Ushkac_Mehanika

(рис. 1.22) масидорівнюютьm1 = 1 кг, m2 = 2 кг, m3 = 5 кг. Знайтиприско-

62 Розділ1. МЕХАНІКА

реннятілісилинатягуниток. Блокивважатибезінерційними. Коефіцієнт тертя 0,1.

Робота сили. Закони збереження

82.Кранрівномірнозішвидкістю1 м/спіднімаєвантажмасою700 кг. Яку роботу виконує кран за кожні 5 с підйому? Тертям знехтувати.

83.Кранрівномірнозішвидкістю1 м/спіднімаєвантажмасою700 кг. Яку роботу виконує кран на кожних 5 м підйому? Тертям знехтувати.

84.Яку роботу здійснює кран, піднімаючи вантаж масою 500 кг із прискоренням 0,3 м/с2 на висоту 20 м?

85.Яку роботу здійснює кран, піднімаючи вантаж масою 500 кг із прискоренням 0,3 м/с2 заперші 5 спідйому?

86.Знайдітьроботудвигуналіфта, якувінздійснюєприрівномірному підйомі на висоту 10 м. Маса ліфта 300 кг. Під час руху на ліфт діє сила тертя 200 Н.

87.Кран піднімає вантаж масою 600 кг на висоту 10 м зі сталим прискоренням 0,2 м/с2. Під час підйому на вантаж і трос, до якого він підвішений, дієсилатертя400 Н. Якуроботу виконує кран?

88.Кран піднімає вантаж масою 600 кг зі сталим прискоренням 0,2 м/с2. Під час підйому на вантаж і трос, до якого він підвішений, діє сила тертя 400 Н. Яку роботу виконує кран за першу, другу і третю секундипідйомуокремо?

89.Ліфт масою 400 кг піднімається вгору протягом 10 с, причому 1-усвінрухаєтьсязприскоренням0,5 м/с2, аостанню– гальмуєзтаким жеприскоренням(увесьчас, щозалишився, ліфтрухаєтьсярівномірно). Знайдіть повну роботу, яку здійснив двигун ліфта, якщо під час усього підйому на ліфт діяла сила тертя 300 Н.

90.Перші 5 с кран піднімає вантаж масою 500 кг із прискоренням 0,2 м/с2, а потім ще 5 с гальмує з таким же за модулем прискоренням.

Ускількиразівроботакранавперші5 сбільшевідйогороботивостанні 5 с? Під час усього підйому на трос із вантажем діє сила тертя 300 Н.

91.Автомобільмасою700 кгпочинаєрухатисязприскоренням1 м/с2. Під час руху коефіцієнт тертя 0,05. Знайти роботу, яку здійснив двигун автомобіля в перші 10 с прискорення.

92.Автомобільмасою700 кгпочинаєрухатисязприскоренням1 м/с2. Під час руху коефіцієнт тертя 0,05. Знайти роботу, яку здійснив двигун автомобіля на перших 100 м шляху.

93.Автомобіль масою 700 кг гальмує з прискоренням 2 м/с2 і повністюзупиняєтьсячерез10 спісляпочаткугальмування. Знайтироботу сил тертя під час гальмування і відповідний коефіцієнт тертя.

94.Автомобіль масою 700 кг гальмує з прискоренням 2 м/с2 і повністюзупиняєтьсячерез60 мпісляпочаткугальмування. Знайтироботу сил тертя під час гальмування і відповідний коефіцієнт тертя.

95.Підчасгальмуванняавтомобілямасою600 кгвиділилося20 кДж теплоти. Знайти початкову швидкість автомобіля.

96.Знайдітькількістьтеплоти, виділенупідчасгальмуванняавтомобіля масою 600 кг, який рухається з початковою швидкістю 100 км/год.

97.Гальмівний шлях автомобіля масою 500 кг складає 50 м. При гальмуваннівиділилося20 кДжтеплоти. Знайтикоефіцієнттертяпідчас гальмування.

98.Автомобіль гальмує від швидкості 50 км/год до повної зупинки. Коефіцієнт тертя 0,2. Гальмівний шлях 40 м. Знайти масу автомобіля.

99.Тіло масою 1 кг, вільно рухаючись із деякою початковою швидкістюпогоризонтальнійплощині, зупиняєтьсячерез3 сіпроходитьшлях 5 м. Знайти роботу сил тертя і коефіцієнт тертя тіла із цією поверхнею.

100.Знайдітьроботу, яку здійснюєдвигунавтомобілямасою600 кг, коли він проходить шлях 100 м із прискоренням 0,6 м/с2, якщо дорога утворює кут 20° із горизонтом. Коефіцієнт тертя 0,02. Автомобіль рухається вгору.

101.Яку роботу здійснюють сили тертя на кожні 100 м шляху при гальмуванніавтомобілямасою800 кг. Пригальмуванніавтомобільрівномірнорухаєтьсявнизподорозі, нахиленійпідкутом35° догоризонту?

102.Яку роботу здійснюють сили тертя, коли тіло масою 1 кг проходить шлях 1 м, зісковзуючи з площини, нахиленої під кутом 40° до горизонту, якщокоефіцієнттертя0,15?

103.Тіло масою 2 кг із початковою швидкістю 5 м/с рухається за інерцієювгорудозупинкипоплощині, щоутворюєкут45° ізгоризонтом. Знайти роботу сил тертя, якщо коефіцієнт тертя 0,2.

104.Тіло масою 1 кг за 3 с зісковзнуло з площини довжиною 1,8 м, яканахиленапідкутом30° догоризонту. Знайтироботусилтертяікінцеву швидкість тіла.

105.Тіломасою2 кг, рухаючисьзаінерцієюдоповноїзупинки, за5 с пройшло шлях 1,25 м уздовж похилої площини, що утворює кут 35° із горизонтом. Знайдіть роботу сил тертя і початкову швидкість тіла.

106.Тіломасою1 кгрівномірнозісковзує зплощини, нахиленої під кутом 20° до горизонту. Яку роботу здійснюють сили тертя на кожному метрішляху, пройденоготілом?

107.Тіломасою10 кгпочинаютьпідніматипоплощині, якаутворює кут30° догоризонту, зприскоренням0,2 м/с2. Знайдітьроботу, якавиконується протягомперших10 спідйому. Коефіцієнт тертя0,2.

108.Автомобільпочинаєрухатисявгоруподорозі, щоутворюєкут 35° ізповерхнеюгоризонту, зприскоренням0,5 м/с2. Ускількиразівробота, здійснена двигуном автомобіля протягом 2-ї с руху, більше від роботи, здійсненої за 1-у с руху? Тертям знехтувати.

109.Автомобільпочинаєрухатисявгоруподорозі, щоутворюєкут 35° ізповерхнеюгоризонту, зприскоренням0,5 м/с2. Ускількиразівробота, здійснена двигуном автомобіля протягом 2-ї с руху, більше від роботи, здійсненої за1-ус? Коефіцієнт тертя0,07.

110.Знайдітьроботу, яку здійснюєавтомобільмасою500 кгнакожних100 мшляху, коливінрухаєтьсярівномірновгоруподорозі, нахиленій під кутом 25° до горизонту. Тертям знехтувати.

111.Знайдіть роботу, яку здійснює автомобіль масою 500 кг на кожних100 мшляху, коливінрухаєтьсярівномірновгоруподорозі, нахиленій підкутом25° догоризонту. Коефіцієнт тертя0,07.

112.Робота, яку здійснюєавтомобіль масою500 кгнакожних 100 м шляху, коливінрухаєтьсярівномірновгоруподорозі, нахиленійпідпевним кутом до горизонту, дорівнює 100 кДж. Знайти кут нахилу дороги. Тертям знехтувати.

113.Робота, яку здійснюєавтомобіль масою500 кгнакожних 100 м шляху, коливінрухаєтьсярівномірновгоруподорозі, нахиленійпідпевним кутом до горизонту, дорівнює 100 кДж. Знайти кут нахилу дороги. Коефіцієнттертя0,07.

114.Тіломасою10 кгпочинаютьпідніматипоплощині, якаутворює кут 30° до горизонту, з прискоренням 0,2 м/с2. Робота, яка виконується

на кожних 10 м шляху, складає 700 Н. Знайдіть коефіцієнт тертя тіла

зповерхнею.

115.Зенітний снаряд масою 0,5 кг, рухаючись зі швидкістю 500 м/с, у верхній точці траєкторії розривається на два уламки, один з яких масою0,15 кгпродовжуєрухатисьутомужнапрямку, щойснаряд, зішвидкістю 800 м/с. Знайти швидкість 2-го уламка.

116.Зенітний снаряд масою 0,5 кг, рухаючись зішвидкістю 500 м/с, у верхній точці траєкторії розривається на два уламки, один з яких масою 0,15 кг починає рухатись у протилежному напрямку зі швидкістю 800 м/с. Знайти швидкість 2-го уламка.

117.Гармата на залізничній платформі, рухаючись за інерцією зі швидкістю 20 км/год, вистрілюєвнапрямку руху під кутом30° догоризонту снаряд масою 20 кг зі швидкістю 700 м/с (відносно гармати). Знайдіть швидкість платформи з гарматою після пострілу, якщо їх загальна маса 15 т.

118.Гармата на залізничній платформі, рухаючись за інерцією зі швидкістю20 км/год, вистрілюєвнапрямку, протилежномуруху, підкутом30° догоризонтуснарядмасою20 кгзішвидкістю700 м/с(відносно гармати). Знайдітьшвидкістьплатформизгарматоюпісляпострілу, якщо їх загальна маса 15 т.

119.Гармата на залізничній платформі, рухаючись за інерцією зі швидкістю 15 км/год, вистрілює внапрямку руху під кутом45° догоризонту снаряд масою 15 кг. Знайдіть швидкість снаряда відносно гармати, якщошвидкістьплатформизгарматоюпісляпострілу13 км/год, аїх загальна маса 10 т.

120.Гармата на залізничній платформі, рухаючись за інерцією зі швидкістю15 км/год, вистрілюєвнапрямку, протилежномуруху, підкутом 45° до горизонту снаряд масою 15 кг. Знайдіть швидкість снаряда відносногармати, якщошвидкістьплатформизгарматоюпісляпострілу 13 км/год, а їх загальна маса 10 т.

121.Гармата на залізничній платформі, рухаючись за інерцією зі швидкістю10 км/год, вистрілюєвнапрямку, протилежномуруху, одинза одним два снаряди масою 20 кг зі швидкістю 900 м/с (відносно гармати). Знайдіть швидкість платформи після пострілів, якщо загальна маса гармати, платформи і снарядів була 10 т.

122.Гармата на залізничній платформі, рухаючись за інерцією зі

швидкістю10 км/год, вистрілюєвнапрямкурухуодинзаоднимдваснаряди масою 20 кг зі швидкістю 900 м/с (відносно гармати). Знайдіть швидкістьплатформипісляпострілів, якщозагальнамасагармати, платформи і снарядів була 10 т.

123.На платформу масою 1 кг, що котиться за інерцією зі швидкістю 3 м/с, зверху падає тіло масою 0,5 кг і залишається на платформі. Знайти швидкість платформи разом з тілом.

124.Платформа масою 1 кг, що котилася за інерцією зі швидкістю 3 м/с, зіткнуласязтакоюжплатформою, щопокоїлася. Знайтишвидкість платформпіслязіткнення, якщовоноабсолютнонепружне.

125.Платформа масою 1 кг, що котилася за інерцією зі швидкістю 3 м/с, зіткнуласязтакоюжплатформою, щорухаласяназустрічзішвидкістю 1 м/с. Знайти швидкість платформ після зіткнення, якщо воно абсолютнонепружне.

126.Платформа масою 1 кг, що котилася за інерцією зі швидкістю 3 м/с, наздогнала і зіткнулася з такою ж платформою, що рухалася зі швидкістю1 м/с. Знайтишвидкістьплатформпіслязіткнення, якщовоно абсолютнонепружне.

127.Платформа масою 1 кг, що котилася за інерцією зі швидкістю 3 м/с, зіткнуласязтакоюжплатформою, щопокоїлася. Знайтишвидкість платформпіслязіткнення, якщовоноабсолютнопружне.

128.З платформи масою 100 кг зіскакує людина зі швидкістю 3 м/с відносно платформи. Знайти швидкість платформи після цього для випадку, коли людина зіскакує у напрямку руху, якщо разом з людиною її швидкість була 1 м/с, а маса людини 70 кг.

129.З платформи масою 100 кг зіскакує людина зі швидкістю 3 м/с відносно платформи. Знайти швидкість платформи після цього для випадку, колилюдиназіскакує у напрямку протируху, якщоразомзлюдиною її швидкість була 1 м/с, а маса людини 70 кг.

130.Куля масою 10 г падає з висоти 3 м на металеву плиту і відскакує від неї на висоту 2 м. Яка кількість теплоти виділилася при ударі (опоромповітрязнехтувати)?

131.Куля масою 10 г падає з висоти 3 м на металеву плиту і відскакує від неї. На яку висоту підніметься куля, якщо відомо, що 20 % механічноїенергіїприударіперетворилосянатеплоту?

132.Куля масою 10 г падає на металеву плиту і відскакує від неї на

висоту 1 м. З якої висоти падала куля, якщо відомо, що 20 % механічної енергіїприударіперетворилосянатеплоту?

133.Тіло масою 1 кг, падаючи з висоти 10 м, має швидкість 13 м/с. Знайдіть середню силу опору повітря, що діяла на тіло під час падіння.

134.Тіло масою 1 кг, падаючи з висоти 10 м, має швидкість 13 м/с. Знайдіть кількість теплоти, що отримало повітря під час падіння тіла.

135.Тіломасою1 кг, зісковзуючизплощинидовжиною2 м, нахиленоїпідкутом30° догоризонту, маєнаприкінцішвидкість3 м/с. Знайдіть силуопору, щодіяланатіло.

136*. Платформа масою 1 кг, що котилася за інерцією зі швидкістю 3 м/с, зіткнуласязтакоюжплатформою, щорухаласяназустрічзішвидкістю 1 м/с. Знайти швидкість платформ після зіткнення, якщо воно абсолютнопружне.

137*. Платформа масою 1 кг, що котилася за інерцією зі швидкістю 3 м/с, наздогнала і зіткнулася з такою ж платформою, що рухалася зі швидкістю1 м/с. Знайтишвидкістьплатформпіслязіткнення, якщовоно абсолютнопружне.

138*. У космічний корабель масою 4 т, що рухався зі швидкістю 5 км/с, улучає і залишається в ньому метеорит масою 40 кг, який рухався перпендикулярно траєкторії корабля зі швидкістю 50 км/с. Знайдіть швидкість корабля з метеоритом після зіткнення.

139*. З гармати масою 1 т вилітає снаряд масою 10 кг зі швидкістю700 м/с. Якакількістьтеплотиприпострілігармативитрачаєтьсяна механічну роботу (враховувати віддачу гармати)?

140*. Кулюмасою0,2 кг, підвішенунанитцідовжиною0,5 м, відвели від положення рівноваги на кут 90° і відпустили. Знайти силу натягу ниткипідчаспроходженнякулеюположеннярівноваги.

141*. Знайдіть масу балістичного маятника, якщо при влучанні

вньогокулімасою10 гзішвидкістю800 м/свінвідхиливсяна30°. Довжина підвісу 1 м.

142*. Знайдіть масу кулі, що влучила зі швидкістю 800 м/с у балістичниймаятникмасою10 кг, якщовінвідхиливсяна30°. Довжинапідвісу

1 м.

143*. Знайдіть швидкість кулі масою 10 г, що влучила у балістичниймаятникмасою10 кг, якщовінвідхиливсяна30°. Довжинапідвісу1 м.

144*. Знайдітьдовжинупідвісубалістичногомаятникамасою10 кг,

якщо при влучанні в нього кулі масою 10 г зі швидкістю 800 м/с він відхиливсяна30°.

145*. З якою швидкістю повинна рухатися кулька масою 10 г, для тогощобприпопаданнівбалістичниймаятникмасою1 кгнаневагомомупідосідовжиною1 мзмуситийогозробитиповнеколонавколоточки підвісу.

146*. Атом розпадається на дві частинки масами 10–25 та 3 10–25 кг. Визначити кінетичні енергії частинок атому, якщо їх сукупна кінетична енергія 32 10–12 Дж. Кінетичною енергією та імпульсоматому до розпаду знехтувати.

147*. Яку частину своєї кінетичної енергії віддасть частинка масою 2 10–25 кг під час прямого пружного удару з іншою частинкою масою 6 10–25 кг, яка до зіткнення була нерухома.

148*. Куля масою 200 г, рухаючись зі швидкістю 10 м/с, ударяє в нерухому кулю масою 800 кг. Удар прямий, абсолютно пружний. Визначитишвидкостікульпісляудару.

149*. Частинка масою 10–27 кг має кінетичну енергію 9 10–12 Дж. Урезультатіпружногозіткненнязнерухомоючастинкоюмасою4 10–27 кг вонавіддаєїйкінетичнуенергію5 10–12 Дж. Визначитикут, наякийвідхилиться перша частинка від початкового напрямку руху.

150*. Частинка масою 10–25 кг має імпульс 5 10–20 кг м/с. Визначити, який імпульс буде мати частинка після прямого пружного зіткнення зіншоюнерухомоючастинкою вдвічібільшоїмаси.

1.3. Механіка твердого тіла

Момент інерції

Моментом інерції матеріальної точки відносно певної осі називають добуток маси цієї точки на квадрат відстані від осі:

J = mr2.

МоментомінерціїсистемиN матеріальнихточоквідноснопевноїосі називають суму добутків мас точок системи на квадрати їх відстаней доданоїосі:

J= ∑miri2.

i=1N

Для суцільного тіла густиною ρ ця сума зводиться до інтеграла по всьому його об'єму:

J = ∫r2dm = ∫ρr2dV.

m V

Моментінерціїзалежитьнетількивідформитілаірозподілумасуньому, але й від того, відносно якої саме осі він знаходиться.

Головний момент інерції – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас системи (тіла).

Моменти інерції однорідних тіл масою m правильної геометричної форми наведені у табл. 1.

Таблиця 1

70 Розділ1. МЕХАНІКА

Продовж. табл. 1.

Коливідомийголовниймоментінерціїтіла, томоментінерціївіднос- нобудь-якоїіншоїпаралельноїосівизначаєтьсязатеоремоюШтейне-

ра: момент інерції тіла J відносно довільної осі z дорівнює сумі моменту його інерції JС відносно паралельної осі, що проходить через центр мас С тіла, і добутку маси m тіла на квадрат відстані d між осями:

J z = JC + md 2.

Наприклад, момент інерції прямого тонкого стрижня довжиною l відносноосі, якаперпендикулярнастрижнюіпроходитьчерезйогокінець (ця вісь знаходиться на відстані l/2 від осі, що проходить через центр стрижня):