Учебное пособие ТеорМех

элементарных работ всех приложенных к ней активных сил на любом возможном перемещении системы.

Принцип возможных перемещений позволяет записать условие равновесия задаваемых сил для несвободных систем, состоящих из любого числа тел, причем уравнение работ, выражающее этот прин- цип, не содержит реактивных усилий. Применение же уравнений ста- тики к таким сложным системам потребовало бы нахождения боль- шого числа реакций связей. Несмотря на то что в равенство (11.2) не входят силы реакций связей, оно может быть использовано для опре- деления неизвестных реактивных усилий. Для этого связь, реакция которой подлежит определению, отбрасывается и ее действие заменя- ется силой реакции, которая включается в число активных сил. При этом, конечно, оставшиеся связи должны быть идеальными. Записы- вая затем для полученной системы равенство (11.2), приходим к

уравнению относительно неизвестной силы реакции отброшенной связи.

Описанный прием определения реакций применим также к сис- темам с неидеальными связями. Например, если связью является ше- роховатая поверхность, то ее можно заменить идеально гладкой по- верхностью, добавляя к активным силам силу трения скольжения или пару сил, препятствующую качению.

шарниром, добавляя момент заделки MD (рис.11.4). Пренебрегая тре- нием в шарнирах С, D и катковой опоре В, связи системы можно считать идеальными.

151

Применим к составной балке с преобразованными связями прин- цип возможных перемещений. Единственным возможным перемеще- нием системы, допустимым наложенными связями в преобразован- ной системе, является вертикальное перемещение δsС шарнира С. При этом балка займет положение, показанное на рис.11.4 пункти- ром. Катковая опора В перемещается в горизонтальном направле- нии, но приложенные силы на этом перемещении не совершают ра- боту.

При заданных геометрических размерах δϕ = δϕ1 . Обозначая вертикальные перемещения точек приложения сил F1, F2 , F3 соот-

ветственно через δs1, δs2, δs3 , согласно формуле (11.2) можем запи- сать:

Здесь с отрицательными знаками записаны работы сил, для ко- торых возможные перемещения точек приложения противополож- ны направлению их действия. Из геометрических особенностей сис- темы следует, что δs1=δs2=Lδφ, δs3=Lδφ1. Подставляя эти выраже- ния в равенство (11.3) и учитывая, что F1=F2=F3=F, получим:

152

четвертая координата определяется уравнением связи:

Связи типа (11.4), налагающие ограничения на положения

точек системы в пространстве, но не на их скорости, называются геометрическими или голономными.

Положение исследуемой системы в плоскости можно определить иначе. Введем параметры q1=x1, q2=y1, q3=φ (рис.11.5). Покажем, что задание этих параметров определяет положение обеих точек. В самом деле, и q1 и q2 определяют точку М1, а для точки М2 имеем:

х2 = х1 + Lcosϕ = q1 + Lcosq3

y2 = y1 + Lsin ϕ = q2 + Lsin q3.

Причем уравнение связи автоматически выполняется.

Сравнивая оба способа задания положения системы, мы прихо- дим к выводу, что декартовы координаты точек M1 и М2 не являются независимыми — они связаны уравнением (11.1), а параметры qi (i=1, 2, 3) вводятся с учетом уравнения связи, и каждый из них может из- меняться независимо от остальных.

В общем случае для механической системы, состоящей из n ма- териальных точек, на которые наложено L геометрических связей, можно выбрать s=(3n–L) независимых параметров q1, q2,…q3. Эти не-

зависимые параметры, однозначно определяющие положение системы в пространстве, называются обобщенными координатами системы. Количество (s) обобщенных координат называется

n) системы действует сила Fi . Сообщим системе

такое возможное перемещение, при котором

обобщенная координата q1 получит приращение δq1 а остальные ко- ординаты не изменяются. Обозначим через δri1 элементарное прира- щение радиус-вектора i-й точки, вызванное изменением координаты q1. Поскольку все другие обобщенные координаты при этом не изме- няются, величина δri1 вычисляется как частный дифференциал ради- ус-вектора ri т. е.

153

Подсчитаем теперь сумму элементарных работ δА1 всех дейст- вующих сил на рассматриваемом возможном перемещении:

dA = Fcos α × ds = F × dr .

Получим:

где суммирование производится по всем точкам системы (i = 1, 2,…, n). При этом равенство (11.7) можно записать в виде

По аналогии с формулой главы 9 (dA = Fτds), определяющей элементарную работу силы F, величину Q1 называют обобщенной

силой, соответствующей координате q1.

Сообщая системе другое независимое возможное перемещение δqk (k = 1, 2,…, s), при котором изменяется только обобщенная коор-

Величина Qk представляет собой обобщенную силу, соответст- вующую координате qk.

Если системе сообщить такое возможное перемещение, при кото- ром одновременно изменяются все обобщенные координаты, то на основании принципа независимости действия сил элементарная рабо- та системы сил (F1, F2,…,Fn) определится как сумма элементарных ра-

Формула (11.11) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Заме- тим, что размерность обобщенной силы зависит от размерности соот-

154

ветствующей обобщенной координаты и на основании формулы (11.8) определяется из выражения:

где в квадратных скобках символически обозначена размерность соответствующей величины. Из формулы (11.12) видно, что если q — линейная величина, то Q имеет размерность силы; если q — угол (в радианах), то обобщенная сила имеет размерность момента и т. п.

Пример. Центробежный регулятор вращается вокруг вер- тикальной оси (рис.11.7). Вес каждого шара регулятора ра- вен G, вес остальных частей не учитывается. Длины стерж- ней равны L. Приняв за обобщенные координаты угол α, обра-

зованный стержнями регулятора с вертикалью, и угол поворота ре- гулятора φ вокруг вертикальной оси, найти обобщенные силы, соот- ветствующие этим обобщенным координатам.

Решение. Сообщим обобщенной координате α приращение δα, оставляя угол φ неизменным. При этом точки приложения сил тя- жести шаров C1 и С2 получат перемещения δs1 и δs2, направленные перпендикулярно к стержням А1С1 и А2С2.

Имеем:

δs1=δs2=L· δα

Вычислим сумму работ заданных сил тяжести шаров на переме- щениях δs1 и δs2, вызванных приращением обобщенной координаты α:

155

δАα = -G × δs1 sin α - G × δs2 sin α = -2GL × δα sin α.

По формуле (11.6) определяем обобщенную силу Qα, соответст- вующую α:

Qα = δδαA = −2GLsin α .

Для вычисления обобщенной силы Qφ, соответствующей обоб- щенной координате φ, дадим углу φ приращение δφ, оставляя угол α неизменным. При этом, очевидно, точки приложения сил тяжести шаров переместятся в плоскости, перпендикулярной к оси z регуля- тора. Работа заданных сил G на таком перемещении равна нулю:

δАϕ = 0.

Тогда по формуле (11.6) обобщенная сила Qφ, соответствующая координате φ, также равна нулю:

Qϕ = δδϕAϕ = 0 .

§3. Случай потенциальных сил

Пусть все силы, действующие на механическую систему, потен- циальны. Тогда существует потенциальная функция П от координат точек системы (см. §7 главы 9 ), полный дифференциал которой равен

сумме элементарных работ всех сил: åδАi = −δП(i = 1, 2, ..., n).

Введем для системы, имеющей s степеней свободы, обобщенные координаты q1, q2,…, qs. Соответствующие этим координатам обоб- щенные силы Q1, Q2,…, Qs связаны с потенциалом П зависимостями:

Таким образом, если все действующие на систему силы потен-

циальны, то обобщенные силы равны или взятым с отрицательными знаками частным производным от потенциальной функции по соответствующим обобщенным координатам.

§ 4. Условия равновесия системы в обобщенных координатах

Рассмотрим механическую систему с идеальными стационарны- ми связями. Нам уже известно (см. § 1), что для таких систем приме-

156

ним принцип возможных перемещений. Согласно этому принципу, необходимым и достаточным условием равновесия является обраще-

ние в нуль суммы элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении. Запишем это усло- вие в следующем виде:

åδАi = åFi × δri = 0 ,

где суммирование ведется по всем силам. Легко убедиться, что такая запись эквивалентна формуле (11.2). С учетом равенства (11.8) запи- санную формулу можно также представить в виде:

åFi × δri = Q1δq1 +Q2δq2 + ... + Qsδqs = 0,

причем s — число степеней свободы системы.

Следовательно, необходимым и достаточным условием равнове- сия рассматриваемой механической системы является равенство:

Но обобщенные координаты независимы, поэтому возможные перемещения δq1, δq2, …, δqs тоже независимые, причем они произ- вольные и бесконечно малые величины. Полагая δq1=0, а все осталь-

ные δqi≠0, (i = 2, 3, …, s), из формулы (11.14) получим Q1=0. Совер-

шенно аналогично, приняв δq2≠0, a δq1=δq3=…= δqs=0, будем иметь Q2=0 и т. д. В результате приходим к заключению, что для равнове-

сия механической системы с идеальными, стационарными геометрическими связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю, т. е.

условие равновесия (11.15) вместе с формулами (11.14) дает для по- тенциальной функции П следующие зависимости:

Как известно, обращение в нуль всех частных производных по- тенциальной функции по обобщенным координатам выражает необ- ходимое условие существования экстремума. Вспоминая еще, что по- тенциальная функция равна потенциальной энергии, можем заклю-

чить, что при равновесии механической системы, находящейся

под действием консервативных сил, потенциальная энергия может достигать экстремума.

157

§ 5. Общее уравнение динамики системы

В соответствии с принципом Даламбера для каждой из N точек механической системы совокупность активных сил, сил реакций свя- зей и сил инерции удовлетворяет уравнениям равновесия:

Fi + Ri + Фi = 0 , (i =1, 2, …, N), (11.17)

где Fi – главный вектор активных сил, Ri – главный вектор сил реакций связей в точке и Фi – сила инерции точки. Умножим скаляр-

но каждое из уравнений (11.17) на возможное перемещение точки δri и просуммируем по всем точкам системы. Получим:

Формула (11.18) выражает общее уравнение динамики системы

слюбыми связями.

Вслучае системы с идеальными связями, как нам известно (§ 1), второе слагаемое в (11.18) обращается в нуль. Вспоминая также, что сила инерции выражается через ускорение ai точки относительно

инерциальной системы отсчета по формуле:

Фi = −miai = −mi d22r ,

dt

приходим к выводу, что для систем с идеальными связями общее уравнение динамики принимает одну из форм:

å(Fi + Фi )δri = 0, å(Fi − miai )δri = 0;

или

å(Fi − mi d22r)δri = 0, dt

где ri – радиус-вектор i-й точки.

Таким образом, в любой момент движения механической сис-

темы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы на любом возможном перемещении равна нулю.

Пусть система с идеальными связями имеет s степеней свободы, и ее положение в пространстве определяется обобщенными коорди- натами δq1, δq2, …, δqs. В общем случае нестационарных связей ради- ус-вектор каждой точки системы зависит от обобщенных координат и времени, т. е. rk = rk (q1,q2 ,...,qs ;t) . Для возможного перемещения δrk

имеем:

158

так как время при этом считается неизменным. Подстановка формулы (11.19) в общее уравнение динамики (11.18) дает

Обозначим:

Назовем эти величины обобщенными силами активных сил (Qi) и сил инерции ( Qi(Ф) ). С учетом обозначений (11.21) уравнение (11.20) приводится к виду:

Условия (11.23) выражают принцип Даламбера в обобщённых силах. Если силы инерции точек системы равны нулю, то из формулы (11.23) получаются условия равновесия системы .

§6. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Полученные в предыдущем параграфе уравнения можно непо- средственно использовать для решения многих задач динамики сис- темы. Однако процесс составления этих уравнений можно значитель- но упростить, если выразить все входящие в них обобщенные силы

инерции ( Qi(Ф) ) через кинетическую энергию системы. С этой целью преобразуем правую часть второй из формул (11.21) к виду:

где vk — скорость k-й точки, определяемой радиус-вектором rk. В справедливости равенства (11.24) можно убедиться путем дифферен- цирования произведения в первой круглой скобке. Учитывая далее,

что

159

В последнем равенстве в круглых скобках стоят выражения кине- тической энергии системы Т, составленной из N материальных точек. Поэтому можем записать:

Систему s дифференциальных уравнений (11.27) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Интегрируя эту систему и опреде- ляя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координа- тах:

Qi = - ∂П , и то, что потенциальная энергия П системы зависит толь-

¶qi

ко от обобщенных координат q1, q2,…, qs, но не зависит от обобщен-

или

160