Boyarshinov_ChM_T1

Формула Эйлера34

При исследовании численного интегрирования методом трапеций получена формула

Положим xk 1/2 , то есть равными координате в середине указанного отрезка. Тогда может быть приближенно вычислена величина погрешности интегрирования:

получим уточненную формулу интегрирования

hh3

f x dx 2 f xk 1 f xk 12 f xk 1/2 .

xk 1xk

Вспоминая, что согласно теореме Лагранжа f xk 1/2 h f xk f xk 1 , получим формулу

интегрирования Эйлера:

34 Эйлер Леонард [4.4.1707 - 7.9.1783] - математик, механик, физик. В 1720 году поступил в Базельский университет, где получил степень магистра искусств. С 1727 года работал в Петербургской академии наук. В 1741 году занял пост директора класса математики Берлинской академии наук. С 1759 года в течение ряда лет руководил этой академией. В 1766 году вернулся в Петербург, где до конца жизни подготовил около 400

научных трудов. Был избран членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества.

153

Погрешность формулы (7.13) на отрезке [a, b] оценивается формулой, совпадающей с выражением (7.11).

Оценка погрешности методом Рунге35

С целью получения оценки погрешности рассмотрим формулу интегрирования

xk 1

h

Jh,k 2 f xk f xk 1 .

В соответствии с полученным выражением (7.12) можно записать:

Теперь уменьшим шаг вдвое и вновь проведем интегрирование на том же отрезке

xk 1, xk ; в этом случае общая погрешность

Вычитая формулу (7.15) из выражения (7.14), получаем:

Отсюда можно определить коэффициент

4

Сk 3h3 Jh/2,k Jh,k

35Рунге Карл Давид Тольме [30.8.1856 - 3.1.1927] - немецкий физик и математик. В 1876 - 1877 годах учился

вМюнхенском, в 1878 - 1880 годах - в Берлинском университетах. Работал в Берлине, Ганновере,

Геттингене.

154

и подсчитать погрешности вычисления интегралов:

Приведенные формулы позволяют автоматизировать процесс вычисления интегралов с заданной точностью. Пусть на каждом из отрезков половинное дробление производится до тех пор, пока не выполнится условие

Таким образом, вычисления с переменным шагом позволяют проводить численное интегрирование с заданной точностью при наименьших затратах.

155

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Представим функцию f(x) на всем отрезке [a, b] полиномом Лагранжа:

Сопоставляя полученное выражение с формулой (7.2), получим явный вид для

Для подсчета погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа воспользуемся полученной ранее оценкой погрешности интерполяционного полинома:

Из последнего соотношения очевидно, что квадратурная формула интерполяционного типа выполняется точно для всех функций, являющихся полиномами степени не выше n. В

этом случае в формуле (7.3) имеет место точное равенство,

b n

f x dx Ckf xk .

a k 0

Справедливо и обратное утверждение.

163

ak 0

Вкомпонентной записи (после интегрирования):

Выражения (7.17) можно рассматривать как систему (m+1) нелинейного алгебраического уравнения относительно (2n+2) неизвестных,

C0, C1,C2, , Cn , x0, x1, x2, , xn .

Для разрешимости этой системы уравнений потребуем, чтобы число уравнений было равно числу неизвестных, то есть m+1=2n+2, откуда следует, что m=2n+1.

Иными словами, задача заключается в выборе сетки Wn , содержащей (n+1) узлов,

обеспечивающей точность формулы (7.3) для полиномов степени (2n+1).

Пример 7.1. Пусть a = -1, b = 1; рассматривается разностная сетка W1, содержащая

два узла: x0 и x1. Требуется определить положения этих узлов и коэффициенты C0, C1 для полинома степени m = 2n + 1 = 3.

Система уравнений (7.17) для рассматриваемого случая принимает вид:

2 C0 C1;

165

C3x3

Из последнего уравнения 0 2 C1 1 1 3 C1x13 .

C1 2

Отсюда, при условии, что x1 0, получаем

C12 C1 2 2 , C1 C1 2 , C1 2 C1, C1 1.

Соответственно,

Из оставшегося уравнения

Эта формула точна для любого полинома третьей степени.

Теорема 7.2. Квадратурная формула (7.3) является точной для любого многочлена

степени m=2n+1 тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1. Многочлен

w x x x0 x x1 x xn

ортогонален любому многочлену q(x) степени не выше n, то есть

a

2. Формула (7.3) является квадратурной формулой интерполяционного типа, причем коэффициенты Ck, k 0,n определяются согласно (7.16).

Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы.

Пусть формула (7.3) точна для любого полинома степени m=2n+1. Это означает, что она точна и для произведения w x q x , имеющего степень не выше 2n+1, то есть

166

Формула (7.16) справедлива в силу выполнения условий предыдущей теоремы 7.1.

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть выполнены требования 1 и 2; f(x) -

многочлен степени (2n+1).

Представим f(x) в виде:

f x w x q x r x ,

причем q(x) и r(x) имеют степени не выше n.

Конструктивно такое разложение можно получить следующим образом. Для простоты

положим n=1 (два узла), тогда m=3. Пусть

f x a bx cx2 dx3

- функции с коэффициентами , , , , подлежащими определению. В этом случае

w x q x r x x3 x0 x1 x2 x0x1 x0 x1 x x0x1 .

Из условия w x q x r x f x получаем систему алгебраических уравнений

d;

x0 x1 c;

x0x0 x0 x0 b;

x x a.

0 0

относительно искомых коэффициентов , , , .

Далее, в силу условия ортогональности (7.18)

f x dx w x q x dx r x dx r x dx.

167

Поскольку (7.3) является формулой интерполяционного типа, то она точна для полинома r(x), имеющего степень не выше n. Отсюда получаем

r x dx Ckr xk Ck f xk w xk q xk Ckf xk .

В последнем соотношении вновь учтено, что

Из двух последних выражений следует

b n

f x dx Ckf xk ,

a k 0

то есть формула (7.3) оказывается точной для любого многочлена степени (2n+1), что и требовалось доказать.

Использование в условии ортогональности (7.18) в качестве q(x) системы полиномов xa, a 0,n позволяет рассматривать это условие как систему алгебраических уравнений относительно координат узлов разностной сетки xk, k 0,n , что позволяет упростить построение формул Гаусса:

b

1 x x0 x xn dx 0;

a

b

x x x0 x xn dx 0; (7.19)

a

b

xn x x0 x xn dx 0.

a

Пример 7.2. Пусть, как и в примере 7.1, a = -1, b = 1; рассматривается разностная сетка, состоящая из двух узлов: n = 1. Требуется определить положения узлов разностной сетки для полинома степени m = 2n + 1 = 3.

Система уравнений условия ортогональности принимает вид

168