условие минимальности отклонения приближения от функции записывается аналогично представленному выше:

с0

с1

с

m

f

2 2

 

n

f

 

 

 

 

x

 

 

 

 

n

 

 

 

 

x

 

 

m

 

c

 

 

 

x

 

 

 

0,

 

0

k

 

2

 

 

0

k

p

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

p 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

2 2

 

n

f

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

n

 

 

 

 

x

 

 

 

m

c

 

 

 

 

x

 

 

 

0,

 

 

k

1

k

 

 

1

k

 

p

p

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

p 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

2 2

n

 

f

 

 

 

 

 

x

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

x

 

m

c

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0.

 

k

 

 

k

 

 

 

m

 

k

 

p

 

k

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

p 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения cp, p 0,m:

 

n

n

n

n

c0

j0 xk j0 xk c1 j1 xk j0 xk cm jm xk j0 xk fkj0 xk ,

 

k 0

k 0

k 0

k 0

 

 

 

 

 

 

n

n

n

n

c0 j0 xk j1 xk c1 j1 xk j1 xk cm jm xk j1 xk fkj1 xk ,

 

k 0

k 0

k 0

k 0

 

 

 

 

 

 

n

n

n

n

c0

j0 xk jm xk c1 j1 xk jm xk cm jm xk jm xk fkjm xk .

 

k 0

k 0

k 0

k 0

Пример приближения функции | x | на отрезке [-1, 1] с использованием метода

наименьших квадратов приведен на рис. 4.7.

123

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Рис. 4.7. Приближение полиномами Pn функции |x| методом наименьших квадратов

Контрольные вопросы и задания

Сформулируйте задачу аппроксимации. Каковы условия разрешимости этой задачи?

Укажите требования к аппроксимирующим функциям. В каком случае интерполяция называется линейной?

Что представляют собой разделенные разности? Поясните их геометрический смысл.

Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Ньютона. Что представляет собой схема Горнера?

Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Лагранжа.

Покажите, что полиномы Ньютона и Лагранжа, построенные на одном множестве табличных значений функции, тождественны.

Приведите оценку погрешности аппроксимации функции, заданной таблично,

полиномом Ньютона (Лагранжа).

Укажите условия сходимости процесса интерполяции полиномами. Приведите примеры.

Обоснуйте преимущества метода интерполяции для решения нелинейного уравнения.

Опишите способ решение нелинейного уравнения с помощью обратной интерполяции.

Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Эрмита.

Опишите идею сплайн-аппроксимации функции и порядок построения кубического сплайна.

124

Что понимается под сходимостью процесса интерполяции кубическими сплайнами?

Сформулируйте и докажите лемму об оценке сходимости по "сеточной" норме.

Сформулируйте и докажите теорему о сходимости процесса интерполяции функции кубическими сплайнами.

Опишите порядок построения наилучшего приближения функции с использованием теории гильбертовых пространств.

Вчем заключается метод наименьших квадратов для аппроксимации функции,

заданной таблично?

125

5 .

А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К А Я П Р О Б Л Е М А

 

С О Б С Т В Е Н Н Ы Х З Н А Ч Е Н И Й

Пусть А - квадратная матрица размером

n n ;

если

 

существуют такие векторы

X Rn,

X 0, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AX X ,

 

 

 

 

 

 

 

(5.1)

то называется собственным значением, а

 

X

- собственным вектором матрицы A,

соответствующим этому собственному значению.

 

 

 

 

 

 

 

В иной записи,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AX X A E X 0,

X 0.

 

 

 

(5.2)

Очевидно, что система линейных однородных алгебраических уравнений (5.2) имеет

нетривиальное решение лишь в случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

a12

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

21

a

22

 

 

 

a

2n

 

 

det A E det

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

n1

 

n2

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятно, что характеристический

многочлен

det A E является полиномом

степени n от переменной . Это, в свою очередь, означает, что существует n корней

характеристического многочлена, и, следовательно, имеется

n собственных значений k и

соответствующих им собственных векторов

Xk, k 1,n для матрицы A.

 

Пример 5.1. Пусть задана матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

 

 

 

 

 

Требуется определить собственные значения и векторы этой матрицы.

Характеристический многочлен:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

10 2 5 6

.

det

A E

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

 

 

 

 

 

 

 

Собственные значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5 25 24 6,

2 5 25 24 1.

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

126

Определим первый собственный вектор, соответствующий 1 6,

 

 

1

1

 

 

 

2X2

0,

A 1E X1 0,

5X1

 

1

1

 

 

 

 

 

5X1

2X2

0.

 

 

Здесь обозначено: X11, X12 - компоненты вектора X1 .

Очевидно, что последняя система содержит линейно зависимые уравнения (как это и следовало ожидать при det A 1E 0). Используя любое из уравнений этой системы,

получим X11 2 X12 . 5

Примем для однозначности определения собственных векторов условие нормирования

Xk 1, k 1,n , то есть

X1

 

X11 2 X12

2

 

4

X12

2 X12

2

X12

29 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

5

X

1

 

5

1

 

2

, X1

1

2

 

0371390676.

2

 

, X1

29

29

 

 

.

 

 

 

29

 

 

 

 

5

 

0928476691.

Теперь найдем второй собственный вектор, соответствующий 2 1,

 

 

2

2X

2

0,

A 2E x2 0,

2X1

2

 

 

 

 

 

 

 

2

5X

2

0.

 

5X

1

2

 

 

 

 

Отсюда получаем связь компонент второго собственного вектора: X12 X22 .

Из условия нормирования следует:

 

 

X2

X12 2 X22 2

 

 

X22 2 X22 2

X22

2 1,

X

2

 

1

2

 

1

 

2

2

1

0707106781.

2

,

X1

, X

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

1

 

0707106781.

Устойчивость собственных значений и векторов

Рассмотрим две матрицы, A и AT . Собственные числа обеих матриц, в чем нетрудно

убедиться, одинаковы. Собственные векторы матриц обозначим соответственно

Xk, Yk, k 1,n :

AXi iXi , ATY j jY j.

Для скалярных произведений Y j,AXi и ATYj,Xi вычислим разность

Y j,AXi ATYj,Xi Yj, iXi jY j,Xi i j Yj,Xi .

127

Поскольку

 

Y j,AXi ATYj,Xi ,

 

(5.3)

получаем:

 

 

 

 

i j Y j,Xi 0.

 

 

Отсюда следует,

что для различных собственных значений, i

j ,

собственные

векторы матриц A и

AT взаимно ортогональны.

 

 

Представим выражение (5.1) в малых приращениях:

 

 

 

A Xi A Xi i Xi i Xi .

 

 

Это выражение скалярно умножим на Yj:

 

 

A Xi ,Y j A Xi ,Y j i Xi ,Y j i Xi ,Y j .

(5.4)

Для оценки устойчивости собственных значений в формуле (5.4) положим i = j :

A Xi ,Yi A Xi ,Yi i Xi ,Yi i Xi ,Yi .

Поскольку

A Xi ,Yi Xi ,ATYi Xi , iYi i Xi ,Yi ,

получаем

A Xi ,Yi i Xi ,Yi ,

i Xi ,Yi A Xi ,Yi A Xi Yi AXi Yi.

Отсюда следует оценка

 

 

 

 

 

i

A

Xi

Yi

Сi A .

 

Xi ,Yi

 

 

 

Величина

 

 

 

 

 

 

Сi

Xi

Yi

 

1

 

Xi ,Yi

cos i

называется коэффициентом перекоса; i - угол между векторами Xi, Yi .

Далее будем предполагать, что матрица A симметрична31, то есть A AT , и все ее собственные числа различны. В этом случае собственные векторы матрицы А образуют в

31 В этом случае, согласно [7], все собственные числа матрицы А вещественны.

128

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]