Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Boyarshinov_ChM_T1

.pdf
Скачиваний:
90
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Для установления условий сходимости определим величину погрешности метода формулой z(n) x(n) x, тогда из формулы (2.13) для стационарного итерационного метода можно получить

B z(n 1)

x z(n) x Az(n) Ax f ,

 

 

 

 

 

 

Bz(n 1) z(n)

Az(n) 0,

n 01,,...

(2.14)

 

 

 

 

 

Теорема 2.4. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица, A > 0;

итерационные параметры удовлетворяют соотношению

B 05, A 0,

0.

Тогда стационарный итерационный метод сходится.

Доказательство. Для доказательства теоремы следует показать, что погрешность

метода z(n) 0 при любой начальной погрешности z0 .

n

Построим числовую последовательность вида Jn Az(n),z(n) .

Из формулы (2.14) следует

 

z(n 1) z(n) B 1Az(n),

 

Az(n 1)

Az(n) AB 1Az(n) .

Теперь можно подсчитать

 

Jn 1 Az(n 1),z(n 1) Az(n) AB 1Az(n) , z(n) B 1Az(n)

Az(n),z(n) AB 1Az(n) , z(n) Az(n) , B 1Az(n) 2 AB 1Az(n) , B 1Az(n) .

 

Вследствие симметрии матрицы А имеем

m

m m m

 

AB 1Az(n) , z(n) ai jb j

1kak t z(tn) z(in);

i 1

j 1 k 1 t 1

m m m m

m

m m m

Az(n) ,

B 1Az(n) ap q zq(n)bp1rar

sz(sn)

a j ib j

1kak t z(tn) z(in),

a j i

ai j.

 

 

 

p 1 q 1 r 1 s 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1 i 1 k 1 t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иначе говоря, AB 1Az(n)

, z(n) Az(n) , B 1Az(n) . Отсюда получаем

 

 

Jn 1 Az(n),z(n) 2 Az(n) , B 1Az(n) 2 AB 1Az(n) , B 1Az(n)

 

 

Jn 2 Az

(n)

2

AB

1

Az

(n)

, B

1

Az

(n)

Jn

 

 

 

 

 

1

Az

(n)

, B

1

Az

(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

2 B

A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jn

 

 

 

 

 

 

 

(n)

, u

(n)

(n)

B

1

Az

(n)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 B

 

A u

 

 

 

, u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

(n)

, u

(n)

0

u

(n)

, откуда следует, что

Jn 1 Jn

В силуусловия теоремы B

2

A u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то есть построенная последовательность является монотонно убывающей и, кроме того, в

силу Jn 1 Az(n 1),z(n 1) 0, ограничена снизу. Отсюда следует, что существует предел

этой последовательности J limJn .

n

Из положительной определенности (B - 0,5 A) > 0 следует существование константы

>0 такой, что имеет место

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(n)

, B

1

Az

(n)

 

1

Az

(n)

2

 

 

 

 

 

 

 

B

A B

Az

 

 

 

B

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь предыдущее соотношение может быть переписано в форме неравенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Az

(n)

, B

1

 

(n)

 

 

 

 

 

 

1

Az

(n)

2

 

Jn 1 Jn 2 B

 

2

A B

 

 

 

Az

 

Jn 2 B

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При n

из последнего выражения получаем J J 2 lim

B

1

 

(n) 2

 

 

Az

 

 

. Очевидно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

неравенство lim

B

1

 

 

(n)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az

 

 

 

0 может выполняться лишь при условии, что

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

B 1Az(n)

lim

u(n)

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой

стороны,

z(n)

A 1Bu(n) ,

 

причем

A 1 существует в

силу положительной

определенности матрицы А по условию теоремы. Оценим норму погрешности:

 

 

 

 

 

z(n)

 

 

A 1Bu(n)

 

 

A 1B u(n) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь

 

становится

 

очевидным,

 

что

вследствие

 

lim

u(n)

0

имеет место

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

z(n) 0

, что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 1. Пусть

А -

симметричная положительно определенная матрица. Тогда

метод верхней релаксации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D wA1

x(n 1) x(n)

Ax(n) f,

w 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится при 0 < w < 2. В частности, метод Зейделя (w = 1) сходится.

В рассматриваемом случае, очевидно, B D wA1, w .

Ax,x A1 D A2 x,x A1x,x Dx,x A2x,x Dx,x 2 A1x,x .

Последнее соотношение справедливо в силу симметрии матрицы А:

m

m

m

A1x,x a(1)i jxjxi

a(2)jixjxi

a(2)jixixj A2x,x .

i,j 1

i,j 1

i,j 1

52

Условие сходимости итерационного метода B 05, A 0,

0 теоремы 2.4 принимает

 

 

 

 

 

 

 

вид:

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

w

Ax,x

Dx,x w A

 

w

Dx,x 2 A

x,x

B

A x,x Bx,x

2

x,x

 

2

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

Dx,x w A1x,x

w

Dx,x w A

 

w

 

 

 

2

1x,x 1

Dx,x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Очевидно, что последнее неравенство выполняется при условии 1 w 0,

0 w 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Следствие 2. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть имеет место

ai i ai j ,

i, j 1,m.

i j

 

Тогда метод Якоби сходится.

Поскольку в рассматриваемом случае B = D, условие сходимости принимает вид неравенства

2D A .

Из неравенств

xi xj 2

xi2 2xixj x2j 0,

xixj

1

x2i

x2j

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

следует

 

 

 

 

 

 

 

m

m

m

 

1

m

 

 

1

m

Ax,x aijxixj

1 aij

x2i 1 aij

x2j

aij x2i

a ji x2i .

i,j 1

2i,j 1

2i,j 1

 

2i,j 1

 

 

2i,j 1

В силу симметричности и положительной определенности матрицы А имеем

m

m

 

aij

aii

 

Ax,x aij x2i

 

x2i .

i,j 1

i 1

 

j i

 

 

Используя предположение следствия, запишем

2ai i ai j

aii,

i 1,m .

i j

 

 

Из двух последних неравенств получаем

m

Ax,x 2 aiix2i 2 Dx,x ,

i 1

что и требовалось доказать.

53

Скорость сходимости

Ранее утверждалось, что если итерационный метод в некотором смысле сходится, то он сходится к решению исходной задачи (2.1). Понятно, что быстрота достижения результата существенно зависит от того, насколько удачно (“близко” к решению) выбрано начальное приближение. В общем случае условия сходимости итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений определяются следующей теоремой,

доказательство которой можно найти, например, в книге [1].

Теорема 2.5. Итерационный метод

Bx(n 1)

x(n)

Ax(n) f,

n 01,,...

 

 

 

 

сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы E B 1A по модулю меньше единицы.

При практическом использовании итерационных методов важен не только сам факт сходимости последовательности получаемых решений, но и скорость, с которой эта последовательность сходится к точному результату. Если для погрешности используемого

метода имеет место оценка вида

 

 

 

 

 

x n

x

qn

x 0

x ,

n 0,1, ,

то говорят, что итерационный метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q. Эта оценка показывает, во сколько раз уменьшается начальная погрешность после проведения заданного числа итераций.

Зададим произвольное число k>0 и потребуем, чтобы после выполнения N итераций

начальная погрешность уменьшилась не менее, чем в k раз, то есть x n

x

1

x 0

x .

Это имеет место в случае qN 1

 

 

 

 

k

 

 

, откуда получаем

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

ln k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N ln 1 q

 

 

 

 

 

Целая часть этой дроби будет минимальным числом итераций, необходимым для достижения заданной точности. Выражение ln 1q называется скоростью сходимости

итерационного метода. Эта скорость целиком определяется свойствами матрицы перехода

E B 1A и не зависит от номера итерации, выбора начального приближения и задаваемой точности. Чем выше скорость сходимости, тем выше производительность выбранного метода решения системы линейных алгебраических уравнений.

54

Полиномы Чебышёва13

Для дальнейшего рассмотрения определим, согласно [8], норму

f max f(x),

x a,b

называемую чебышёвской.

Рассмотрим задачу: среди всех полиномов степени N со старшим коэффициентом,

равным 1, найти такой многочлен TN (x), для которого величина TN maxTN (x)

x 11,

минимальна. Такой многочлен носит название полинома Чебышёва.

Расмотрим функцию

PN (x) cos N arccos x .

(2.15)

Произведем тригонометрические преобразования:

PN 1(x) cos N 1 arccos x cos N arccos x arccos x

cos N arccos x cos arccos x sin N arccos x sin arccos x

xPN x sin N arccos x sin arccos x ;

PN 1(x) cos N 1 arccos x cos N arccos x arccos x

cos N arccos x cos arccos x sin N arccos x sin arccos x

xPN x sin N arccos x sin arccos x .

Складывая почленно два последних равенства, PN 1 PN 1 2xPN,

PN 1 2xPN PN 1,

получаем рекуррентное соотношение для построения функции PN 1. В соответствии с формулой (2.15)

P0(x) cos 0 arccos x 1;

P1(x) cos 1 arccos x x.

И далее, в соответствии с полученной зависимостью

13 Чебышёв Пафнутий Львович [4.5.1821 - 26.11.1894]. В 1841 году закончил Московский университет и там же в 1846 году защитил магистерскую диссертацию. В 1847 году подготовил и защитил диссертацию на право чтения лекций и был утвержден в звании доцента Петербургского университета. В 1849 году защитил докторскую диссертацию; в 1850 году стал профессором Петербургского университета. С 1856 года являлся академиком Петербургской академии наук.

55

 

 

P2 x 2xP1 x P0 x 2x2

1;

 

 

 

 

 

P3 x 2xP2 x P1 x 4x3

3x;

 

 

 

 

 

P4 x 2xP3 x P2 x 8x4

8x2 1;

 

 

 

 

 

P5 x 2xP4 x P3 x 16x5 20x3 5x

 

 

 

На рис. 2.4 показаны некоторые полиномы построенной системы.

 

 

0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

-0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

-0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

-0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

 

 

Рис. 2.4. Полиномы TN(x) при N= 2, 3, 4, 5, 6

 

 

Можно заметить, что в общем случае коэффициент при старшей степени определяется следующим образом:

PN x 2xPN 1 x PN 2 x 2N 1xN

(2.16)

Определим функцию TN (x) в виде

 

TN (x) 21 N PN (x) 21 N cos N arccos x .

(2.17)

Очевидно, что TN (x) является полиномом степени N со старшим коэффициентом,

равным 1.

Определим корни этого полинома:

56

QN (xp )

cos N arccos x 0,

 

N arccos x 2k 1 ,

k 1, 2,

2

Поскольку TN (x) является полиномом степени N, он имеет не более N корней,

причем все они различны и лежат на отрезке [-1, 1]:

 

 

xk

cos 2k 1 ,

k 1,N .

 

 

 

 

 

 

2 N

 

 

 

 

 

 

Корни полинома TN (x) для N=1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7

Таблица 2.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N=1

N=2

N=3

 

N=4

 

N=5

N=6

N=7

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,707106781

0,866025404

 

0,923879533

0,951056516

0,965925826

0,974927912

-

-0,70710678

0

 

0,382683432

0,587785252

0,707106781

0,781831482

-

-

-0,866025404

 

-0,382683432

0

 

0,258819045

0,433883739

-

-

-

 

-0,923879533

-0,587785252

-0,258819045

0

-

-

-

 

-

-0,951056516

-0,707106781

-0,433883739

-

-

-

 

-

 

-

-0,965925826

-0,781831482

-

-

-

 

-

 

-

-

-0,974927912

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вполне очевидно (рис. 2.4), что полиномы TN (x)

принимают экстремальные значения

в тех точках, где функция cos( )

принимает значения +1 или -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos N arccos xp 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N arccos xp p ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xp cos p ,

p 0,N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

В

этих

 

точках

полином

TN (x) принимает

чередующиеся

по знаку значения

T (x

 

)

 

1

P

1 N

,

p 0,N; при этом чебышёвская норма равна

T

1 N

.

p

 

2

2

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

Лемма 2.2. Пусть существует система точек 1 xN xN 1 x1 x0 1 такая, что

QN (xp)QN , p 0,N , причем в указанных точках функция имеет

чередующиеся знаки. Тогда среди всех полиномов степени N со старшим коэффициентом,

равным 1, многочлен QN (x) наименее уклоняется от 0.

57

Доказательство.

Пусть

 

существует

полином

SN (x)

степени

N

со

старшим

коэффициентом 1 (рис. 2.5), причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SN QN ,

 

 

 

 

 

 

 

то есть SN (x) QN

x [ 11,].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим

функцию

R(x) QN (x) SN (x),

отличную

от

нуля

и

являющуюся

полиномом степени (N-1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0.05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

-0.5

 

 

 

 

0

 

 

 

0.5

 

 

1

 

Рис. 2.5. Графики полиномов Q5(x), S5(x)

и их разности R(x) Q5(x) S5(x)

В точках экстремумов xp

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

N

(x

p

)

 

1 p

Q

N

,

p 0,N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

R(x

p

)

 

 

Q

N

S

N

(x

p

), p 0,N и в силу предположения функция R(x)

 

 

1 p

 

 

 

на отрезке [-1, 1] меняет знак

N

 

раз, а значит имеет N

корней,

чего не может быть,

поскольку R(x) является полиномом степени (N-1).

 

 

Таким образом, утверждение леммы 2.2 доказано.

 

 

Поскольку

 

построенный

ранее

 

полином Чебышёва

TN (x)

удовлетворяет всем

требованиям леммы, он является наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [-1, 1].

В случае необходимости отыскания полинома, наименее уклоняющегося от нуля на произвольном отрезке [a, b], следует перейти к новой переменной

58

t 2

x b a ,

a x b ,

b a

b a

 

которая теперь принимает значение t 11, .

В этом случае функция PN(x) принимает вид:

1 N

 

 

 

 

2x (b a)

 

 

 

PN (x) 2

cos N arccos

b a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (2.16) представляется в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PN x 2xPN 1 x PN 2 x 2

N 1 2x (b a) N

22N 1

N x

N

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

Теперь можно получить полином со старшим коэффициентом 1, то есть полином

Чебышёва для отрезка [a, b]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a N

 

 

 

 

 

2x (b a)

 

 

(2.18)

TN (x)

cos N arccos

b a

.

 

 

22N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни этого многочлена определяются аналогично рассмотренному выше случаю:

 

2x (b a)

0,

 

 

 

 

 

 

cos N arccos

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos2x (b a)

 

2k 1

 

k 1,N,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

b a

 

 

 

2 N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

k 1,N.

 

 

 

xk b a b a cos

 

,

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2 N

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что в этом случае TN

max TN x

b a N

 

 

 

 

 

 

2N 1 .

 

 

 

 

x a,b

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Может рассматриваться еще одна задача: найти многочлен степени N, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [a, b] среди многочленов, удовлетворяющих условию

QN (0) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перенормируем полином (2.18) так, чтобы TN (0) 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x (b a)

 

 

 

 

 

 

PN x

 

cos N arccos

 

 

 

 

 

2x (b a)

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

TN (x)

 

 

 

 

 

 

pN cos N arccos

 

 

 

 

P

0

 

 

 

 

a b

 

b a

 

 

 

 

N

 

 

cos N arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

pN

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

a b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos N arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

59

Корни этого многочлена расположены в точках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk b a b a cos

2k 1

,

k 1,N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ,

0 1 b a

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

1

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим соотношения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arccos(z) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos y z - нечетная функция;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2y 2cos2 y 1 2z2

1 - четная функция;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 3y cos y 4cos2 y 3 4z3

3z - нечетная функция;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 4y 2 2cos2 y 1 2

1 2 2z2 1 2

1 - четная функция;

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

2

 

 

N

 

 

2

 

N

 

1

 

 

 

1

 

2

z z

 

1

 

z

z 1

 

cos N arccos z

 

 

cos N arccos z

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим z 1

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z2 1 1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z2 1 1

1

1 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

02

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Вводя обозначение 1 1 , представим определенный выше коэффициент в виде

 

 

 

 

 

N

2 N

p

 

 

1

 

1

 

 

1 2N .

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Теперь очевидно, что построенный полином принимает экстремальные значения,

равные

2 N TN maxTN x 1 12N .

x a,b

1

Итерационный метод с чебышёвским набором параметров

60

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]