Учебное пособие ТеорМех

Отличие кинетической энергии от введенных ранее понятий ко-

личества движения системы и кинетического момента заключается в том, что во-первых, она является характеристикой и поступательного и вращательного движения, во-вторых, это величина скалярная и в третьих, на ее изменение влияют как внешние, так и внутренние силы системы.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

Поступательное движение. В этом случае все точки тела дви- жутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс системы. Следовательно, для любой точки vk = vc и из формулы

(10.18)

Кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой- нибудь оси Оz (рис.10.11), то скорость любой ее точки определяется как vk = ωhk , где hк – расстояние от точки до оси вращения, ω – угло-

вая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (10.17), полу-

дикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный

141

центр скоростей Р (рис.10.1). Следовательно, по формуле (10.18) ки- нетическая энергия тела в каждый момент времени будет определять- ся:

т.е., при плоском движении кинетическая энергия тела равна

энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

следовательно,

142

§15. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Ранее была доказана теорема, справедливая для любой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку сис- темы массой mk, имеющую скорость vk, то для этой точки будет

где dAek , dAik - элементарные работы действующих на точку

внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

Равенство (10.20) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегриро-

вав обе части этого равенства в пределах, соответствующих переме- щению системы из некоторого начального положения, где кинетиче- ская энергия равна То, в положение, где значение кинетической энер- гии становится равным Т1, получим

Пример. Определим угловую скорость и угловое ускоре- ние стержня массой M и длиной L, движущегося из состоя- ния покоя как это показано на рис.10.14. Так как стержень, находящейся в состоянии покоя, совершает вращательное

движение относительно оси z, проходящей через точку О, то тео-

143

Дифференцируя выражение (10.22) по времени с учетом того, что и ω и φ являются функциями, зависящими от времени, получаем:

зического маятника. Окончательно получаем:

144

Это уравнение абсолютно аналогично уравнению колебаний математического маятника (9.18), приведенного в главе 9. Отсюда следует, что период колебания физического маятника определяется по формуле:

Таким образом, колебания данного физического маятника будут происходить по такому же закону, что и колебания математическо- го маятника с длиной нити, равной

§16. Экспериментальные определения моментов инерции

В ряде случаев для тел нестандартной формы необходимо экс- периментально определять моменты или радиусы инерции. Для этого можно использовать метод маятниковых колебаний, сущность ко- торого состоит в следующем.

Предварительно определяется центр масс тела C. Затем тело под- вешивается в некоторой точке O, не являющейся центром масс, от- клоняется от положения равновесия на небольшой угол, после чего оно начинает совершать малые колебания. С помощью секундомера с некоторой повторностью опыта определяется период колебаний Т.

Затем тяжелая материальная точка подвешивается на невесомой нерастяжимой нити (математический маятник) и начинает совершать малые колебания. Длина нити Lпр в ходе опытов выбирается так, что- бы период колебаний стал равен Т. После чего из формулы (10.28) определяется искомый радиус инерции:

ρC = Lпр × OC - OC2 .

В некоторых случаях может быть применен метод крутильных колебаний. Он состоит в том, что тело подвешивается в центре масс на упругой проволоке и приводится к малым крутильным колебани- ям. С помощью секундомера с некоторой повторностью опыта опре- деляется период колебаний Т. Используя уравнение вращения твердо-

го тела (10.18): Jzε = åmz (Fk ) и тот факт, что на тело действует только момент сопротивления кручению mz = –cϕ, получаем

145

чаям математического и физического маятников, период крутильных колебаний определится по формуле:

Затем к этой же проволоке подвешивается некоторое эталонное тело, например, сплошной однородный диск, момент инерции которо- го Jэт известен. Также опытным путем определяется период его кру-

§17. Плоское движение твердого тела

Учитывая рассуждения, приведенные в §14 данной главы, плос- кое движение твердого тела можно рассматривать как плоское дви- жение его центра масс в системе координат (x,y) и вращательное движение вокруг этого центра масс:

диск катится вверх по наклонной плоскости с углом α, имея начальную скорость центра v0. Коэффициент сопротивле-

146

сти mg, действуют еще проекции нормальной реакции N1 и N2 (см. рис.3.19). Запишем уравнения плоского движения диска:

m&x& = −mg sin α − N2 , JCϕ&& = N2R − N1μ . Здесь R – радиус диска, μ

– коэффициент трения качения (см. главу 3). Учитывая, что в на- правлении, перпендикулярном оси х, движение отсутствует, получа- ем:

и в главе 3, обозначим коэффициент сопротивления качению f = Rμ .

Из последнего уравнения можно выразить N2: N2 = mR2 ϕ&& + fN1 . Под-

ставляя значения проекций нормальной реакции N1 и N2 в уравнение движения вдоль оси х, получаем: m&x& = −mg sin α − mR2 ϕ&& − fmg sin α.

Учитывая, что &x& = Rϕ&& , после сокращения на m и некоторого упро-

щения, получим: &x& = − 23 g(sin α + f sin α) . Если принять, что при t=0

4g(sin α + f sin α)

147

Вопросы для самопроверки

1.Что называют механической системой?

2.Каковы свойства внутренних сил системы?

3.Чем характеризуется мера инертности тела при поступатель- ном и вращательном движениях?

4.Что такое радиус инерции?

5.Сформулируйте теорему Гюйгенса.

6.Сформулируйте теорему о движении центра масс системы.

7.Сформулируйте теорему об изменении количества движения системы.

8.Что называют кинетическим моментом системы?

9.Как определить кинетическую энергию во вращательном движении?

10.Как определить кинетическую энергию в плоском движении?

11.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии системы?

148

ГЛАВА XI. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

В различных областях современной техники возникают сложные задачи, для решения которых желательно иметь универсальный ана- литический аппарат, основанный на общих принципах механики. Раз- работка такого аппарата, изложение общих принципов механики, вы-

вод из них дифференциальных уравнений движения и исследование самих уравнений и методов их интегрирования составляют основное содержание аналитической механики.

§ 1. Принцип возможных перемещений.

Возможным (или виртуальным) перемещением несвободной ме- ханической системы называется всякое воображаемое бесконечно ма- лое перемещение, допускаемое в данный момент наложенными на систему связями. Из данного определения вытекает, что возможные перемещения точек механической системы рассматриваются как бес- конечно малые первого порядка малости. Так, например, возможным перемещением шарнирного рычага АСВ (рис.11.1)

C’

Рис. 11.1

является поворот звеньев АС и СВ в результате бесконечно малого смещения δsс шарнира С в вертикальном направлении. Это смещение вызовет перемещения точек А и В по дугам AA1 и BB1. Однако с точ- ностью до величин первого порядка малости эти перемещения заме-

няют возможными перемещениями δsA = AA' и δsB = BB' , перпенди-

кулярными к АВ.

Возможным перемещением кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис.11.2, является поворот кривошипа OA из за- данного положения, определяемого углом φ, на бесконечно малый угол δφ вокруг оси О. Возможное перемещение δsА точки А представ- ляет собой отрезок касательной АА' к дуге АА1, равный по величине δsA = OA × δϕ . Возможным перемещением δsB точки В ползуна явля-

ется бесконечно малый отрезок BB1 прямолинейной траектории точки В.

149

А’ А1

А

δφ

φ

О В1 В

Рис. 11.2

Действительные перемещения точек несвободной механической системы, совершаемые от действия приложенных сил, всегда нахо-

дятся среди возможных перемещений точек системы только в том случае, если наложенные на систему связи не изменяются со временем. Такие связи называются стационарными.

Будем рассматривать несвободную механическую систему из n материальных точек. Обозначим через Fi равнодействующую задан- ных активных сил, приложенных к i-й точке, через Ri — равнодейст-

вующую сил реакций связей в этой точке, a δsi — ее возможное пере-

мещение. Связи, для которых сумма работ реакций на любом воз-

можном перемещении системы равна нулю, называются идеаль-

ными. По определению, для систем с идеальными связями

Если система находится в равновесии, то для каждой из n точек Fi + Ri = 0, то есть Fi = −Ri . Так как силы Fi и Ri равны по величине и противоположны по направлению, то cos(Fi ,δsi ) = − cos(Ri ,δsi ) и

работы этих сил на возможном перемещении точки δsi, равны по ве- личине, но противоположны по знаку. Поэтому сумма элементарных работ всех сил, приложенных к i-й точке, на любом возможном пере- мещении равна нулю:

Fiδsi cos(Ri ,δsi ) + Riδsi cos(Ri ,δsi ) = 0 , (i = 1, 2,..., n).

Суммируя такие равенства по всем точкам системы, получим:

åFiδsi cos(Ri ,δsi ) + åRiδsi cos(Ri ,δsi ) = 0, (i = 1, 2,..., n).

Отсюда, в случае системы с идеальными связями с учетом усло-

Равенство (11.2) выражает принцип возможных перемещений:

для равновесия механической системы с идеальными стационарными связями необходимо и достаточно обращения в нуль суммы

150