Ushkac_Mehanika

Види поступального руху

1.arτ = 0, arn = 0 – прямолінійнийрівномірнийрух: ar = 0.

2.aτ = a = const, arn = 0 – прямолінійнийрівнозмінний(рівноприскоренийаборівносповільнений) рух. Якщоt0 = 0, то

Кінематика обертального руху

Зміну положення тіла у просторі за час ∆t при обертанні задають r

вектором кутового переміщення ∆ϕ, модуль якого дорівнює куту повороту (в радіанах), а напрям співпадає з напрямом поступального руху вздовж осі обертання правого гвинта (рис. 1.4). За елементарний проміжок часу dt тіло здійснює нескінченно мале кутове переміщення dϕr.

Рис. 1.4. Зміну кутової швидкості із часом характери- r зує кутовеприскорення. Векторкутовогоприскорення ε є похідною від вектора кутової швидкості (другою похідною

кута повороту) за часом:

Якщовісьобертаннянерухома, товектор εr направленийrуздовжосі обертанняr в сторону вектора приросту кутової швидкості ( ε спрямований, як ω приприскореномуобертанні, йпротилежно– присповільненому). Прицьомуйогомодульдорівнюєпохіднійвідмодулякутовоїшвидкості

Одиницікутовоїшвидкостітакутовогоприскорення– рад/сірад/с2 відповідно.

Якщо відома залежність кутового прискорення із часом, то можна знайтиприрісткутовоїшвидкостітілазабудь-якийпроміжокчасу∆t (від t1 до t2):

t2

∆ω = ∫ε(t) dt.

t1

Інтегралкутовоїшвидкостівінтервалічасу∆t визначаєкут, наякий повернеться тіло за цей час:

t2

∆ϕ = ∫ω(t) dt.

t1

При рівномірному обертанні ω = ddtϕ = const , тобто ϕ = ωt.

Рівномірнеобертанняможнахарактеризуватитакожперіодомобертання Т – часом, за який точка здійснює один повний оберт:

T = 2ωπ .

Частотаобертанняν – числообертів, щоздійснюютьсятіломводиницючасу:

ν = T1 = 2ωπ .

Одиниця частоти обертання – герц (Гц).

Прирівноприскореному обертальному русі ε = const

ω= ω0 + εt ;

ϕ= ω0t + εt2 . 2

Зв'язок лінійних і кутових характеристик руху r

Коли тіло здійснює кутове переміщення ∆ϕ, будь-яка його точка на відстаніR відосіобертанняпройдепосвоїйтраєкторії(колу) шлях(див.

рис. 1.4)

∆s = R ∆ϕ .

Миттєва лінійна швидкість точки теж пов'язана з кутовою швидкістюірадіусомтраєкторіїспіввідношенням

Якщо тіло обертається з кутовим прискоренням εr, то кожна його точка на відстані R від осі обертання рухається з тангенціальним прискоренням

aτ = εR,

або у векторному вигляді

arτ = [εr× Rr].

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Точка рухається по прямій лінії згідно з рівнянням x = = 6t – t3/8 (х вимірюється в метрах, t – y секундах). Визначити середній модуль швидкості руху точки в інтервалі часу від t1 = 2 с до t2 = 6 c.

Прискорення визначається як похідна від миттєвої швидкості за незалежноюзмінноюt:

a = dVdt = − 68 t = − 34 t.

Рухточкисповільнений, модульприскоренняізчасомзростає. Сила, яканадаєточціприскорення, направленапротилежноруху.

Визначимошвидкістьточкивкінці2 і6-їс:

V2 = 6 − 83 t22 = 6 − 83 22 = 4,5 м/с;

V6 = 6 − 83 t62 = 6 − 83 62 = −7,5 м/с.

Треба з'ясувати, в який момент часу t' миттєва швидкість змінює знак (+) на (–):

V ′ = 6 − 83 t′2 = 0; t′ = 16 = 4 с.

У момент часу t' = t4 = 4 с сила зупинить точку, потім точка почне рухатися в протилежному напрямку. Прискорення не змінює напряму і гальмівна сила діє в тому ж напрямі:

∆x = ∆x42 + x64 ;

[V ]= [[∆x]] м/с.

∆t

Відповідь: модуль середньої швидкості дорівнює 3 м/с.

Приклад 2. Радіус-векторr матеріальної точки визначається за виразом rr = 3t 2ir + 4t 2 rj + 7k м. Знайтишвидкість V іприскоренняa точки; модульшвидкостівмоментt1 = 2с; шляхS, пройденийпротягомперших 10 с руху; модуль переміщення ∆r за цей же час. Проаналізувати знайдений результат.

Аналіз і розв'язок

дикулярнійосіz). Крімтого, координатиточкиупочатковиймоментчасу

(t = 0)

x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 7.

Визначимо миттєву швидкість як похідну від вектора rr за часом. Вонанаправленаупросторіподотичнійдотраєкторіївбікруху:

У початковий момент часу точка не рухалася – Vx (0) = Vy (0) =

= Vz (0) = 0.

Миттєвеприскореннявизначимоякпершупохіднувідвекторамиттєвоїшвидкості:

Вектор миттєвого прискорення ar = axir+ ay rj + az kr має координати

ax = dVdtx = 6; ay = dVdty = 8; az = dVdtz = 0.

Прискорення ar не залежить від часу, звідси робимо висновок, що рух – рівноприскорений. Оскільки рух відбувається зі стану спокою зпостійнимвекторомприскорення, тотраєкторіяповиннабутипрямою. Модульприскоренняобчислимозавідомоюформулою

a = ax2 + a2y + az2 = 62 + 82 = 10 м/с2.

Отже, колесо обертається з постійним кутовим прискоренням. Від'ємнезначенняговоритьпроте, щообертаннясповільненеівекторкутовогоприскореннянаправленийпротивекторакутовоїшвидкості

(рис. 1.8).

Модульлінійногоприскореннявпочатковиймоментчасу a = aτ2 + an2 = R ε2 + (ω(0))4 = 3,225 м/с2.

ДлятогощобвизначитикількістьобертівколесаN' дозупинки, спочаткузнайдемомоментчасуt', коливонозупинилося, тобтоколикутова швидкістьсталадорівнюватинулю:

ω′ = 4 − 2t′ = 0,

звідки

t' = 2 с.

Кут, на який обернеться колесо за час від 0 до t':

Число обертів, що зробить колесо:

N ′ = ϕ′ = 4t′ − t′2 = 0,64. 2π 2π

Шлях, який пройде точка на ободі колеса, теж пов'язаний з кутом повороту:

S′ = ϕ′R = (4t′ − t′2 )R = 0,8 м.

Відповідь: Колесо обертається рівносповільнено з кутовим прискоренням 2 с–2. Лінійне прискорення точки на ободі колеса в початковий моментчасускладало3,225 м/с2. Доповноїзупинкиколесозробило0,64 оберти, а точка на ободі пройшла шлях 0,8 м.