Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

 

 

(n)

 

 

 

1

 

 

 

(n)

 

где

 

 

A .

2

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

 

m

~

~

~

i 1,m, итерационная процедура метода

С учетом того, что fi x1

, x2

, , xm 0,

Ньютона принимает форму

 

 

 

 

(n)

,x

(n)

(n)

x(jn 1)

x(jn) fi x1(n), x2(n), , x(mn)

fi x1

2

, , xm

m

 

 

 

 

 

 

j 1

 

xj

 

 

 

В матричной записи последнее соотношение имеет вид:

F X(n) X(n 1) X(n) F X(n) 0,

0, i 1,m.

(3.12)

где вид матрицы F X(n) определен выше. Сравнение формулы (3.12) с выражением (3.10)

позволяет определить итерационные параметры:

B(n 1) F X(n) , (n 1) 1.

Соотношение (3.12) позволяет построить вычислительный итерационный алгоритм:

X(n 1) X(n) F X(n) 1 F X(n) .

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия:

1. Оператор F(X) определен в замкнутом шаре X X(0) r, дважды дифференцируем там, при этом вторая производная ограничена F X M .

2. F X(0) имеет обратный оператор, для нормы которого выполнена оценка

F X(0) 1 D.

3. Для начального приближения X(0) верно неравенство

F X(0) 1 F X(0) S.

4. Величины M, D, S удовлетворяют условию

H M D S 1. 2

5.Для числа r верно неравенство

11 2H S r . H

89

Тогда:

- в заданном шаре радиуса r уравнение F(X) = 0 имеет решение;

- в вычислительном процессе Ньютона (3.12) приближение X(n) может быть построено при любом значении n ; все X(n) принадлежат шару и последовательность X(n)

сходится к решению

~

уравнения;

 

 

 

 

X

 

 

 

 

- для приближения X(n) верна оценка:

 

 

 

 

 

~

(n)

~

(n)

,

 

 

X X

 

t t

 

где ~t есть наименьший корень уравнения

1Mt2 1 t S 0, 2 D D

t(n) - приближение к нему, построенное при начальном приближении t(0) 0.

Доказательство теоремы 3.4 приведено в книге [4].

В качестве модификации метода Ньютона (3.12) может рассматриваться вариант

F X(0) X(n 1) X(n) F X(n) 0,

при котором матрица F X(0) формируется и обращается лишь один раз для начального

приближения X(0) .

 

Нелинейный вариант метода Якоби

 

Для системы нелинейных уравнений вида

 

fi x1, x2, , xm 0,

i 1,m

итерационный процесс строится так, что из каждого уравнения системы определяется значение только одной неизвестной xin 1 , а значения остальных берутся с предыдущего шага,

f

i

x(n), x(n), , x(n)

, x(n 1)

, x(n), , x(n)

 

0,

i 1,m.

 

1

2

i 1

i

i 1

m

 

 

При этом определение искомой величины xin 1 на очередной итерации производится с помощью какого-либо известного метода решения одного нелинейного уравнения.

Нелинейный вариант метода Зейделя

В отличие от метода Якоби при определении неизвестной xin 1 на очередной итерации

используются уже найденные предыдущие неизвестные:

fi x1(n 1), x(2n 1), , x(in11), x(in 1),x(in1), , x(mn) 0, i 1,m.

90

Пример 3.4. Решить систему нелинейных алгебраических уравнений

x2 y2 5,

y x2 0.

Решение этой системы нелинейных уравнений с погрешностью 5 10 10 имеет вид:

x1

1338390021.,

y1

1791287848.,

 

 

 

 

 

 

1338390021.,

y2

1791287848.,

x2

 

 

 

 

 

x3

1670714771.i,

y3

2791287848.,

 

 

 

 

 

 

1670714771.i,

y

4 2791287848.,

x4

где i 1 - комплексная единица.

Воспользуемся методом Ньютона для отыскания корней уравнений этой системы.

f1 x,y x2 y2 5;

f2 x,y y x2;

f1

2x;

f1 2y;

x

 

y

 

f2

2x;

f2

1.

x

 

y

 

Представим итерационный процесс Ньютона в форме:

F X(n) X(n 1) F X(n) X(n) F X(n) ;

2x(n) x(n 1) 2y(n) y(n 1) 2 x(n) 2

2 y(n) 2

x(n) 2

 

y(n) 2

5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y(n) x(n) 2

 

 

 

 

 

 

2x(n) x(n 1) y(n 1) 2 x(n)

y(n);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x(n) x(n 1) 2y(n) y(n 1)

x(n) 2

 

y(n) 2

5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(n) 2.

 

 

 

 

 

 

 

2x(n) x(n 1) y(n 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь на каждом итерационном шаге необходимо решать полученную систему

линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных x(n 1),

y(n 1) .

В явной форме решение полученной системы имеет вид

91

 

1

 

 

(n)

x(n 1)

x(n) y

;

 

2

 

x(n)

 

 

 

 

 

 

y(n) 2 5

y(n 1) .

2y(n) 1

Результаты расчетов приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений из примера 3.4

Номер

x(n)

y(n)

итерации

 

 

 

 

 

1

1

1

2

1

2

3

1,5

1,8

4

1,35

1,791304348

5

1,338446055

1,791287848

6

1,338390022

1,791287848

7

1,338390021

1,791287848

8

1,338390021

1,791287848

 

 

 

Контрольные вопросы и задания

Сформулируйте задачу о нахождении корней нелинейного уравнения.

Опишите метод половинного деления для вычисления корней нелинейного

уравнения. Поясните геометрический смысл метода половинного деления.

Опишите метод простых итераций для вычисления корней нелинейного уравнения.

Поясните геометрический смысл этого метода.

Сформулируйте критерии остановки итерационного вычислительного процесса при

определении корней нелинейного уравнения. Сходимость (расходимость)

итерационного решения.

Сформулируйте условия сходимости метода простых итераций для одного

нелинейного уравнения.

Опишите метод Ньютона для вычисления корней нелинейного уравнения.

92

Поясните геометрический смысл метода Ньютона.

Сформулируйте условия сходимости метода Ньютона для нелинейного уравнения.

Приведите возможные модификации метода Ньютона для определения корней нелинейного уравнения.

Применение метода простых итераций для решения системы нелинейных уравнений.

Сформулируйте условия сходимости метода простых итераций для системы нелинейных уравнений.

Поясните порядок применение метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений.

Сформулируйте условия сходимости метода Ньютона для системы нелинейных уравнений.

Опишите решение системы нелинейных уравнений методом Якоби.

Опишите решение системы нелинейных уравнений методом Зейделя.

93

4 . А П П Р О К С И М А Ц И Я

Ф У

 

Н К Ц

И Й

 

 

Пусть функция y(x) известна лишь в узлах некоторой сетки xi,

i 0,n , то есть задана

таблично,

y xi yi . Требуется подобрать аналитическую функцию,

которая в указанных

точках xi

совпадает с табличными значениями:

 

 

 

 

xi yi,

i 0,n .

 

(4.1)

Пусть функция j(x) определяется следующим образом:

 

 

 

n

 

 

 

 

x ak k x ,

 

(4.2)

k 0

где k x - линейно независимые функции; при наличии линейно зависимых составляющих,

от них можно избавиться, уменьшая тем самым число слагаемых в разложении (4.2).

Очевидно, что функция j(x) определяется набором параметров ak, k 0,n , от которых зависит линейно. В противном случае говорят о нелинейной интерполяции.

Учитывая формулу (4.1), получаем

n

 

 

 

 

ak k xi yi,

i 0,n

(4.3)

k 0

 

 

 

 

систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

коэффициентов

разложения ak .

 

 

 

 

Для существования единственного решения системы алгебраических уравнений (4.3)

требуется, чтобы главный определитель

 

 

 

 

0 x0

1 x0

 

n x0

 

 

 

D 0 x1

1 x1

 

n x1

 

 

 

 

 

 

 

 

0 xn

1 xn

n xn

 

был отличен от нуля, то есть 0.

Интерполяция степенными функциями

Пусть в качестве системы функций k x рассматриваются полиномы

k x xk,

k 0,n .

94

y xj,xk

В этом случае принимает вид определителя Вандермонда24

1

x0

x02

x03

x0n

 

1

x

x2

x3

xn

 

 

1

1

1

1 xi xk ,

 

 

 

 

 

i k

1

xn

x2n

x3n

xnn

 

причем 0,

если среди множества точек xk, k 0,n нет

совпадающих.

При этом

алгебраический

интерполяционный многочлен Pn x всегда

существует и

определен

единственным образом.

Интерполяционный многочлен Ньютона

Для произвольной функции y(x) определим разделенные разности: - первая разделенная разность

y xi,xj y xi y xj , xi xj

- вторая разделенная разность

y xi,xj,xk y xi,xj y xj,xk , xi xk

- третья разделенная разность

y xi,xj,xk,xl y xi,xj,xk y xj,xk,xl , xi xl

и так далее.

Рассмотрим геометрический смысл разделенных разностей. Очевидно, что y xi,xj и

являются аналогами первых производных функции y(x) на соответствующих

отрезках xi,xj и xj,xk . Вторая разделенная разность y xi,xj,xk аппроксимирует вторую производную функции y(x) на отрезке xi,xk . Соответственно, третья разделенная разность - аналог третьей производной на отрезке xi,xl , и так далее.

Пусть Pn x - искомый интерполяционный многочлен. Запишем для него разделенные

разности:

 

 

 

P x,x0

P x P x0

 

 

 

,

 

 

x x0

 

24 Вандермонд Александр Теофиль [28.2.1735 - 1.1.1796] -

французский математик, являлся членом

Парижской академии наук с 1771 года.

 

 

95

P x,x0,x1 P x,x0 P x0,x1 ,

x x1

P x,x0,x1,x2 P x,x0,x1 P x0,x1,x2 , ...

x x2

Отсюда получаем выражение для полинома в виде схемы Горнера25:

Pn x Pn x0 P x,x0 x x0

Pn x0 x x0 P x0,x1 x x1 P x,x0,x1

Pn x0 x x0 P x0,x1 x x1 P x0,x1,x2 x x2 P x,x0,x1,x2 ...

Иначе это выражение можно записать в такой форме:

Pn x Pn x0 x x0 P x0,x1

x x0 x x1 P x0,x1,x2 x x0 x x1 x x2 P x,x0,x1,x2

Эта цепочка конечна и содержит (n+1) слагаемое. В самом деле,

Pn x -

полином

степени n; разность

Pn x Pn x0

при

x x0

обращается в нуль, то

есть

x0

является

корнем выражения

Pn x Pn x0 , и следовательно, оно без остатка делится на разность

x x0 . Но в этом случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P x,x0

P x P x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

оказывается полиномом степени (n-1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно, P x,x0,x1

- полином

степени

(n-2),

и так

далее.

В итоге,

P x,x0, ,xn 1 -

полином степени

(n-n)

=

0, то

есть

константа,

и

наконец,

P x,x0, ,xn 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу условия (4.1) имеет место Pn xi yi,

i 0,n , откуда получаем

 

 

Pn x y x0 x x0 y x0,x1 x x0 x x1 y x0,x1,x2 ,

либо по схеме Горнера

Pn x y x0 x x0 y x0,x1 x x1 y x0,x1,x2 .

Пример 4.1. Построить аппроксимацию функции sin(x) на отрезке [0, p/2].

Таблица 4.1

25 Горнер Уильям Джордж [1786 - 22.9.1837] - английский математик.

96

Таблица для интерполяции функции sin по 4 точкам

xi

y xi

y xi,xi 1

y xi,xi 1,xi 2

y xi,xi 1,xi 2,xi 3

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

0,954929659

 

 

p/6

0,5

 

-0,244340364

 

 

 

0,699057028

 

-0,113871899

p/3

0,866025404

 

-0,423209925

 

 

 

0,255872631

 

 

p/2

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема Горнера для аппроксимации заданной функции имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x) 0 x 0 0954929659. x

0244340364. x

0113871899. .

 

 

6

 

3

 

 

Для значения аргумента

x ,

отсутствующего в таблице, значение построенного

 

4

 

 

 

 

 

 

полинома принимает значение, равное

 

 

 

 

 

sin

070588929,.

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

Вычисление функции sin

 

 

 

 

 

 

с погрешностью не более 5 10 10 дает sin

0707106781,

 

 

 

 

 

 

4

 

. Таким образом, относительная погрешность вычисления составляет 0,172 % .

 

Пример 4.2. Определение корня

нелинейного

уравнения

y x 1 x ex 2

25, 0

методом обратной интерполяции.

 

 

 

 

 

 

Идея метода обратной интерполяции заключается в построении полинома Ньютона для функции x(y) по заданной зависимости y(x). Особенность данного случая -

необходимость построения полинома Ньютона на сетке с переменным шагом по координате yi .

Таблица 4.2

Таблица для построения обратной интерполяции функции x(y)

yi y xi

xi

x yi ,yi 1

x yi,yi 1,yi 2

x yi ,yi 1,yi 2,yi 3

 

 

 

 

 

-1,083564434

0,25

 

 

 

 

 

0,490578385

 

 

-0,573961875

0,5

 

-0,077430171

 

 

 

0,403097823

 

0,013912025

0,046234976

0,75

 

-0,051261555

 

 

 

0,3327975

 

 

0,797442541

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

97

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид x(y) 025. y 1083564434. [0490578385.

y 0573961875.{ 0077430171. y 0046234976. 0013912025. }].

Для y = 0 получаем: x(0) = 0,73301752. Точное решение x = 0,732941247 (невязка уравнения при этом корне равна 5 10 10 ). Относительная погрешность вычисления корня равна 0,0104 % .

Интерполяционная формула Лагранжа

Идея записи интерполяционного полинома Лагранжа заключается в следующем:

n

 

Pn x Ck x yk ,

(4.4)

k 0

то есть в каждой точке x значение полинома Pn x определяется как линейная комбинация табличных значений.

Воспользуемся условием (4.1) :

n

 

 

 

Pn xi Ck xi yk

yi,

i 0,n.

k 0

 

 

 

Отсюда очевидно, что должно выполняться условие

0,

i k

i,k 0,n,

Ck xi

,

1,

i k

 

 

то есть на отрезке интерполяции [a, b] каждая из функций Ck x должна иметь n корней.

Вполне естественно представить Ck x в виде полиномов

Ck x k x x0 x x1 x xk 1 x xk 1 x xn ,

k - нормировочный коэффициент, определяемый из условия, что Ck xk 1, то есть

1

k xk x0 xk x1 xk xk 1 xk xk 1 xk xn .

Теперь можно записать полином Лагранжа в общем виде:

n

x x0

x xk 1

x xk 1

x xn

yk .

(4.5)

Pn x

xk x0

xk xk 1 xk xk 1 xk xn

k 0

 

 

Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)

Погрешность представления функции полиномом оценим разностью

98

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]