Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Формула Эйлера34

При исследовании численного интегрирования методом трапеций получена формула

для вычисления погрешности на отрезке xk 1,

xk :

 

 

 

 

 

 

xk

x

 

x 2 x

 

x

x

 

x 2

x x

 

 

k

f

 

k 1

2h

k

 

f

 

k

2h

k 1

dx.

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим xk 1/2 , то есть равными координате в середине указанного отрезка. Тогда может быть приближенно вычислена величина погрешности интегрирования:

 

f xk 1/2

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

x 2

x xk 1

 

k

xk 1 x 2 xk x dx

xk

dx

 

 

2h

x

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f xk 1/2 h3

 

h3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.12)

 

 

 

h3

f x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

12

 

 

12

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

f x dx h

 

 

x

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

f

 

k

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим уточненную формулу интегрирования

hh3

f x dx 2 f xk 1 f xk 12 f xk 1/2 .

xk 1xk

Вспоминая, что согласно теореме Лагранжа f xk 1/2 h f xk f xk 1 , получим формулу

интегрирования Эйлера:

xk

f xk 1

f xk h

2

f xk f xk 1 .

 

f x dx h

 

(7.13)

2

 

12

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

34 Эйлер Леонард [4.4.1707 - 7.9.1783] - математик, механик, физик. В 1720 году поступил в Базельский университет, где получил степень магистра искусств. С 1727 года работал в Петербургской академии наук. В 1741 году занял пост директора класса математики Берлинской академии наук. С 1759 года в течение ряда лет руководил этой академией. В 1766 году вернулся в Петербург, где до конца жизни подготовил около 400

научных трудов. Был избран членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества.

153

Погрешность формулы (7.13) на отрезке [a, b] оценивается формулой, совпадающей с выражением (7.11).

Оценка погрешности методом Рунге35

С целью получения оценки погрешности рассмотрим формулу интегрирования

методом трапеций. Для отрезка xk 1,

xk

введем обозначения:

 

 

 

xk

 

Jk

 

f x dx,

xk 1

h

Jh,k 2 f xk f xk 1 .

В соответствии с полученным выражением (7.12) можно записать:

J

k

J

h,k

 

xk

f x dx h

 

f x

k

f x

 

 

 

k

h3 f x

 

,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

k 1

 

 

12

k 1/2

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или иначе,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jk

Jh,k

Сkh3 .

 

 

 

 

 

 

(7.14)

Теперь уменьшим шаг вдвое и вновь проведем интегрирование на том же отрезке

xk 1, xk ; в этом случае общая погрешность

Jk Jh/2,k

h 3

h 3

h

3

(7.15)

Сk

 

Сk

 

k

 

.

 

 

2

 

2

 

2

 

 

Вычитая формулу (7.15) из выражения (7.14), получаем:

Jh/2,k Jh,k

Сkh

3

h

3

3h

3

 

k

 

Сk

4

.

 

 

 

 

2

 

 

Отсюда можно определить коэффициент

4

Сk 3h3 Jh/2,k Jh,k

35Рунге Карл Давид Тольме [30.8.1856 - 3.1.1927] - немецкий физик и математик. В 1876 - 1877 годах учился

вМюнхенском, в 1878 - 1880 годах - в Берлинском университетах. Работал в Берлине, Ганновере,

Геттингене.

154

и подсчитать погрешности вычисления интегралов:

 

Jk

Jh,k

4

Jh/2,k

Jh,k ,

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Jk

Jh/2,k

 

1

Jh/2,k

Jh,k .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Следовательно, зная величины Jh/2,k ,

 

Jh,k , можно получать оценки погрешностей,

получаемых при вычислении интегралов.

В более общем случае (для произвольной схемы интегрирования с порядком

погрешности p), можно получить следующие выражения:

 

 

Jk Jh,k

Сkhp ,

 

Jk Jh/2,k k

h p

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

p

 

p

Jh/2,k

Jh,k .

 

Сk 2ph

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

Отсюда, оценки погрешности принимают вид

 

 

 

 

 

2p 1

 

 

Jh,k ,

Jk

Jh,k

 

 

p 1

 

Jh/2,k

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

Jk

Jh/2,k

 

 

 

1

Jh/2,k

Jh,k .

2

p 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Приведенные формулы позволяют автоматизировать процесс вычисления интегралов с заданной точностью. Пусть на каждом из отрезков половинное дробление производится до тех пор, пока не выполнится условие

k

Jk Jh/2,k

 

1

Jh/2,k

Jh,k

h

,

k 1,n .

2

p 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

Тогда общая погрешность интегрирования

 

J Jh/2

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

k

 

 

h .

 

 

 

 

 

k 1

 

 

b a k 1

 

 

 

Таким образом, вычисления с переменным шагом позволяют проводить численное интегрирование с заданной точностью при наименьших затратах.

155

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Представим функцию f(x) на всем отрезке [a, b] полиномом Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

x x

0

 

 

 

k 1

 

x x

k 1

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f xk .

Ln x

 

x

k

x

0

 

k

x

k 1

 

x

k

x

k 1

 

 

k

x

n

k

 

0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Сопоставляя полученное выражение с формулой (7.2), получим явный вид для

функций k x :

 

 

 

 

 

 

 

 

k x

x x0

x xk 1 x xk 1 x xn

, k 0,n.

 

 

xk x0 xk xk 1 xk xk 1 xk xn

 

 

 

 

 

 

Теперь весовые коэффициенты формулы (7.3) определяются явным образом:

 

b

 

b

x x0

x xk 1 x xk 1 x xn

dx, k 0,n

. (7.16)

Ck

k x dx

xk x0

xk xk 1 xk xk 1 xk xn

a

 

a

 

 

Для подсчета погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа воспользуемся полученной ранее оценкой погрешности интерполяционного полинома:

f

 

x

 

L

n

x

 

f

n 1 w

x ,

a,b ,

w

x

 

 

 

x x

0

 

 

x x

 

 

 

x x

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Погрешность формулы приближенного интегрирования на отрезке [a, b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

n

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

n 1

w x dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx Ckf xk f x Ln x dx f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

k 0

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a n 1 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

maxf

n 1

b

 

M

 

b

 

 

 

 

 

Mn 1 maxf

n 1

 

 

 

 

 

 

x

w x dx

 

n 1

w x dx,

 

 

x .

 

 

 

 

 

n 1 !

x a,b

 

 

a

 

n 1 !a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из последнего соотношения очевидно, что квадратурная формула интерполяционного типа выполняется точно для всех функций, являющихся полиномами степени не выше n. В

этом случае в формуле (7.3) имеет место точное равенство,

b n

f x dx Ckf xk .

a k 0

Справедливо и обратное утверждение.

163

b n

Теорема 7.1. Если квадратурная формула f x dx dkf xk является точной для

a k 0

всех многочленов степени n, то она является квадратурной формулой интерполяционного типа.

Доказательство. Покажем, что

dk Ck

b

x

x x0 x xk 1 x xk 1 x xn

 

dx,

 

 

k

x

0

x

k

x

 

x

k

x

x

k

x

n

k 0,n.

 

a

 

 

 

 

k 1

 

 

k 1

 

 

 

 

Пусть функция

f(x)

является полиномом степени

n, тогда ее можно представить в

форме полинома Лагранжа

n

fx i x f xi ,

i 0

где

i x

x x

0 x xi 1

x xi 1

x xn

, xi

Wn,

i 0,n .

xi x0

xi xi 1

xi xi 1 xi xn

 

 

 

 

 

Поскольку все функции i x , i 0,n являются по построению полиномами степени n,

то в соответствии с условием теоремы

b

n

n

 

 

i x dx dk i xk dk ik

di,

i 0,n ,

a

k 0

k 0

 

 

так как согласно правилу построения полинома Лагранжа i xk ik .

С другой стороны, согласно выражению (7.16)

b

b

x x0

x xi 1

x xi 1

x xn

dx Ci

,

i 0,n ,

i x dx

xi x0 xi xi 1 xi xi 1 xi xn

a

a

 

 

 

то есть di Ci, i 0,n , что и требовалось доказать.

Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса

Зададимся целью построить на заданной сетке Wn точную квадратурную формулу вида

(7.3) для полинома максимально возможной степени.

Рассмотрим полиномы вида x , 0,m . Для каждого такого полинома запишем

точную квадратурную формулу интерполяционного типа:

164

b

n

 

 

x dx Ckxk ,

0,m.

(7.17)

ak 0

Вкомпонентной записи (после интегрирования):

 

 

 

 

 

 

n

0,

b a Ck ;

 

 

 

 

 

 

k 0

1, b

2

a

2

n

 

 

 

Ckxk ;

 

 

 

2

 

 

k 0

2, b

3

a

 

3

n

 

 

 

Ckx2k ;

 

 

 

3

 

 

k 0

3, b

4

a

 

4

n

 

 

 

Ckx3k ;

 

 

 

4

 

 

k 0

 

 

 

. . .

 

m, b

m 1

a

m 1 n

 

 

 

Ckxmk .

 

 

m 1

k 0

Выражения (7.17) можно рассматривать как систему (m+1) нелинейного алгебраического уравнения относительно (2n+2) неизвестных,

C0, C1,C2, , Cn , x0, x1, x2, , xn .

Для разрешимости этой системы уравнений потребуем, чтобы число уравнений было равно числу неизвестных, то есть m+1=2n+2, откуда следует, что m=2n+1.

Иными словами, задача заключается в выборе сетки Wn , содержащей (n+1) узлов,

обеспечивающей точность формулы (7.3) для полиномов степени (2n+1).

Пример 7.1. Пусть a = -1, b = 1; рассматривается разностная сетка W1, содержащая

два узла: x0 и x1. Требуется определить положения этих узлов и коэффициенты C0, C1 для полинома степени m = 2n + 1 = 3.

Система уравнений (7.17) для рассматриваемого случая принимает вид:

2 C0 C1;

 

0 C

0

x

0

C

1

x

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

;

 

 

C0x0

C1x1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0x

3

 

 

 

3

 

 

0 C

0

C1x1.

 

Из первого уравнения

C0 2 C1;

 

 

 

 

 

 

 

165

Из второго уравнения

0 2 C1 x0 C1x1;

x0

C1x1

;

C1 2

C3x3

Из последнего уравнения 0 2 C1 1 1 3 C1x13 .

C1 2

Отсюда, при условии, что x1 0, получаем

C12 C1 2 2 , C1 C1 2 , C1 2 C1, C1 1.

Соответственно,

C0 2 C1 1;

x0

C1x1

x1.

 

 

C1 2

 

Из оставшегося уравнения

2 C

0

x2

C x2

2x2

,

x

1, x

0

1 .

3

0

1

1

1

 

1

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда вытекает, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

f x dx f x0 f x1

 

f

3

f

3

.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта формула точна для любого полинома третьей степени.

Теорема 7.2. Квадратурная формула (7.3) является точной для любого многочлена

степени m=2n+1 тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1. Многочлен

w x x x0 x x1 x xn

ортогонален любому многочлену q(x) степени не выше n, то есть

b

 

w x q x dx 0.

(7.18)

a

2. Формула (7.3) является квадратурной формулой интерполяционного типа, причем коэффициенты Ck, k 0,n определяются согласно (7.16).

Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы.

Пусть формула (7.3) точна для любого полинома степени m=2n+1. Это означает, что она точна и для произведения w x q x , имеющего степень не выше 2n+1, то есть

166

 

b

n

 

w x q x dx Сkw xk q xk 0,

 

a

k 0

так как w xk 0

xk Wn

по построению функции w x .

Формула (7.16) справедлива в силу выполнения условий предыдущей теоремы 7.1.

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть выполнены требования 1 и 2; f(x) -

многочлен степени (2n+1).

Представим f(x) в виде:

f x w x q x r x ,

причем q(x) и r(x) имеют степени не выше n.

Конструктивно такое разложение можно получить следующим образом. Для простоты

положим n=1 (два узла), тогда m=3. Пусть

f x a bx cx2 dx3

- полином степени m=3; w x x x0 x x1 .

 

Пусть

 

q x x,

r x x

- функции с коэффициентами , , , , подлежащими определению. В этом случае

w x q x r x x3 x0 x1 x2 x0x1 x0 x1 x x0x1 .

Из условия w x q x r x f x получаем систему алгебраических уравнений

d;

x0 x1 c;

x0x0 x0 x0 b;

x x a.

0 0

относительно искомых коэффициентов , , , .

Далее, в силу условия ортогональности (7.18)

b

b

b

b

f x dx w x q x dx r x dx r x dx.

a

a

a

a

167

Поскольку (7.3) является формулой интерполяционного типа, то она точна для полинома r(x), имеющего степень не выше n. Отсюда получаем

b

n

n

n

r x dx Ckr xk Ck f xk w xk q xk Ckf xk .

a

k 0

k 0

k 0

В последнем соотношении вновь учтено, что

w xk 0

xk Wn .

Из двух последних выражений следует

b n

f x dx Ckf xk ,

a k 0

то есть формула (7.3) оказывается точной для любого многочлена степени (2n+1), что и требовалось доказать.

Использование в условии ортогональности (7.18) в качестве q(x) системы полиномов xa, a 0,n позволяет рассматривать это условие как систему алгебраических уравнений относительно координат узлов разностной сетки xk, k 0,n , что позволяет упростить построение формул Гаусса:

b

1 x x0 x xn dx 0;

a

b

x x x0 x xn dx 0; (7.19)

a

b

xn x x0 x xn dx 0.

a

Пример 7.2. Пусть, как и в примере 7.1, a = -1, b = 1; рассматривается разностная сетка, состоящая из двух узлов: n = 1. Требуется определить положения узлов разностной сетки для полинома степени m = 2n + 1 = 3.

Система уравнений условия ортогональности принимает вид

168

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]