Учебное пособие ТеорМех

Сопоставляя две последние формулы, находим:

vx = dxdt ; vy = dydt ; vz = dzdt . Следовательно, проекции скорости

точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат по времени.

Вычислив проекции скорости на оси координат, можно опреде- лить модуль и направление скорости точки по следующим формулам:

х = f1(t) , в этом случае модуль скорости равен абсолютному значе- нию его проекции на ось х, т.е.

v = vx = х& .

При vx >0 точка движется по направлению оси х, при vx <0 – противоположно направлению оси х.

§6. Определение ускорения точки при задании ее движения векторным способом. Вектор ускорения точки

При неравномерном и криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Ускорение точки характеризует

быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

Допустим, что в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость v , а в момент времени t1=t+ t она занимает положе- ние М1 и имеет скорость v1 . (рис.6.7)

Найдем приращение вектора скорости за промежуток времени t. Для этого отложим от точки М скорость v1 и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет скорость v , а диа- гональю – скорость v1 . Тогда вторая сторона параллелограмма и бyдет

71

вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. В

случае, когда траектория движения точки является плоской кривой, то вектор ускорения лежит в этой плоскости и направлен в сторону во- гнутости кривой.

§7. Определение ускорения точки при задании ее движения координатным способом

Определим модуль и направление ускорения точки по уравнени- ям ее движения в декартовых координатах. Пусть заданы уравнения движения точки:

х = f1(t), у = f2 (t), z = f3 (t) .

Радиус-вектор r движущейся точки М представим в виде: r = ix + jy + kz

Так как ускорение точки равно производной от радиуса-вектора по времени, а векторы i, j,k постоянны, то имеем:

разложим ускорение а по осям координат:

a = iах + jау + kаz .

72

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные

оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Вычислив проекции ускорения на координатные оси, можно оп- ределить модуль и направление ускорения точки по следующим фор- мулам:

a = a2x + a2y + a 2z ;

cos(a, i) = aax ,cos(a, j) = aay ,cos(a, k) = aak .

Если точка движется в плоскости, то ее движение задается двумя уравнениями:

х = f1(t), у = f2 (t) , а модуль и направление ее ускорения опре- деляются так:

a = a 2x + a 2y ;

cos(a, i) = aax ,cos(a, j) = aay .

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением: х = f1(t) , в этом случае модуль ускорения a равен абсолютному зна- чению его проекции на ось х, т.е.

a = ax = &x& .

Ускорение а направлено в сторону оси х, если а>0, и противопо- ложно, если а<0.

§8. Естественные координатные оси. Вектор кривизны Естественными координатными осями называют взаимно пер-

пендикулярные оси: касательная – направлена в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль – направлена в сторону во- гнутости кривой и бинормаль – направлена по отношению к каса- тельной и главной нормали так же, как ось Оz направлена по отноше- нию к осям Ох и Оу в правой системе координатных осей. Единичные векторы этих осей обозначаются соответственно τ,n, b .

73

Плоскости, образованные этими осями, называются – соприка- сающаяся, нормальная и спрямляющая (рис.6.8).

Возьмем на кривой АВ две точки М и М1. Дуговые координаты

(рис.6.9). Модуль орта τ постоянен по модулю, но направление орта при перемещении точки по кривой изменяется, т.е. орт τ является переменным вектором.

Определим приращение орта τ на участке MM1 = s . Для этого отложим от точки М орт τ1 и построим при этой точке параллело- грамм, одной из сторон которого будет орт τ , а диагональю – орт τ1. Тогда другая сторона параллелограмма будет приращением орта τ ,

касательной к кривой на участке ММ1, называется вектором средней

Бинормаль

ВРис. 6.8

кривизны кривой на этом участке. Предел K , к которому стремится вектор средней кривизны кривой Kср , когда s стремится к нулю, на-

зывается вектором кривизны кривой в данной точке.

K = ddsτ .

Вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате.

Для определения модуля этого вектора рассмотрим равнобедрен- ный треугольник, образованный τ1, τ, τ . Угол ε называется углом

74

диус кривизны траектории в данной точке.

Направлен вектор K по главной нормали к центру кривизны кривой.

§9. Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом

В этом случае значение вектора а определяют по его проекциям на подвижные координатные оси имеющие начало в точке М и дви- жущиеся вместе с ней.

Для определения этих проекций представим вектор скорости точ- ки по формуле:

ds . Получим:

75

где алгебраическое значение нормального ускорения точки определя-

ется как an = v2 . Эта проекция всегда положительна, а значит нор-

ρ

мальное ускорение точки всегда направлено к центру кривизны тра-

ектории. Алгебраическое значение касательного ускорения: aτ = dvdt .

Отметим, что величину касательного ускорения можно опреде- лить по формуле, которая выводится следующим образом: возводя в

квадрат формулу v = v2x + v2y , получим v2 = v2x + v2y . Дифференцируя по t и учитывая, что по правилу производной

мальное ускорение существует лишь при криволинейном движении точки и характеризует изменение направления скорости.

При равномерном движении точки: v=const и aτ = 0. Касательное

ускорение точки существует лишь при ее неравномерном движении и характеризует изменение модуля скорости.

Классификация движения точки по ускорениям ее движения.

Случай 1: an = 0; aτ = 0 – точка движется прямолинейно и рав- номерно. Полное ускорение точки а = 0 .

Случай 2: an ¹ 0; aτ = 0 – точка движется равномерно и криво- линейно. Полное ускорение точки а = an .

Случай 3: an = 0; aτ ¹ 0 – точка движется прямолинейно и не- равномерно. Полное ускорение точки а = aτ .

Случай 4: an ¹ 0; aτ ¹ 0 – точка движется криволинейно и нерав- номерно. Полное ускорение точки а = aτ + an .

Пример. Найти траекторию движения, положение точки на ней и кинематические характеристики движения точки,

76

1.Что изучает кинематика?

2.Перечислите основные способы задания движения точки.

3.Что должно быть известно при естественном способе задания движения точки?

4.Как направлен вектор скорости точки за некоторый промежу- ток времени?

77

5.По каким формулам определяется скорость точки при задании ее движения координатным способом?

6.Что такое подвижные координатные оси?

7.Как определяются нормальное и касательное ускорения точки при естественном способе задания ее движения?

8.Что называют вектором кривизны траектории?

9.Как направлено нормальное ускорение точки?

ГЛАВА VII. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Различают пять видов движения твердого тела: поступательное, вращательное, плоское или плоскопараллельное, сферическое, общий случай движения твердого тела.

§1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во время движения тела параллельной своему начальному положению.

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скоро-

сти и ускорения. Для доказательства этой теоремы выберем две произвольные точки твердого тела А и В и проведем из точки А в точку В радиус вектор rАВ (рис.7.1). Так как тело движется поступа-

тельно, то во время его движения отрезок АВ остается параллельным своему начальному положению, поэтому rАВ = rА1В1 = const .

Проведем из произвольного неподвижного полюса О в точки А, В, А1, В1 радиус-векторы rА , rВ , rА1, rВ1 . Из треугольника ОАВ устанав- ливаем равенство: rВ = rА + rАВ , которое будет справедливым на всем движении. Это равенство показывает, что любому положению точки

Асоответствует определенное положение точки В, отстоящее от А по направлению rАВ на расстояние АВ. Поэтому, если траекторию точки

Апереместить по направлению rАВ на расстояние АВ, то она совпа-

дет с траекторией точки В, т.е. траектории точек А и В одинаковы.

Определим вектор скорости точки В как производную от радиу- са–вектора этой точки по времени по формуле:

78

vВ = ddtrВ = ddtrА + ddtrАВ , но ddtrА = vА , а drdtАВ = 0.

Поэтому vВ = vА , т.е. скорости точек А и В геометрически рав- ны. Их называют скоростью поступательного движения.

т.е. ускорения точек А и В геометрически равны. Их называют уско- рением поступательного движения.

х

Рис. 7.1

Так как точки А и В произвольны, то полученные соотношения справедливы для всех точек тела. Установленные свойства поступа- тельного движения позволяют свести изучение поступательного движе- ния тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки. Обычно такой точкой служит центр тяжести.

§2. Вращательное движение твердого тела.

Вращательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения. При этом движении все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Определим положение вращающегося тела следующим образом. Зададим направление оси вращения z. Проведем через эту ось две по-

79

луплоскости: неподвижную полуплоскость Р и подвижную полуплос- кость Q, связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис.7.2).

Двугранный угол φ между полуплоскостями называется углом поворота тела. Он считается положительным, если с положительного направления оси z его можно увидеть отложенным против движения часовой стрелки.

Этот угол, определяя положение подвижной полуплоскости, оп- ределяет положение всего вращающегося тела. Поэтому его можно рассматривать как угловую координату тела.

При вращении угол поворота изменяется в зависимости от вре- мени, т.е. ϕ = f (t) .

z

A

φ

v

C

h dφ ds

M

P

Рис. 7.2

Это уравнение называют уравнением вращательного движения тела. Основными кинематическими характеристиками вращательного

движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение.

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если в моменты времени t и t+ t вращающаяся полуплоскость занимает положения Q и Q1, т.е. угол поворота φ за время t получает приращение Δφ, то отношение Δφ/ t определяет алгебраическую ве-

80