Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

 

 

x xk 1/2

2 xk

 

xk

 

x xk 1/2

 

2

 

f xk 1/2 h f xk 1/2

 

 

 

 

f

dx f xk 1/2

h

2

 

2

 

 

 

xk 1

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 xk f x xk 1/2 2 dx .

xk 1

Полученное выражение позволяет оценить погрешность:

 

k

1

xk f

 

 

x x

k 1/2

 

2dx

1

max

 

f

x

 

xk

x x

k 1/2

2dx

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x x

k 1

,x

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2,k x xk 1/2 3

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.6)

 

M2,k

h3

O h

3

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь обозначено: M2,k

max

k

f x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

,x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (7.6) устанавливает, что при ограниченности второй производной на рассматриваемом отрезке погрешность формулы прямоугольников имеет третий порядок.

Для всего отрезка интегрирования [a, b] получаем

 

 

 

n

h

3

n

 

nh

h

2

 

h

2

b a ,

 

 

 

 

k

 

M2,k M2

 

M2

 

(7.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

24 k 1

 

24

 

 

24

 

 

где

M2

maxf x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иными словами, для всего интервала [a, b] погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок.

Аналогичным способом можно проверить также часто применяемую на практике формулу интегрирования

xk

f x dx f xk 1 h ,

xk 1

геометрический смысл которой пояснен на рисунке 7.2.

Оценка погрешности интегрирования на отрезке xk 1, xk , выполненная аналогично предыдущему случаю, приводит к результату

2

12

xk

k f xk 1 h2

f x xk 1 2dx,

 

 

xk 1

k O h2 .

151

xk-1

xk

x

 

 

 

Рис. 7.2. Схема численного интегрирования методом прямоугольников

Для всего интервала [a, b] погрешность интегрирования составляет

M

1h

 

b a ,

M

 

maxf x

 

.

 

 

1

2

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 7.3 приведены графики, отражающие сходимость процесса приближенного

10

вычисления определенного интеграла e xdx с помощью формул метода прямоугольников

0

с центральной точкой (формула (7.5)), “левой” точкой (рис. 7.2)

и “правой” точкой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx f xk h.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024 n

10

Рис. 7.3. Значения интеграла e xdx, вычисленные точно (-------) и по формулам метода

0

прямоугольников с центральной (- o -), “левой” (- -) и “правой” (- -) точками на сетках

n

152

Формула трапеций

Заменим функцию f(x) на отрезке xk 1,

xk

линейным приближением

 

 

 

f(x) xk x f xk 1 x xk 1

f xk .

 

 

 

 

h

 

h

 

Это

означает,

что в

разложении

(7.2)

удерживаются две функции

0(x) xk

x,

1(x) x xk 1 .

 

 

 

 

 

h

 

h

 

 

 

 

Тогда весовые коэффициенты

 

 

 

 

 

 

 

xk

x dx h ,

 

xk

x dx h.

 

 

 

C0k 0

C1k 1

 

 

 

xk 1

2

 

xk 1

2

 

 

 

 

 

 

Отсюда вытекает формула метода трапеций (рис. 7.4):

xk

f x dx f x

 

h f x

 

h h

 

f x

 

 

f x

 

.

 

 

 

k

 

k

(7.8)

 

k 1

2

2

 

2

 

 

k 1

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся формулами Тейлора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f xk 1 f x f x xk 1 x f

xk 1 x

2

 

 

 

 

 

 

2

 

, xk 1,xk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f xk f x f x xk x

f

xk

x 2

,

xk 1,xk .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk-1

xk

x

 

 

 

Рис. 7.4. Схема численного интегрирования методом трапеций

153

Оценим погрешность представления (7.8) на отрезке xk 1,

xk :

 

 

 

k

xk

xk

 

x

 

x

 

x x

 

 

f x 0 x f xk 1 1 x f xk 1 dx

 

f x

 

k

f xk 1

h

k 1

f xk dx

 

xk 1

xk 1

 

 

 

h

 

 

 

xk f x xkh x f x f x xk 1 x f xk 12 x 2

xk 1

 

 

x f xk x

2

 

x xk 1 f x f x xk

 

dx

h

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

x x

x x

 

xk

 

xk x xk 1 x

xk x x x

 

 

 

 

f x 1 k

h

 

k 1 dx

f x

 

h

 

 

h

k 1 dx

 

xk 1

 

 

h

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

x

 

x 2 x

 

x

f

x

 

x 2 x x

 

 

 

 

 

 

 

f

 

k 1

2h

k

 

 

k

2h

k 1

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу того, что

1 xk x x xk 1 0,

hh

xk x xk 1 x xk x x xk 1 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вычисляемая погрешность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

xk

 

 

 

 

x

 

 

x 2

x

 

x

f

x

 

x 2 x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

k 1

 

 

 

2h

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

k 1

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим оценку погрешности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

max

 

 

f

x

 

 

x

 

 

x

 

2

 

x

 

x

 

 

 

x

 

 

x

 

2

 

x x

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

2h x xk 1,xk

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

2,k

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1 x

xk

x dx

 

xk x

x xk 1

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

2,k

xk

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

x

 

x x

 

 

x

 

 

 

dx

x

x

 

x

x x

 

 

 

x

 

x

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

 

k 1

k

k

 

2h

x

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2,k

 

xk

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

xk 1 x

dx

 

x

xk 1

x

dx h

 

 

xk x

dx

 

 

xk x

dx

 

 

 

2h

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

154

M2,k

 

x xk 1

 

3

x xk 1

4

 

 

x xk

4

 

x xk

3

xk

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

h

3

 

 

4

 

 

 

4

 

 

3

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

M2,k

h4

h4

 

h4

h4

M

2,kh3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

3

 

12

.

 

 

 

 

 

2h

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Погрешность для всего отрезка интегрирования [a, b]

 

 

n

 

3

 

n

 

 

 

 

nh h

2

 

 

 

2

 

 

 

 

k h

 

 

M2,k

M2

 

M2

h

 

b a

 

(7.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

12

 

k 1

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

12

 

 

 

 

имеет второй порядок.

На рис. 7.5 показан график сходимости приближенного значения определенного

10

интеграла e xdx, полученного с помощью формул метода трапеций.

0

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 n

10

Рис. 7.5. Значения интеграла e xdx, вычисленные точно ( ------ ) и по формуле метода

0

трапеций ( - o - ) на сетках n

155

Формула Симпсона33

Заменим на отрезке xk 1, xk

функцию f(x) полиномом Лагранжа. В частности, для

трех точек xk 1, xk 1 2, xk полином второй степени имеет вид

 

 

L2 x

x xk 1 2 x xk f xk 1

x xk 1 x xk f xk 12

x xk 1 x xk 1 2 f xk

 

 

xk 1 xk 1 2 xk 1 xk

xk 1 2 xk 1 xk 1 2 xk

xk xk 1 xk xk 1 2

 

22 x xk 1 2 x xk f xk 1 2 x xk 1 x xk f xk 1 2 x xk 1 x xk 1 2 f xk .

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это означает, что в разложении (7.2) оставлены три функции:

 

 

 

0

x 2

x x

k 1/2

x x

k

,

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

1 x 42 x xk 1 x xk , h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x 2

x x

k 1

x x

k 1/2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения коэффициентов C0k, C1k, C2k вычислим интегралы:

 

 

 

xk

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

C0k

 

0 x dx 22

 

x xk 1/2

x xk

dx

22 x xk

xk xk 1/2 x xk dx

 

 

 

xk 1

 

 

 

h

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

xk

 

2

dx

h

xk

 

 

 

 

 

2

x xk

3

h x xk 2 xk

 

h

;

h

2

x xk

 

2

 

x xk dx

h

2

 

 

 

 

3

 

 

 

2

2

 

6

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

dx 42

xk

 

 

 

 

 

 

C1k 1 x dx 42

x xk 1

x xk

x xk xk xk 1 x xk dx

 

 

 

xk 1

 

 

 

h

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 xk

 

2

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

4

 

x xk 3

h

x xk

2 xk

 

 

2h

h

2 x xk

 

dx h x xk dx

h

2

 

 

 

3

 

2

 

 

;

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

22

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2k

2 x dx

 

x xk 1 x xk 1/2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

h

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33 Симпсон Томас [20.8.1710 - 14.5.1761] - английский математик. С 1713 года был профессором Вулиджской военной академии, с 1746 года был избран членом Лондонского королевского общества.

Рассматриваемый метод интегрирования иногда называют также методом парабол.

149

 

2

xk

 

h

2

 

 

 

x

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

22

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x xk 1/2 xk 1/2 xk 1 x xk 1/2 dx

 

 

 

 

 

 

 

h

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

x xk 1/2

3

x xk 1/2

2

xk

 

x x

 

 

2dx h

 

 

x x

2

h

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

k 1/2

 

2

x

 

k 1/2

h2

 

3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

Формула приближенного интегрирования Симпсона (рис. 7.4):

xk

f xk 1 4f xk 1/2 f xk .

f x dx h

6

 

xk 1

 

f(x)

xk-1

xk-1/2

xk x

h . 6

(7.10)

Рис. 7.6. Схема численного интегрирования методом Симпсона

Для оценки погрешности выражения (7.10) приближенного интегрирования, как и

ранее, воспользуемся формулами Тейлора для представления

f

 

x ,

f

 

x

 

 

,

f

 

x

k вблизи

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

точки xk 1/2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f xk 1 f xk 1/2 f xk 1/2 h f xk 1/2

h2

f xk 1/2

h3

fiv

h4

,

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

384

 

 

 

 

f xk f xk 1/2 f xk 1/2

h

 

h2

f xk 1/2

h3

 

 

iv

 

 

h4

 

 

 

 

2

f xk 1/2 8

48

f

 

384

,

 

 

 

f x f xk 1/2 f xk 1/2

x x

k 1/2

f xk 1/2

x x

k

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

4

 

 

 

 

f xk 1/2

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1/2

 

fiv

 

 

 

 

k 1/2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

Здесь принято, что , , xk 1,xk .

150

Подсчитаем интеграл в левой части формулы (7.10):

xk

f x dx

xk 1

 

 

x

x f

x

 

 

x xk 1/2

 

2

f

x

k 1/2

x xk 1/2

3

f

x

 

 

x xk 1/2

4

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1/2

 

 

k 1/2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

k 1/2

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

fiv x xk 1/2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

h f

 

 

h3

xk

f

iv

 

 

 

x xk 1/2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1/2

k 1/2

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсчитаем выражение в правой части (7.10):

h

6 f xk 1 4f xk 1/2 f xk

h

 

x

 

f x

 

h

2

2f

 

 

 

6

 

 

k 1/2

 

k 1/2

4

 

 

 

 

 

 

h4

 

fiv fiv

4f x

 

.

 

384

 

 

k 1/2

 

 

 

 

 

 

 

Определим величину погрешности формулы Симпсона:

 

 

 

 

xk

 

 

 

f xk 1 4f xk 1/2 f xk

 

k

 

f x dx h

 

 

 

 

xk 1

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h3

 

xk

iv

 

x xk 1/2 4

 

 

 

 

 

 

 

h f xk 1/2 24

 

f

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

f xk 1/2

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

xk 1/2 f xk 1/2

h

2

 

h

4

fiv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6f

 

 

fiv

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

384

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

f

iv

 

x xk 1/2

4

 

h5

f

iv

 

f

iv

.

 

 

 

 

24

 

dx

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

2304

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль погрешности на отрезке xk 1,

 

xk :

 

k

 

xk

 

iv

 

x xk 1/2 4

dx

 

h5

 

f

iv

 

f

iv

 

 

f

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

2304

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

151

max

k

fiv

x

xk x xk 1/2 4

dx

 

max

fiv x h5

 

 

k 1

,x

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

k 1

,x

k

 

 

1152

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

f

iv

h5

 

h5

 

 

 

 

 

h5

.

 

 

 

 

 

x

 

1152

M4,k

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

,x

k

 

1920

 

 

 

 

720

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всего отрезка [a, b] интегрирования погрешность

n

 

 

 

 

h

5

n

 

 

 

nh

 

h

4

 

 

 

h

4

b a

 

k

 

 

 

M4,k

M4

 

M4

 

(7.11)

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

720 k 1

 

 

 

720

 

 

 

 

 

720

 

 

имеет четвертый порядок.

В последних выражениях использованы обозначения

M4,k

max

 

fiv x ,

M4

max fiv x .

 

x x

k 1

,x

k

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 7.7 изображен график сходимости приближенного значения определенного

10

интеграла e xdx, полученного с помощью формул метода Симпсона.

0

1.15

1.11

1.07

1.03

0.99

0.95

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 n

10

Рис. 7.7. Значения интеграла e xdx, вычисленные точно ( -------- ) и по формуле метода

0

Симпсона ( - o - ) на сетках n

152

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]