Учебное пособие ТеорМех

сти, проходящей через вектор скорости v и нормаль, α — угол, образован- ный вектором v с нормалью (угол падения), β — угол, образованный век- тором u с нормалью (угол отражения).

По теореме об изменении количества движения материальной точки при ударе

mu − mv = S

где S — ударный импульс реакции, направленный по нормали к по- верхности, так как поверхность гладкая.

Проектируя обе части этого равенства на оси Аτ и Аn, находим: muτ − mvτ = 0 , mun − mvn = S.

Из первого уравнения следует, что uτ = vτ , т. е. касательная состав- ляющая скорости при ударе не изменяется.

Второе уравнение содержит два неизвестных un и S. Нужно иметь еще одно уравнение. Нормальная составляющая скорости за фазу деформации изменяется от vn до 0, а за фазу восстановления – от 0 до un. По теореме об

изменении количества движения материальной точки в проекциях на нор- маль для фазы деформации, получаем

Формула (12.11) является кинематическим выражением для коэффи- циента восстановления в этом случае удара. Коэффициент восстановления, вычисленный по формуле (12.11), является положительным, так как проек- ции un и vn имеют разные знаки.

Таким образом, для определения un и S имеем два уравнения:

mun − mvn = S, k = − un vn

Из этих уравнений, пользуясь рис.12.2, находим: un = −kvn ,

S = −mvn (1+ k) = mv cos α(1+ k),

171

un = kv cos α .

Величину скорости в конце удара определяем по формуле

u = u2τ + u2n = vsin2 α + k2 cos2 α .

При k = 1, т. е. при абсолютно упругом ударе, u =v. Затем по рис.12.3

tgα = − vτ : uτ = − un = k tgβ vn un vn

т. е. отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления.

Существует много способов опытного определения коэффициен- та восстановления. Приведем наиболее простой из этих способов, считая, что коэффициент восстановления не зависит от формы соуда- ряющихся тел и скоростей их при ударе. Шарик из испытуемого ма- териала отпускается без начальной скорости с высоты h на горизон- тальную плиту, сделанную из того же материала. После удара шарик поднимается на высоту h1 (рис.12.4).

Как было оказано в примере §4 главы 9

М

М1

h

h1

Рис. 12.4

172

Значения коэффициентов восстановления для различных мате- риалов приведены в справочниках. Коэффициент восстановления, на- пример, при ударе стали о сталь равен 5/9.

Пример. Материальная точка ударяется о неподвижное основание и отскакивает. Скорость точки до удара v = 4м / с и образует с вертикалью угол α=30о . Коэффициент восстановле-

ния k = 1/ 3 . Найти скорость точки после удара.

ент восстановления k известен, а скорости v1 и v2 направлены по ли-

нии удара. Так как к системе тел А и В внешние ударные импульсы не приложены, то количество движения системы соударяющихся тел при ударе не изменяется, т. е.

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m1u2 .

Векторы скоростей тел в конце удара расположены на линии уда- ра, так как к каждому из тел приложен импульс, направленный по ли- нии удара. Проектируем обе части приведенного равенства на линию удара. Опустив знаки проекций, получим

В равенстве (12.13) v1 , v2 , u1 , u2 — алгебраические значения

скоростей, т. е. скорости одного направления положительные, скоро- сти противоположного направления отрицательные. В уравнение (12.13) входят два неизвестных: u1 и u2 .

Следовательно, надо получить второе уравнение. Из определения

коэффициента восстановления при ударе о неподвижную поверхность имеем k = −un / vn . Выражение коэффициента восстановления в рас- сматриваемом случае получаем из следующих соображений: vn —

нормальная составляющая скорости, с которой материальная точка начинает углубляться в неподвижную поверхность. В данном случае

173

тело А углубляется в тело В со скоростью v1 − v2 ; un — нормальная

составляющая скорости, с которой материальная точка отделяется от поверхности, поэтому тело А отделяется от тела В со скоростью u1 − u2 . Величины v1 − v2 и u1 − u2 имеют различные знаки.

Таким образом, для коэффициента восстановления в данном слу- чае получаем:

т.е. независимо от k скорость первого тела неизменна, скорость же второго при абсолютно неупругом ударе ( k=0 ) u2 = v1, а при аб-

т.е. независимо от k скорость второго тела неизменна, скорость же первого при абсолютно неупругом ударе ( k=0 ) u2 = v2 , а при аб-

солютно упругом ( k=1 ) u2 = −v1 + 2v2 .

3) При абсолютно упругом ударе тел с равными массами, т. е. при k = 1, m1=m2, из формул (12.18) получаем

u1 = v2 , u2 = v1.

174

Полученный результат можно сформулировать так: при абсо-

лютно упругом ударе тела равных масс обмениваются своими скоростями.

Найдем теперь изменение кинетической энергии Т2 — Т1 системы соударяющихся тел за время удара.

Очевидно,

=m21 (u12 − v12 ) + m22 (u22 − v22 ) =

=m21 (u1 − v1)(u1 + v1) + m22 (u2 − v2 )(u2 + v2 )

Полученная разность называется потерянной кинетической энер- гией. Часть этой энергии затрачивается на деформацию. Оставшаяся часть уходит на преодоление сопротивлений при последующем дви- жении. Если удар применяют для деформирования, то потерянная ки-

нетическая энергия составляет значительную часть общего запаса энергии. Если удар используют для сообщения скорости, то остав-

шаяся кинетическая энергия должна составлять значительную часть общего запаса энергии.

Пример. На рис.12.5 показаны скорости тел до (v1, v2) и после (u1,u2) соударения

Рис.12.5

175

Вопросы для самопроверки:

1.Что называют мгновенной силой?

2.Чему равен коэффициент восстановления при абсолютно упругом ударе?

3.Сформулируйте об изменении кинетического момента при ударе.

4.Сформулируйте теорему Кельвина.

5.Как определить коэффициент восстановления при прямом центральном ударе двух тел?

176

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Яблонский А.А., В.М.Никифорова Курс теоретической ме- ханики. Учеб.пособие для вузов: 13-е изд., исправ.-М.: Инте-

грал-Пресс,2006.-603с.

2.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2005.-415 с.

3.Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики: Учеб.пособие для студ-ов вузов по техн.спец.:В 2-х т./Н.В.Бутенин, Я.Л.Лунц, Д.Р.Меркин. СПб.: Лань.-5-е изд.,

испр.-1998.-729 с.

4.Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие для студ.вузов,обуч.по техн.спец./И.В.Мещерский; Под ред. В.А.Пальмова, Д.Д.Меркина.-45-е изд.,стер.-СПб.и др.: Лань,2006.-447 с. 2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд.,стер.-

М.:Высш.шк.,2005.-415 с.

5.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для студ.втузов/[А.А. Яблонский, С. С.Норейко,С.А.Вольфсон и др.];Под общ. ред. А. А. Яблонского.- 11-е изд.,стер.-М.:Интеграл- Пресс,2004.-382 с.

6.Бать М.И и др. Теоретическая механика в примерах и задачах. Учеб.пособ. для вузов. В 2-х т./М.И.Бать, Г.Ю.Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-

М.:Наука,1990.-670 с.

7.Теоретическая механика. Терминология. Буквенные обозначения величин: Сборник рекомендуемых терминов. Вып.

102.М.: Наука, 1984. – 48с.

177