Boyarshinov_ChM_T1

Итерационные методы решения

Итерационными называются методы, при которых решение системы уравнений (2.1)

получается как предел некоторой последовательности.

Вновь рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(A), которую представим в компонентной форме

Преобразуем эту систему к виду

Метод Якоби9

Последнее выражение представим в виде итерационной схемы

где n - номер итерации. Для получения решения используется следующий алгоритм. В

качестве нулевого приближения выбираются какие-либо (зачастую произвольные) значения x(j0), j 1,m искомых величин, которые подставляются в правую часть выражения (2.9), что позволяет определить первое приближение неизвестных x(j1), j 1,m. Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть выражения (2.9) и вычисляются x(j2), j 1,m,

и так далее. Вычислительный процесс заканчивается, например, когда выполняется условие

maxx(jn 1) x(jn) , 1 j m

где e > 0 - заданная точность вычисления результата.

Пример 2.3. Рассмотрим систему алгебраических уравнений

9 Якоби Карл Густав Якоб [10.2.1804 - 18.2.1851] - немецкий математик. С 1830 года являлся иностранным членом-корреспондентом (с 1833 года - иностранным почетным членом) Петербургской академии наук; с 1836 года - членом Берлинской академии наук; с1846 года - членом Парижской академии наук; с 1833 года -

членом Лондонского королевского общества. С 1829 по 1942 годы был профессором Кенигсбергского университета.

42

4x 2y 5,

3x 5y 9.

В качестве начального приближения примем x(0) 0, y(0) 0. Результаты расчетов

сведены в табл. 2.1. На рис. 2.1 графически показан ход выполнения итерационного процесса метода Якоби.

Таблица 2.1

Результаты выполнения итерационной процедуры метода Якоби

43

Y

3

4x + 2y = 5

2

1

Рис. 2.1. Схема выполнения метода Якоби

44

Метод Зейделя10

Преобразуем выражение (2.9) к виду

e>0 - заданная точность вычисления результата.

Пример 2.4. Рассмотрим систему алгебраических уравнений, указанную в предыдущем примере:

4x 2y 5,

3x 5y 9.

Представим полученные выражения в виде итерационной схемы:

Это означает, что для нахождения величины y на (n+1) итерации используется значение x, только что вычисленное на этой же итерации. В качестве начального

Таблица 2.2

10 Зейдель Филипп Людвиг [24.10.1821 - 13.8.1896] - немецкий астроном и математик. С 1851 стал членом Баварской академии наук; с 1854 - членом Геттингенской академии наук.

45

Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя

Y

3

4x + 2y = 5

2

1

Рис. 2.2. Схема выполнения метода Зейделя

46

Сходимость итерационных методов

Сравнивая формулы (2.10) метода Якоби и (2.12) метода Зейделя, можно заметить, что

Результаты расчетов показывают, что в последнем случае отсутствует сходимость последовательности результатов к точному решению. Это приводит к необходимости определения условий сходимости той или иной итерационной процедуры.

47

В общем случае итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в канонической форме

где B(n 1), (n 1) - итерационные параметры.

В случае, если B(n 1), (n 1) не зависят от номера итерации, метод называется

стационарным. В частности, для метода Якоби B(n 1) D, (n 1) 1; для метода Зейделя

B(n 1) A1 D, (n 1) 1.

Если B(n 1) Е , метод называется явным; в случае B(n 1) Е - неявным.Примеры итерационных методов:

- явный стационарный метод простых итераций

x(n 1) x(n) Ax(n) f ;

48

- неявный стационарный метод верхней релаксации

Введем пространство H Rm m - мерных векторов со скалярным произведением

m

u,v uivi

i 1

и нормой

m

w w,w w2i .

i 1

Определим матричное неравенство: квадратная матрица C > 0 тогда и только тогда,

когда

Cx,x 0 x H,x 0.

Иначе это определение может быть записано следующим образом:

Чтобы определить величину , рассмотрим два случая:

1. Пусть симметричная матрица С > 0, тогда согласно первоначальному определению квадратичная форма11 (Сx,x) > 0 . Но квадратичную форму можно привести к каноническому виду в главных осях:

m m

Cx,x i 2i min 2i min 2 , i 1 i 1

то есть в качестве может быть взято наименьшее собственное значение матрицы С.

2. Если С - несимметричная матрица, поступают следующим образом для определения

:

m

Cx,x ci jxjxi ,

i,j 1

11 Согласно [7], квадратичная форма определяется только для симметричных матриц.

49

В последнем соотношении индексы суммирования можно поменять местами:

m

x,CTx ci jxixj

i,j 1

то есть указанное выше дополнительное определение положительности имеет место и для несимметричной матрицы.

Оценка

Cx,x x2

позволяет утверждать, что существует обратная матрица C 1 , так как в случае положительной определенности матрицы все ее главные (угловые) миноры положительны

(критерий Cильвестра12, [7]).

12 Сильвестр Джеймс Джозеф [3.9.1814 - 15.3.1897] - английский математик. Окончил Кембриджский университет в 1837 году. С 1855 по 1870 годы являлся профессором Королевской академии в Вулидже; с 1876 по 1883 год - профессором университета Джона Хопкинса в г. Балтиморе; с 1883 года - профессором Оксфордского университета. С 1872 года - иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

50