Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Итерационные методы решения

Итерационными называются методы, при которых решение системы уравнений (2.1)

получается как предел некоторой последовательности.

Вновь рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(A), которую представим в компонентной форме

m

 

 

ai jxj

fi,

i 1,m .

j 1

 

 

Преобразуем эту систему к виду

 

 

 

i 1

 

m

 

 

 

 

 

aijxj aiixi

aijxj

fi ,

 

 

 

j 1

 

j i 1

 

 

 

 

1

 

i 1

m

 

 

 

xi

aijxj

aijxj

 

i 1,m.

 

 

fi

,

 

a

ii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

j i 1

 

 

 

Метод Якоби9

Последнее выражение представим в виде итерационной схемы

(n 1)

 

1

 

i 1

m

 

 

 

 

(n)

(n)

i 1,m ,

(2.9)

xi

 

fi

ai jxj

ai jxj

,

 

 

ai i

j 1

j i 1

 

 

 

где n - номер итерации. Для получения решения используется следующий алгоритм. В

качестве нулевого приближения выбираются какие-либо (зачастую произвольные) значения x(j0), j 1,m искомых величин, которые подставляются в правую часть выражения (2.9), что позволяет определить первое приближение неизвестных x(j1), j 1,m. Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть выражения (2.9) и вычисляются x(j2), j 1,m,

и так далее. Вычислительный процесс заканчивается, например, когда выполняется условие

maxx(jn 1) x(jn) , 1 j m

где e > 0 - заданная точность вычисления результата.

Пример 2.3. Рассмотрим систему алгебраических уравнений

9 Якоби Карл Густав Якоб [10.2.1804 - 18.2.1851] - немецкий математик. С 1830 года являлся иностранным членом-корреспондентом (с 1833 года - иностранным почетным членом) Петербургской академии наук; с 1836 года - членом Берлинской академии наук; с1846 года - членом Парижской академии наук; с 1833 года -

членом Лондонского королевского общества. С 1829 по 1942 годы был профессором Кенигсбергского университета.

42

4x 2y 5,

3x 5y 9.

Точное решение этой системы x = 0,5,

y=1,5 .

 

Из первого уравнения выразим первую неизвестную x

 

x 5 2y

,

 

 

 

 

4

 

 

а из второго - неизвестную y,

 

 

 

 

 

 

y 9 3x .

 

 

 

 

5

 

 

Представим полученные выражения в виде итерационной схемы

 

(n 1)

 

5 2y(n)

x

 

4

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

9 3x .

y(n 1)

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

В качестве начального приближения примем x(0) 0, y(0) 0. Результаты расчетов

сведены в табл. 2.1. На рис. 2.1 графически показан ход выполнения итерационного процесса метода Якоби.

Таблица 2.1

Результаты выполнения итерационной процедуры метода Якоби

n

x(n)

y(n)

 

 

 

0

0

0

1

1,25

1,8

2

0,35

1,05

3

0,725

1,59

4

0,255

1,365

5

0,5675

1,527

6

0,4865

1,4595

7

0,5203

1,5081

8

0,4959

1,4879

9

0,5061

1,5024

10

0,4988

1,4964

11

0,5018

1,5007

12

0,4996

1,4989

13

0,5005

1,5002

 

 

 

43

Представим

матрицу коэффициентов А в виде суммы

A A1

D A2 ,

где

A1 i j ai j,

i j

- нижняя треугольная матрица с нулевой диагональю; A2

i j ai j,

i j

- верхняя треугольная матрица с нулевой

диагональю; D i j ai j,

i j -

диагональная

матрица. Теперь систему уравнений Ax = f

можно представить в виде:

 

 

 

 

Ax (A1 D A2 )x f,

 

 

 

 

 

Dx f (A1 A2 )x,

 

 

 

и метод Якоби будет выглядеть следующим образом:

 

 

 

 

 

Dx(n 1) f (A1 A2)x(n) .

 

 

 

Учитывая, что A1 A2 A D , последнее выражение можно

также представить в

форме

 

 

 

 

 

 

 

 

D(x(n 1) x(n) ) Ax(n) f .

 

(2.10)

Y

3

4x + 2y = 5

2

1

 

 

 

3x + 5y = 9

0

 

 

X

0

1

2

3

Рис. 2.1. Схема выполнения метода Якоби

44

Метод Зейделя10

Преобразуем выражение (2.9) к виду

(n 1)

 

1

 

i 1

m

 

 

 

 

(n 1)

(n)

i 1,m ,

(2.11)

xi

 

fi

ai jxj

ai jxj

,

 

 

ai i

j 1

j i 1

 

 

 

где n - также номер очередной неизвестной предыдущих величин.

выполняется условие:

итерации. В отличие от метода Якоби, теперь для вычисления используются найденные на этой же итерации значения всех Как и ранее, вычислительный процесс заканчивается, когда

maxx(jn 1) x(jn) , 1 j m

e>0 - заданная точность вычисления результата.

Пример 2.4. Рассмотрим систему алгебраических уравнений, указанную в предыдущем примере:

4x 2y 5,

3x 5y 9.

Представим полученные выражения в виде итерационной схемы:

 

(n 1)

 

5 2y

(n)

x

 

4

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

 

 

9 3x

 

 

 

.

y(n 1)

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Это означает, что для нахождения величины y на (n+1) итерации используется значение x, только что вычисленное на этой же итерации. В качестве начального

приближения также примем x(0) 0,

y(0) 0. Результаты расчетов сведены в табл. 2.2. На

рис. 2.2 графически показан ход выполнения итерационной процедуры Зейделя.

 

Как и в предыдущем случае, представим матрицу коэффициентов А в виде суммы

A A1 D A2

с теми же обозначениями. Метод Зейделя можно представить в форме

 

(A1

D)x(n 1)

f A2x(n) .

 

Учитывая,

как и ранее, что A2

A A1

D , последнее выражение можно записать в

виде итерационной схемы

 

 

 

 

(A1 D) (x(n 1) x(n)) Ax(n) f .

(2.12)

Таблица 2.2

10 Зейдель Филипп Людвиг [24.10.1821 - 13.8.1896] - немецкий астроном и математик. С 1851 стал членом Баварской академии наук; с 1854 - членом Геттингенской академии наук.

45

Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя

n

x(n)

y(n)

 

 

 

0

 

0

1

1,25

 

 

 

1,05

2

0,725

 

 

 

1,365

3

0,5675

 

 

 

1,4595

4

0,5203

 

 

 

1,4879

5

0,5061

 

 

 

1,4964

6

0,5018

 

 

 

1,4989

7

0,5005

 

 

 

1,4997

 

 

 

Y

3

4x + 2y = 5

2

1

 

 

 

3x + 5y = 9

0

 

 

X

0

1

2

3

Рис. 2.2. Схема выполнения метода Зейделя

46

Сходимость итерационных методов

Сравнивая формулы (2.10) метода Якоби и (2.12) метода Зейделя, можно заметить, что

если методы сходятся, то есть в некотором смысле

x(n 1) x(n) 0,

n , то они

сходятся к решению исходных задач Ax(n)

f,

n .

 

 

 

Пример 2.5. Рассмотрим еще одну систему алгебраических уравнений, несколько

отличающуюся от приведенных в предыдущих примерах:

 

 

 

4x 2y 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20x 5y 25,.

 

 

 

Точное решение этой системы x = 0,5,

y = 1,5 .

 

 

 

 

Для решения воспользуемся методом Зейделя. Как и ранее, представим уравнения в

виде итерационной схемы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

 

 

5 2y ,

 

 

 

 

x(n

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

 

 

 

 

25. 20x

.

 

 

 

 

 

 

 

y(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчетов сведены в табл. 2.3. На рис. 2.3 отражен ход выполнения

процедуры Зейделя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.3

Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

x(n)

 

 

y(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0,0

 

 

 

1

 

 

 

1,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,5

 

 

 

2

 

 

-1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-4,5

 

 

 

3

 

 

 

3,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13,5

 

 

 

4

 

 

-5,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-22,5

 

 

 

5

 

 

12,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49,5

 

 

 

6

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчетов показывают, что в последнем случае отсутствует сходимость последовательности результатов к точному решению. Это приводит к необходимости определения условий сходимости той или иной итерационной процедуры.

47

В общем случае итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в канонической форме

(n 1)

x(n 1) x(n)

 

(n)

 

n 01,,...,

(2.13)

B

(n 1)

Ax

 

f,

где B(n 1), (n 1) - итерационные параметры.

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

-20x + 5y = -2.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

-4

-3

-2

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

4x + 2y = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.3.

Отсутствия сходимости

 

при использовании метода Зейделя

 

В случае, если B(n 1), (n 1) не зависят от номера итерации, метод называется

стационарным. В частности, для метода Якоби B(n 1) D, (n 1) 1; для метода Зейделя

B(n 1) A1 D, (n 1) 1.

Если B(n 1) Е , метод называется явным; в случае B(n 1) Е - неявным.Примеры итерационных методов:

- явный стационарный метод простых итераций

x(n 1) x(n) Ax(n) f ;

48

- неявный стационарный метод верхней релаксации

D wA1

x(n 1) x(n)

Ax(n) f,

w 0.

 

w

 

 

Введем пространство H Rm m - мерных векторов со скалярным произведением

m

u,v uivi

i 1

и нормой

m

w w,w w2i .

i 1

Определим матричное неравенство: квадратная матрица C > 0 тогда и только тогда,

когда

Cx,x 0 x H,x 0.

Иначе это определение может быть записано следующим образом:

0,

Cx,x x 2,

x 0.

Чтобы определить величину , рассмотрим два случая:

1. Пусть симметричная матрица С > 0, тогда согласно первоначальному определению квадратичная форма11 (Сx,x) > 0 . Но квадратичную форму можно привести к каноническому виду в главных осях:

 

 

m

m

 

 

Cx,x ci jxjxi

i 2i ,

 

 

 

i,j 1

i 1

 

где i

- собственные числа матрицы С; i - главные координаты.

 

m

 

 

 

В силу С > 0

имеем i 2i

0, вследствие чего i 0,

i 1,m, и отсюда получаем

 

i 1

 

 

 

m m

Cx,x i 2i min 2i min 2 , i 1 i 1

то есть в качестве может быть взято наименьшее собственное значение матрицы С.

2. Если С - несимметричная матрица, поступают следующим образом для определения

:

m

Cx,x ci jxjxi ,

i,j 1

11 Согласно [7], квадратичная форма определяется только для симметричных матриц.

49

m

m

m

 

x,CTx xi ciTjxj

cjixjxi,

ciTj cji .

i 1

j 1

i,j 1

 

В последнем соотношении индексы суммирования можно поменять местами:

m

x,CTx ci jxixj

i,j 1

Теперь очевидно, что Cx,x x,CTx . Поскольку Cx,x 0, то и x,CTx 0.

Построим матрицу C 1 C CT :

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ci j 21 ci j ciTj 12 ci j cji 12 cTji cji ciTj,

 

 

но это означает, что построенная матрица является симметричной. Кроме того,

 

1

C C

T

x,x

1 m

1

m

m

 

Cx,x

2

 

ci j cji xjxi

 

ci jxjxi

cjixjxi

 

 

 

 

 

2i,j 1

2 i,j 1

i,j 1

 

1 Cx,x 1 x,CTx Cx,x 0 2 2

в силу предыдущих соотношений.

Это, в свою очередь, означает, что Cx,x x2,

значение матрицы C 12 C CT . Следовательно,

Cx,x Cx,x x2

min - наименьшее собственное

,

то есть указанное выше дополнительное определение положительности имеет место и для несимметричной матрицы.

Оценка

Cx,x x2

позволяет утверждать, что существует обратная матрица C 1 , так как в случае положительной определенности матрицы все ее главные (угловые) миноры положительны

(критерий Cильвестра12, [7]).

12 Сильвестр Джеймс Джозеф [3.9.1814 - 15.3.1897] - английский математик. Окончил Кембриджский университет в 1837 году. С 1855 по 1870 годы являлся профессором Королевской академии в Вулидже; с 1876 по 1883 год - профессором университета Джона Хопкинса в г. Балтиморе; с 1883 года - профессором Оксфордского университета. С 1872 года - иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]