Учебное пособие ТеорМех

личину средней угловой скорости вращающегося тела за время t. При стремлении t к нулю получаем алгебраическую величину угло- вой скорости тела в момент времени t:

ω = ddtϕ = ϕ& . [с-1].

Если ddtϕ >0, то угол поворота увеличивается, т.е. вращение тела

происходит в положительном направлении. Если ddtϕ <0, то угол пово-

рота уменьшается, т.е. тело вращается в обратную сторону.

Угловую скорость тела можно представить в виде вектора ω = ωк (рис.7.3), модуль которого равен ω, и который направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходя- щим против часовой стрелки. Такой вектор определяет сразу и мо- дуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения во- круг этой оси.

ωрости ко времени в случае, когда t стремится к ну-

Направление ε совпадает с направлением ω , когда тело враща- ется ускоренно (рис.7.3) и противоположно ω при замедленном дви- жении.

§3. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (рис.7.4). При вращении тела эта точка будет опи-

81

§4. Векторы скорости и ускорения точек тела

Теорема: вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус вектор этой точки (формула Эйлера):

v = ω × r .

Действительно (рис 7.5), модуль векторного произведения ω × r равен модулю скорости точки М.

ω ´ r = ωr × sin α = hω,

а направления векторов ω × r и v совпадают, так как вектор окруж- ной скорости v направлен перпендикулярно плоскости треугольника СОМ, в которой лежит вектор сомножителей ω × r ; если смотреть навстречу v , можно видеть поворот вектора ω к вектору r на угол α, происходящим против часовой стрелки. Теорема доказана.

вектор ε × r направлен, как и вектор ω × r , т.е. по касательной к траек- тории точки М, то

ε × r = аτ .

Вектор ω × v направлен вдоль МС, т.е. по нормали к траектории точки М, а ω × v = ωvsin90 = ω2h , так как ω = vh . Значит

ω× v = аn .

Сучетом этих выводов формула (7.1) принимает вид:

a = aτ + an .

§5. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

83

Проведем в этом теле отрезок ММ1, перпендикулярный плоскости П. При движении тела этот отрезок остается параллельным своему на- чальному положению, т.к. он всегда перпендикулярен фиксированной плоскости. Следовательно, все точки этого отрезка движутся тожде- ственно и параллельно.

При этом vМ = vМ1 = v; аМ = аМ1 = а . Отсюда делаем вывод о том, что для изучения движения всего тела достаточно изучить дви- жение одного из его сечений, параллельных фиксированной плоско- сти.

Положение сечения в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного в нем отрезка АВ. В свою очередь, по- ложение этого отрезка можно определить, зная координаты ха и уа точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью Ох. Точку А, выбранную для определения положения сечения S в дальнейшем бу- дем называть полюсом (рис.7.7).

При движении фигуры величины хa , уa и φ будут изменяться с те- чением времени. Значит, чтобы знать закон движения отрезка АВ, т.е. его положение в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости:

Рис. 7.7

Уравнения (7.2), определяющие закон происходящего движения,

называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоского движения твердого тела.

Первые два уравнения определяют поступательное движение, при котором все точки сечения движутся так же, как и полюс А (при этом ϕ = const ). Третье уравнение определяет вращательное движение

фигуры вокруг этого полюса (при этом xa = const; ya = const ). Отсюда заключаем: движение плоской фигуры в ее плоскости может рассмат-

84

риваться как слагающееся из поступательного движения полюса и вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматривае- мого движения являются скорость и ускорение полюса, а также угло-

вая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик для любого момента времени можно найти из уравнений (7.2).

Векторы ω и ε направлены по оси, проходящей через полюс, перпендикулярно плоскости сечения.

при этом скорость, которую точка будет получать при вращении во- круг полюса А, будет

85

vМА = ω × МА .

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры гео-

метрически складывается из скорости полюса и скорости, которую точка получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью полу- ченной формулы обычно связано с довольно сложными расчетами. Однако, исходя из этого основного результата, можно получить ряд других, более удобных и простых методов определения скоростей то- чек фигуры.

§7. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры. При-

стояние между точками А и В должно меняться, что невозможно, так как тело считается абсолютно твердым.

§8. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

В случае непоступательного движения тела такая точка в каждый момент времени существует и она единственная.

86

Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости vА и vВ не параллельные друг другу (рис.7.11). Тогда точка

Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа и Вв, будет мгновен- ным центром скоростей, так

по формуле (7.4) скорость точки А будет:

vА = vР + vАР = vАР , т.к. vР = 0.

Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

vА = ω× РА; vВ = ω× РВ, отсюда следует, что РАvА = РВvВ , т.е. скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновен-

ного центра скоростей.

Подводя итог, подчеркнем: для определения скорости какой-

либо точки плоского тела необходимо знать модуль и направление скорости другой ее точки и положение МЦС. Для построения МЦС необходимо знать направления скоростей двух точек плоского тела.

Рассмотрим некоторые случаи определения МЦС:

1.При качении без скольжения мгновенным центром скоростей будет точка плоского тела, соприкасающаяся с неподвижной по- верхностью (рис.7.12).

2.Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг

другу, причем линия АВ не перпендикулярна vA , то МЦС лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны vA . Этот

случай называют мгновенно поступательным движением

(рис.7.13).

87

3. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна vA , то МЦС опре- деляют построением показанным на рис.7.14.

Рω

Рис. 7.13

Пример. Найти скорости точек А, В, С механизма, изо- браженного на рис.7.15. На этом рисунке показан криво- шип ОА, вращающийся против часовой стрелки вокруг

точки О с угловой скоростью ω. За счет этого вращения шатун АВ передвигает ползун В в левую сторону по направляющей ОВ.

P

v

С

О

vB В Рис. 7.15

Скорость точки А определяется по выведенной ранее формуле vА = ω× ОА и направлена ОА. Так как скорость точки В направле- на к точке О, то пересечение перпендикуляров к скоростям vA и vB

дает положение МЦС – точку P. Тогда vA = AP . Отсюда находим vB BP

88

скорость точки B: vB = vA APBP . Соединяя точки Р и С, находим на-

сюда находим скорость точки С: vC = vB CPBP . Отметим, что в сле-

дующем примере нам понадобится угловая скорость шатуна АВ:

ωAB = APvA = BPvB = CPvC

§9. Определение ускорений точек плоской фигуры

Ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорений, которые точка получает вследствие вращения вокруг этого полюса. Направление ускорения точки М находится построением соответствующего параллелограмма. Вектор

аτМА направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если дви-

89

жение ускоренное, и против вращения, если движение замедленное.

Вектор аn МА всегда направлен от точки М к полюсу А. Численно аτМА = ε × МА; аn МА = ω2 × МА.

Пример. Найти ускорения точек А, В, С механизма, изо- браженного на рис.7.15. Пусть кривошип ОА, вращается против часовой стрелки вокруг точки О с угловой скоро- стью ω и угловым ускорением ε. Касательное и нормальное

Тогда ускорение точки А примет вид: аА = ОАε2 + ω4 .

Так как направление ускорения точки В известно (рис.7.17), то с учетом того факта, что аА = аAn + аAτ , формула (7.6) примет вид:

Проектируя равенство (7.7) на оси x и y, получим

aAτ

В первом из уравнений (7.8) присутствует только одна неиз- вестная аВ, так как угловая скорость ωАВ была найдена при опреде- лении скоростей в предыдущем примере. Тогда

90