Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
89
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

 

 

i i

,

j i

i 1,m .

 

 

 

ki j

 

,

 

 

 

0,

 

j i

 

 

 

 

Теперь матрицу А можно представить разложением

 

 

 

 

A = NKU.

 

 

 

(2.5)

Благодаря симметрии матрицы

А имеет место

равенство

AT A, что

позволяет

произвести следующие преобразования:

 

 

 

 

 

 

 

 

UTKTNT NKU ,

 

 

 

 

UTKT NKU NT 1

,

 

 

 

N 1UTKT KU NT 1 ,

 

 

 

K 1N 1UTK T U NT 1 .

 

 

В силу того, что

K 1, KT являются

диагональными матрицами, N 1,UT

- нижние

треугольные, U, NT 1

- верхние треугольные,

в левой части

последнего

равенства

находится нижняя треугольная матрица, а в правой части - верхняя треугольная. Равенство возможно лишь при условии, что и в левой, и в правой частях этого тождества расположены диагональные матрицы.

Матрицы NT 1

и

U

имеют единицы на главной диагонали; следовательно, их

произведение также содержит единичную главную диагональ, то есть

 

 

 

 

 

U NT 1 E, U NT .

 

 

Отсюда следует, что соотношение (2.5) можно переписать в виде

 

 

 

 

 

A NKNT .

 

 

Далее, представим матрицу K в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K K 1/2 D K 1/2 ,

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

0

2 2

0

 

0

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

,

 

 

 

 

0

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

m m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

sign( 11)

0

 

0

0

 

 

0

sign(

2 2)

0

0

 

 

 

D

0

0

 

sign( 33)

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

0

sign( m m)

 

 

 

 

Сравнивая теперь

соотношение

A N K 1/2 D K 1/2 NT

с формулой (2.4),

получаем для матрицы S выражение S

K 1/2 NT , то есть верхнюю треугольную матрицу с

положительными элементами на главной диагонали. Таким образом, конструктивно показано разложение (2.4).

Обозначим y Sx, z DSx, тогда алгоритм метода квадратного корня

ST D Sx f можно рассматривать как последовательность трех процессов:

1)STz f , то есть вычисление решения z системы уравнений с нижней треугольной матрицей;

2)Dy = z , вычисление решения системы уравнений с диагональной матрицей;

3)Sx = y , определения из системы уравнений с верхней треугольной матрицей искомого решения.

Построим разложение вида (2.4) для симметричной матрицы третьего ранга:

 

 

a

 

a

 

a

 

 

 

 

s

s

s

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

13

 

 

d

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

 

11

12

 

 

 

 

 

11

d22

 

 

A

a21 a22

a23

,

S

 

0

s22

s23

,

D

 

0

0

 

;

 

 

 

 

a32

a

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

a31

33

 

 

 

0 s33

 

 

 

d33

 

 

s11

0

0

 

d11 0

0

 

s11 s12

ST D S

s

s

22

0

 

 

 

0

d

22

0

 

 

 

0

s

22

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

s

23

s

33

 

 

 

0

0

d

33

 

 

 

0

0

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s13 s23

s33

 

 

s

d

0

0

 

 

 

s

s

 

 

 

11 11

s22d22

 

 

 

 

11

12

 

s12d11

0

 

 

 

0

s22

 

 

 

 

s23d22

s33d

 

 

 

0

0

 

s13d11

33

 

 

s13 s23

s33

 

 

2

s11s12d11

 

 

s11s13d11

 

 

 

 

 

 

s11d11

 

 

 

 

 

 

s11s12d11

s122 d11 s222 d22

 

s12s13d11 s22s23d22

.

 

 

 

 

 

 

s12s13d11 s22s23d22

2

 

2

2

 

 

 

 

 

s11s13d11

s13d11 s

23d

22 s33d33

 

 

 

 

Положим d11 sign(a11), тогда из уравнения a

11

s2 d

11

получим

s

a

11

.

 

 

 

 

 

11

 

 

11

 

 

Далее, из уравнения a12 s11s12d11 следует, что

32

s

a12

a12

12

d11s11

.

 

d11 a11

В силу условия det(A) 0 и теоремы 2.2 можно ожидать, что a11 0. Аналогично можно вычислить

 

a

13

s s d

11

,

s

a13

 

 

a13

 

;

 

 

11 13

 

13

 

d11s11

 

d11

a11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22 s122 d11 s222 d22,

s222 d22

a22

s122 d11 .

Полагая d22 sign a22 s122 d11 , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a

a

22

a

2

 

 

s22

a22 d11 a

12

 

 

11

 

 

12

0

 

11

d2

 

a d2

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

11

 

11

 

 

- в силу упомянутого условия det(A) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a23 s12s13d11 s22s23d22,

s23

a23

 

s12s13d11 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d22s22

a33 s132 d11 s232 d22

s332 d33,

 

s332 d33 a33

s132

d11 s232 d22,

d33 sign a33 s132 d11 s232 d22 ,

s33 a33 s132 d11 s223d22 .

Нетрудно убедиться, что также s33 0.

Рассмотрим процедуру построения матриц S и D в случае произвольного числа уравнений m.

Верхняя треугольная матрица S si j по определению имеет нулевые элементы:

si j 0,

i j.

(2.6)

Диагональная матрица D может быть определена формально с использованием символа Кронекера D di j i j . Теперь можно подсчитать результат перемножения

матриц:

m

 

di isi j ,

 

 

DS di ksk j

 

 

k 1

 

 

 

 

A STDS

m

 

m

 

siTkdk ksk j

sk idk ksk j .

 

k 1

 

k 1

 

Из последнего выражения с учетом соотношения (2.6) получаем систему алгебраических уравнений:

33

i

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

ai j sk idk ksk

j si idi isi j

 

sk idk ksk j ,

i j 1,m .

 

 

k 1

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

При i = j получаем соотношения для вычисления диагональных значений матриц

S и

D:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

a j j

s2j jd j j s2k jdk k ,

j 1,m ,

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

d j j

 

 

 

s2k jdk

 

 

 

 

 

sign a j j

k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sj j

 

a j j s2k jdk k ,

j 1,m .

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Наддиагональные” элементы матрицы S определяются по формулам

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai j sk idk ksk j

i j 2,m .

 

 

si j

 

k 1

 

 

 

,

 

 

 

 

si idi i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня

 

 

Подсчитаем число операций умножения и деления,

 

необходимых для реализации

алгоритма метода квадратного корня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Факторизация исходной матрицы, то есть вычисление матриц S и D:

 

 

 

 

m (m 1)

 

m (m2

1)

;

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Выполнение “обратного” хода:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (m 1) m ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычисление m раз значений квадратных корней.

 

 

 

 

 

Общее количество операций равно

m (m2 9m 2)

,

или приблизительно

m3

что

 

 

 

6

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

практически в два раза меньше, чем число операций в алгоритме метода Гаусса.

Пример 2.1. Рассмотрим решение системы двух линейных алгебраических уравнений методом квадратного корня:

0780,x 0717,y 0063,;

0717,x 0659,y 0058,;

34

 

 

 

a12

 

s11

a11 0883176087,;

d11 1;

s12 s d

11

0811842633,;

 

 

 

11

 

s22

a22 s122 d11 000940537,;

d2 2 1;

 

 

1.STz f,

2.Dy z,

0883176087,

0

 

 

 

 

z1

 

0063,

z1

 

0071333453,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

0811842633,

000940537,

 

 

0058,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

0

y

 

z

 

y

1

 

 

 

z

 

 

0071333453,

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

0

1

y

 

z

 

y

 

 

 

z

 

000940958,

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0883176087,

0811842633,

x

 

y

 

 

3. Sx y,

 

1

 

1

 

 

000940537,

 

 

 

 

 

,

 

0

 

x

 

y

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

10,

 

Точное решение задачи :

 

1

 

 

 

 

 

.

 

x

 

10,

 

 

2

 

 

x1

 

 

100002451,

 

 

 

 

 

 

 

.

x

 

 

 

 

1000007921,

2

 

 

Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений

Для оценки влияния изменения (возмущения) правой части f и матрицы коэффициентов А на решение x системы линейных алгебраических уравнений Ax = f

введем линейное пространство H векторов размерности m, в котором определим норму,

удовлетворяющую условиям [8]:

x 0

x H, x 0;

x 0

x 0;

xx;

x yxy.

В пространстве Н в качестве нормы вектора могут быть взяты определения

“кубической” и “сферической” норм [9]:

 

m

 

x

x2i ,

x maxxi .

 

i 1

1 i m

Определим норму матрицы (оператора):

Ax

A sup

x H, x 0 x

sup Ax .

x 1

Из последнего определения, в частности, следуют известные соотношения:

35

AxAx,

A BAB,

ABAB,

E 1.

Здесь Е - тождественный оператор, ei j i j,

i, j 1,m .

В качестве нормы матрицы А может быть взято определение [8]:

m m

A a2i j ,

i 1 j 1

либо определение [9]:

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A max

 

a

i j .

 

 

 

 

 

 

 

1 i m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

Пусть ~f - “возмущенная” правая часть системы уравнений. Оценим изменение

решения x ~x x как следствие изменения правой части

f

~f f .

f,~f

Система

уравнений Ax=f называется

устойчивой

по правой части, если

x

f

M,

M 0 - положительная константа.

 

 

 

 

Это,

в частности, означает, что x 0

при f

0, то есть имеется непрерывная

зависимость решения от правой части.

 

 

 

 

 

 

Пусть определитель матрицы А отличен от нуля. В этом случае существует обратная

матрица A 1 . В силу линейности системы алгебраических уравнений имеем:

~ ~ ~

A x A(x x) Ax Ax f f f,

x A 1 f,

xA 1 fA 1 f,

отсюда следует

x A 1

f

(2.7)

и роль константы М может выполнять A 1. Чем ближе значение det(A) к нулю, тем больше величина A 1, тем значительнее отклонение x при возмущении f .

Из уравнения Ax = f следует оценка

fAxAx.

Перемножая два последних неравенства, получаем

36

 

 

x f A 1 f A x ,

 

 

x

f

f

 

 

A 1 A

MA

,

 

 

x

f

f

где MA

A 1

A - число обусловленности матрицы А, характеризующее зависимость

относительной погрешности решения системы уравнений от относительного “возмущения” правой части. Очевидно, что

1 EA A 1AA 1 MA .

Пример 2.2. Рассмотрим систему уравнений

0780,x 0563,y 0217,,

0913,x 0659,y 0254,.

Определитель этой системы уравнений

D 0780, 0659, 0563, 0913, 0000001, 10 6

отличен от 0, хотя и мал. Матрица коэффициентов представляется в виде

 

0780,

 

0563,

 

A

 

.

 

 

 

 

 

0913,

 

0659,

Вычисление обратной матрицы приводит к значению

A 1

659000

 

563000

 

 

.

 

 

 

 

 

913000

780000

Нетрудно убедиться, что определитель обратной матрицы принимает значение

D 659000 780000 563000 913000 1000000 106 .

При использовании для вычисления нормы матрицы выражения

 

m m

 

A

a2i j

 

i 1 j 1

 

получаем для рассматриваемого случая:

 

 

A 1480952059,,

A 1

1480952059,.

Теперь можно оценить число обусловленности матрицы А, то есть показатель устойчивости решения при возмущении правой части системы уравнений:

MA 2193219.

Рассмотрим случай одновременного возмущения и правой части f, и матрицы коэффициентов A:

37

~~

~

~

 

 

Ax f,

A A A .

 

Для получения полной оценки погрешности решения системы алгебраических

уравнений необходимо рассмотреть вспомогательное утверждение:

 

Лемма 2.1. Пусть С - квадратная матрица,

C 1; Е - единичная матрица. Тогда

существует E C 1, причем

 

 

 

 

E C 1

1

 

 

 

1 C .

 

Доказательство

 

 

 

 

Для любого x имеет место неравенство

 

 

 

E C x x Cx x Cx x C x 1 C x x ,

(2.8)

где 1 C 0 - по условию леммы.

Рассмотрим однородное уравнение (E + C)x = 0. Из неравенства (2.8) следует

E C x0x ,

что возможно лишь при x 0, откуда следует, что x = 0 . Иными словами, однородное уравнение (E + C)x = 0 имеет только тривиальное решение. Но это означает, что определитель det(E + C) не равен нулю, то есть существует обратная матрица E C 1.

Теперь рассмотрим уравнение

(E + C)x = y,

имеющее решением x E C 1y. С помощью выражения (2.8) получаем

 

 

 

 

 

 

 

E C x x E C 1y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

E C

1

y

E C x

y

 

 

 

 

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 C

 

Последним неравенством воспользуемся для подсчета нормы

 

E C 1

sup

E C 1y

sup

y

sup

1

1 .

 

 

 

 

 

y

 

 

 

0

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

0 1 C y

 

 

 

 

y

 

 

 

0

1 C

1 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Что и требовалось доказать.

Теорема 2.3. Пусть матрица А имеет обратную и выполнено условие

A 1 . A 1

38

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда матрица A A A имеет обратную и справедлива оценка погрешности

x

MA

 

 

A

f

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

x

 

1 MA

 

A

 

A

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

~

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

A A E C , C A

 

A A A A E A

 

 

A

 

Оценим норму матрицы С с использованием условия теоремы:

 

С A

1

 

 

1

A A

1

 

1

1.

 

A A

 

 

 

A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу того, что матрица С удовлетворяет условию леммы 2.1, существует матрицаE C 1. Поскольку

 

 

 

 

 

~ 1

A E C

1

E C

1

A

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то A~ 1

существует в силу существования матриц A 1 и

E C 1.

 

 

 

 

 

Теперь определим отклонение возмущенного решения от исходного:

 

 

 

 

 

~

~ 1~

1

 

~ 1~

~ 1

~ 1

f A

1

~

1

 

~

 

~

1

A

1

f .

 

x x x A f A

 

f A f A

f A

 

 

f A

 

 

f f

A

 

 

Учитывая, что ~f f f,

f Ax, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x A~ 1 f A~ 1 A 1 Ax A~ 1 f A~ 1A A 1A x A~ 1 f A~ 1A E x,

откуда можно оценить норму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 1

 

~ 1

 

 

~

1

 

 

~ 1

A E x .

 

 

 

 

 

 

x A f A

A E x A

 

f A

 

 

 

 

Оценим порознь слагаемые в правой части этого неравенства:

~

1

E C

1

A

1

E C

1

A

1

 

A 1

A 1

A

 

 

 

 

 

 

1 A 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 C

A

~ 1 1 1

A 1A E A A A E A E A 1 A A E A E C A E

E C 1A 1A E E C 1 E E C 1 E E C E C 1C

E C 1 C

C

 

A 1 A

A 1 A

 

1 A 1

.

 

1 C

 

1 A 1 A

A

Подставим полученные оценки в исходную формулу:

39

A 1

 

 

A 1 A

 

x

 

A 1

 

 

 

x

 

f

 

 

 

 

 

 

f A x .

1 A 1 A

1 A 1 A

 

 

 

1 A 1 A

 

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

Ax

 

f

A x ,

 

 

 

 

 

f f

f

f

f

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1

f

 

 

 

 

 

A 1 A

f

 

A

x

 

 

A x A x

 

 

 

 

 

x

1 A 1 A f

 

 

 

 

1 A

1

A

A

f

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вспоминая, что MA

A 1

A , получаем доказываемое утверждение теоремы

 

 

x

MA

 

 

A

f

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

x

 

A

 

 

A

 

f

 

 

 

 

 

 

 

1 MA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]