Учебное пособие ТеорМех

патке, а равенство нулю начальной относительной скорости спра- ведливо в случае вертикального попадания точки на диск.

Подставляя эти начальные условия в уравнения (9.21) и (9.22), получаем:

Подставляя в уравнение (9.21) вместо х длину лопатки R, можно определить время движения по ней до момента схода с диска, а из формулы (9.22) – скорость схода частицы с диска.

§ 10. Движение точки по плоской кривой

121

N = mg sin α + mvρ 2 , где ρ – радиус кривизны в данной точке. Послед-

нее слагаемое в формуле для определения нормальной реакции явля- ется центробежной силой, с которой точка действует на направляю- щую кривую.

В одном из разделов высшей математики – дифференциальной геометрии – выводится формула для определения радиуса кривизны:

После очевидных упрощений, получаем:

&x& = - (g + x& 2+y¢x¢ )(k¢ 2+ y¢x ) . (9.27) 1 (yx )

Добавляя к полученному уравнению начальные условия вида:

x t = 0 = x0 , x& t =0 = vx0 ,

получаем задачу Коши для квазилинейного дифференциального уравнения (9.27), которое имеет только численное решение. Напом- ним, что не являющееся линейным дифференциальное уравнение

122

Это и есть дифференциальное уравнение движения точки по наклонной плоскости.

§11. Движение теряющего массу элемента по прямолинейной плоской поверхности

Название этого параграфа выбрано не случайно. В процессе сель- скохозяйственного производства часто встречают процессы сепара- ции сыпучих сред, смысл которых состоит в удалении ненужных примесей из очищаемого продукта. Это нередко выполняется посред- ством движения некоторого потока по решетам с различного вида от- верстиями, подобранными так, что ненужные примеси естественным образом удаляются из сепарируемой смеси.

В этом случае масса элемента смеси представляет некоторую функциональную зависимость, поэтому, используя свойство произ- водной произведения двух функций, уравнение (9.1) можно записать в виде:

В случае сепарации на прямолинейно наклонно расположенных решетах, последнее уравнение принимает вид:

123

z. Учитывая, что согласно уравнению (9.28), сумма активных сил рав-

на

Отметим, что при данном типе сепарации примеси удаляются в направлении, перпендикулярном движению элемента массы, поэтому их относительная скорость в проекции на указанное направление рав- на нулю.

В указанном процессе элемент массы можно вычислять по фор- муле: m = M + mпрe−λz . Здесь M – неизменяемая масса, mпр – началь-

ная масса засорителя, λ – коэффициент сепарации. Отметим, что по- теря массы зависит от длины участка сепарирования.

Обычно засоренность определяют отношением массы за-

сорителей к массе чистой фракции p = mMпр , поэтому уравнение

(9.31) окончательно примет вид:

Это также квазилинейное дифференциальное уравнение.

124

§ 12. Движение точки в поле силы тяжести с учетом сопротивления воздуха

Вбольшинстве прикладных задач механики аналитическое ре- шение задач движения невозможно. Как было показано в предыдущих параграфах, это касается случаев, когда полученные дифференциаль- ные уравнения квазилинейны или нелинейны.

Вкачестве еще одной задачи, приводящейся к решению квази- линейной системы уравнений, рассмотрим плоское движение частицы

вполе силы с учетом сопротивления воздуха. На частицу М массой m, движущейся по траектории L с текущей скоростью v, действуют

vx = x&, vy = y& , окончательно получаем систему уравнений, описы-

вающих рассматриваемое движение

Добавив к этой системе начальные условия:

При t=0 x = 0, x& = v0 cos α, y = h, y& = v0 sin α , получим задачу для

определения закона движения частицы. В силу квазилинейности сис- темы (9.32), ее решение возможно только численными методами. От-

125

метим, что решение данной системы позволяет определять характер движения частиц с различными коэффициентами парусности. Данная задача возникает, например, при воздушной сепарации потока с раз- личными фракционными составляющими.

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте законы и задачи динамики точки.

2.Что называют количеством движения точки?

3.Что такое импульс cилы?

4.Сформулируйте общие теоремы динамики точки.

5.Запишите дифференциальное уравнение свободных колебаний без сопротивления среды.

6.Запишите дифференциальное уравнение свободных колебаний при наличии сопротивления среды.

7.Почему при выводе уравнений движении по плоской кривой достаточно одной координаты?

8.Как изменяется движение частицы в случае потери ее массы?

9.В чем разница между уравнениями полета точки с учетом и без учета силы сопротивления?

126

ГЛАВА Х ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

§ 1. Механическая система. Силы внешние и внутренние.

Системой материальных точек (или механической системой) на- зывают такую совокупность, в которой положение или движение ка- ждой точки зависит от положения и движения всех остальных.

Все действующие на систему активные силы и реакции связей разделяют на внешние и внутренние. Внешними ( Fke ) называют силы, действующие на точки данной системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему. Внутренними ( Fki ) называют силы, с кото- рыми материальные точки системы взаимодействуют друг с другом.

2. Сумма моментов всех внутренних сил относительно любого центра или оси равняется нулю (рис.10. 1).

åМо (Fki ) = 0; åМх (Fki ) = 0.

§ 2. Масса системы. Центр масс

Каждая точка системы имеет определенную массу mk , а ее по- ложение относительно системы отсчета Oxyz в каждый момент вре- мени определяется радиус-вектором rk . Масса системы равна ариф- метической сумме масс всех точек или тел, образующих систему: M = åmk . Распределение массы в системе определяется значениями

масс ее точек и их взаимным расположением. Однако оказывается, что при решении большинства задач динамики для учета распределе- ния масс достаточно знать не все величины mk , хк , ук , zк , а выражае-

127

мые через них суммарные характеристики. Ими являются центр масс

иосевые моменты инерции.

Воднородном поле тяжести, для которого g = const, вес любой

частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Извест- но, что координаты точек приложения сил тяжести pk , действующих

Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (10.1), называется центром масс механической системы.

Если положение центра масс определять его радиус-вектором, то из равенств (10.1) для rс получается формула:

где rk - радиус-векторы точек, образующих систему. В случае,

когда твердое тело находится в однородном поле сил тяжести, то его центр масс совпадает с центром тяжести.

§3. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

При поступательном движении твердого тела мерой его инертно- сти является масса. При вращательном – момент инерции. Моментом инерции тела или системы относительно данной оси Оz называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела

или системы на квадрат расстояний от этой оси: Jz = åmk h2k .

Другими словами, осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. При этом для одной ма-

териальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, Jz = mh2 .

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния от осей выражать через координаты хк , ук , zк этих точек. Тогда моменты инерции относительно осей Oxyz будут определяться формулами:

128

В случае однородного твердого тела, когда количество точек стремиться к бесконечности, а масса точки – к нулю, суммы в фор- мулах (10.3) превращаются в интегралы по соответствующему объе- му:

Интегралы в формулах (10.3а) следует понимать как интегралы в обобщенном смысле, так как в некоторых ситуациях они могут обра- титься в тройные, двойные и даже в обычные определенные интегра- лы.

В случае однородных тел m = γV , где γ–плотность тела, V–его

129

Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Отметим, что радиус инерции имеет размерность [м] и зависит только от формы однородного тела, поэтому в справочной литературе его задание более предпочтительно. Зная радиус инерции и массу со- ответствующего тела, его момент инерции определяется по формуле

Jz = Mρ2z .

§4. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса

130