Boyarshinov_ChM_T1

i i

,

j i

i 1,m .

ki j

,

0,

j i

Теперь матрицу А можно представить разложением

A = NKU.

(2.5)

Благодаря симметрии матрицы

А имеет место

равенство

AT A, что

позволяет

произвести следующие преобразования:

UTKTNT NKU ,

UTKT NKU NT 1

,

N 1UTKT KU NT 1 ,

K 1N 1UTK T U NT 1 .

В силу того, что

K 1, KT являются

диагональными матрицами, N 1,UT

- нижние

треугольные, U, NT 1

- верхние треугольные,

в левой части

последнего

равенства

Матрицы NT 1

и

U

имеют единицы на главной диагонали; следовательно, их

произведение также содержит единичную главную диагональ, то есть

U NT 1 E, U NT .

Отсюда следует, что соотношение (2.5) можно переписать в виде

A NKNT .

Далее, представим матрицу K в виде

K K 1/2 D K 1/2 ,

где

11 0

0

0

1/2

0

2 2

0

0

K

0

0

,

0

33

0

0

0

m m

sign( 11)

0

0

0

0

sign(

2 2)

0

0

D

0

0

sign( 33)

0

.

0

0

0

sign( m m)

Сравнивая теперь

соотношение

A N K 1/2 D K 1/2 NT

с формулой (2.4),

получаем для матрицы S выражение S

K 1/2 NT , то есть верхнюю треугольную матрицу с

a

a

a

s

s

s

0

0

13

13

d

11

12

11

12

11

d22

A

a21 a22

a23

,

S

0

s22

s23

,

D

0

0

;

a32

a

0

0

0

a31

33

0 s33

d33

2

s11s12d11

s11s13d11

s11d11

s11s12d11

s122 d11 s222 d22

s12s13d11 s22s23d22

.

s12s13d11 s22s23d22

2

2

2

s11s13d11

s13d11 s

23d

22 s33d33

Положим d11 sign(a11), тогда из уравнения a

11

s2 d

11

получим

s

a

11

.

11

11

s

a12

a12

12

d11s11

.

d11 a11

a

13

s s d

11

,

s

a13

a13

;

11 13

13

d11s11

d11

a11

a22 s122 d11 s222 d22,

s222 d22

a22

s122 d11 .

Полагая d22 sign a22 s122 d11 , получим

a

2

a

a

22

a

2

s22

a22 d11 a

12

11

12

0

11

d2

a d2

11

11

11

- в силу упомянутого условия det(A) 0.

a23 s12s13d11 s22s23d22,

s23

a23

s12s13d11 ;

d22s22

a33 s132 d11 s232 d22

s332 d33,

s332 d33 a33

s132

d11 s232 d22,

d33 sign a33 s132 d11 s232 d22 ,

si j 0,

i j.

(2.6)

m

di isi j ,

DS di ksk j

k 1

A STDS

m

m

siTkdk ksk j

sk idk ksk j .

k 1

k 1

i

i 1

ai j sk idk ksk

j si idi isi j

sk idk ksk j ,

i j 1,m .

k 1

k 1

При i = j получаем соотношения для вычисления диагональных значений матриц

S и

D:

j 1

a j j

s2j jd j j s2k jdk k ,

j 1,m ,

k 1

j 1

d j j

s2k jdk

sign a j j

k ,

k 1

j 1

sj j

a j j s2k jdk k ,

j 1,m .

k 1

“Наддиагональные” элементы матрицы S определяются по формулам

i 1

ai j sk idk ksk j

i j 2,m .

si j

k 1

,

si idi i

Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня

Подсчитаем число операций умножения и деления,

необходимых для реализации

алгоритма метода квадратного корня.

1. Факторизация исходной матрицы, то есть вычисление матриц S и D:

m (m 1)

m (m2

1)

;

2

6

2. Выполнение “обратного” хода:

m (m 1) m ;

2

3. Вычисление m раз значений квадратных корней.

Общее количество операций равно

m (m2 9m 2)

,

или приблизительно

m3

что

6

,

6

a12

s11

a11 0883176087,;

d11 1;

s12 s d

11

0811842633,;

11

s22

a22 s122 d11 000940537,;

d2 2 1;

x 0

x H, x 0;

x 0

x 0;

m

x

x2i ,

x maxxi .

i 1

1 i m

Здесь Е - тождественный оператор, ei j i j,

i, j 1,m .

m

A max

a

i j .

1 i m

j 1

Пусть ~f - “возмущенная” правая часть системы уравнений. Оценим изменение

решения x ~x x как следствие изменения правой части

f

~f f .

f,~f

Система

уравнений Ax=f называется

устойчивой

по правой части, если

x

f

M,

M 0 - положительная константа.

Это,

в частности, означает, что x 0

при f

0, то есть имеется непрерывная

зависимость решения от правой части.

x A 1

f

(2.7)

x f A 1 f A x ,

x

f

f

A 1 A

MA

,

x

f

f

где MA

A 1

A - число обусловленности матрицы А, характеризующее зависимость

Определитель этой системы уравнений

D 0780, 0659, 0563, 0913, 0000001, 10 6

отличен от 0, хотя и мал. Матрица коэффициентов представляется в виде

0780,

0563,

A

.

0913,

0659,

Вычисление обратной матрицы приводит к значению

A 1

659000

563000

.

913000

780000

m m

A

a2i j

i 1 j 1

получаем для рассматриваемого случая:

A 1480952059,,

A 1

1480952059,.

~~

~

~

Ax f,

A A A .

Для получения полной оценки погрешности решения системы алгебраических

уравнений необходимо рассмотреть вспомогательное утверждение:

Лемма 2.1. Пусть С - квадратная матрица,

C 1; Е - единичная матрица. Тогда

существует E C 1, причем

E C 1

1

1 C .

Доказательство

Для любого x имеет место неравенство

E C x x Cx x Cx x C x 1 C x x ,

(2.8)

E C x x E C 1y ,

E C

1

y

E C x

y

y

.

1 C

Последним неравенством воспользуемся для подсчета нормы

E C 1

sup

E C 1y

sup

y

sup

1

1 .

y

0

y

y

0 1 C y

y

0

1 C

1 C

~

Тогда матрица A A A имеет обратную и справедлива оценка погрешности

x

MA

A

f

.

x

1 MA

A

A

f

A

Доказательство

.

~

1

1

A A E C , C A

A A A A E A

A

Оценим норму матрицы С с использованием условия теоремы:

С A

1

1

A A

1

1

1.

A A

A

1

~ 1

A E C

1

E C

1

A

1

,

A

то A~ 1

существует в силу существования матриц A 1 и

E C 1.

Теперь определим отклонение возмущенного решения от исходного:

~

~ 1~

1

~ 1~

~ 1

~ 1

f A

1

~

1

~

~

1

A

1

f .

x x x A f A

f A f A

f A

f A

f f

A

Учитывая, что ~f f f,

f Ax, получаем

x A~ 1 f A~ 1 A 1 Ax A~ 1 f A~ 1A A 1A x A~ 1 f A~ 1A E x,

откуда можно оценить норму

~ 1

~ 1

~

1

~ 1

A E x .

x A f A

A E x A

f A

~

1

E C

1

A

1

E C

1

A

1

A 1

A 1

A

1 A 1

;

1 C

A

E C 1 C

C

A 1 A

A 1 A

1 A 1

.

1 C

1 A 1 A

A

A 1

A 1 A

x

A 1

x

f

f A x .

1 A 1 A

1 A 1 A

1 A 1 A

Учитывая, что

f

Ax

f

A x ,

f f

f

f

f

f

имеем

A 1

f

A 1 A

f

A

x

A x A x

x

1 A 1 A f

1 A

1

A

A

f

A .

A

Вспоминая, что MA

A 1

A , получаем доказываемое утверждение теоремы

x

MA

A

f

.

x

A

A

f

1 MA

A