Ushkac_Mehanika

139*. Людина, яка стояла в центрі горизонтальної платформи масою 120 кг, що обертається за інерцією навколо нерухомої вертикальної осі, переходитьдоїїкраю, післячогочастотаобертанняплатформизменшиласявдвічі. Вважаючиплатформукруглимодноріднимдиском, алюдину – матеріальною точкою, визначити масу людини.

140*. Горизонтальна платформа радіусом 1 м та масою 120 кг обертаєтьсязаінерцієюнавколонерухомоївертикальноїосіізчастотою10 хв–1. Людинамасою60 кг, якастоїтьнаїїкраю, переходитьдоцентра, здійснюючироботув60 Дж. Вважаючиплатформукруглимодноріднимдиском, а людину – матеріальною точкою, визначити масу людини.

141*. Горизонтальна платформа масою 100 кг обертається навколо вертикальноїосі, щопроходитьчерезїїцентр, роблячи10 об/хв. Людина масою 60 кг стоїть при цьому на краю платформи. Яку роботу здійснює людинаприпереходівідкраюплатформидоїїцентра? Радіусплатформи

1,5 м.

142*. Людина, яка стоїть на лаві Жуковського, тримає в руках стрижень довжиною 2,5 м і масою 8 кг, розташований вертикально вздовж осі обертання лави. Ця система (лава та людина) має момент інерції 10 кг м2 і обертається із частотою 12 хв–1. Визначити частоту обертання системи, якщостриженьповернутивгоризонтальнеположення.

143*. Людина стоїть у центрі лави Жуковського і разом з нею обертається за інерцією. Частота обертання n1 = 0,5 с–1. Момент інерції людинивідносноосіобертаннядорівнює1,6 кг м2. Увитягнутихусторони руках людина тримає гирі масою 2 кг кожна. Відстань між гирями l1 = = 1,6 м. Визначити частоту обертання n2 лави з людиною, коли вона опустить руки і відстань l2 між гирями стане 0,4 м. Моментом інерції лавизневажити.

144*. НанерухомійлавіЖуковськогосидитьлюдинаітримаєвруці велосипедне колесо, яке обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю ω0 = 15 с–1. Вісь колеса розташована вертикально і збігається з віссю лави. З якою швидкістю почне обертатися лава, якщо повернути колесонавкологоризонтальноїосіна180°? Моментінерціїлюдиниілави дорівнює3 кг м2, моментінерціїколесавідносносвоєїосіІ0 = 0,5 кг м2.

145*. На лаві Жуковського сидить людина і тримає на витягнутих рукахгиріпо10 кгкожна. Відстаньвідкожноїгирідоосіобертаннялави дорівнює75 см. Лаваобертається, роблячи1 об/с. Якуроботуздійснить людина, якщо вона стисне руки так, що відстань від кожної гирі до осі

зменшиться до 20 см, а платформа почне обертатися із частотою 4,2 об/с? Момент інерції людини та лави разом відносно осі обертання дорівнює

2,5 кг м2.

146*. Горизонтальна платформа масою 25 кг і радіусом 0,8 м обертається із частотою 18 хв–1. У центрі стоїть людина й тримає у розведених руках гирі. Вважаючи платформу диском, визначити частоту обертанняплатформи, якщолюдина, опустившируки, зменшитьсвіймомент інерції від І1 = 3,5 кг м2 до І2 = 1 кг м2.

147*. Горизонтальна платформа масою 80 кг і радіусом 1 м обертається з кутовою швидкістю, що відповідає частоті 20 об/хв. У центрі платформи стоїть людина й тримає в розведених руках гирі. У скільки разівзбільшитьсякінетичнаенергіяплатформизлюдиною, якщолюдина, опустивши руки, зменшить свій момент інерції з 2,94 до 0,98 кг м2? Вважати платформу однорідним диском.

148*. На циліндр намотано тонку гнучку нерозтяжну стрічку, масоюякоївпорівняннізмасоюциліндраможназневажити. Вільнийкінець стрічкиприкріпилидокронштейнайнадалициліндруможливістьопускатисяпіддієюсиливаги. Визначитилінійнеприскоренняаосіциліндра, якщовінпорожнистийітонкостінний.

149*. На циліндр намотано тонку гнучку нерозтяжну стрічку, масоюякоївпорівняннізмасоюциліндраможназневажити. Вільнийкінець стрічкиприкріпилидокронштейнаінадалициліндруможливістьопускатися під дією сили ваги. Визначити лінійне прискорення а осі циліндра, якщовінєсуцільним.

150*. Насуцільнукулюнамотанонитку, вільнийкінецьякоїприкріпленодостелі. Кулявільнозмотуєтьсязниткипіддієювласноїваги. Знайти прискореннякулі, якщомасоюітовщиноюниткиможназневажити; початкова довжина нитки набагато більша за радіус кулі.

Розділ 2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

2.1. Молекулярно-кінетична теорія ідеальних газів

Статистичний і термодинамічний методи дослідження

Молекулярнафізикаітермодинаміка– розділифізики, вякихрозглядаються залежності агрегатних станів та властивостей тіл від їх будови, взаємодії між частинками, з яких складаються тіла, й характеру руху частинок.

Длядослідженняфізичнихвластивостеймакроскопічнихсистем, які налічують велику кількість атомів та молекул, застосовують два якісно різнихметоди, щовзаємнодоповнюютьодинодного: статистичний(або молекулярно-кінетичний) ітермодинамічний.

Статистичний метод – це метод дослідження систем з великої кількості частинок, в якому використовуються статистичні залежності й середні (усереднені) значення фізичних величин, що характеризують усю систему. Цей метод лежить в основі молекулярної фізики – розділу фізики, щодосліджує будову тавластивостіречовини, виходячизмоле- кулярно-кінетичних уявлень про те, що всі тіла складаються з атомів, молекул або іонів, які знаходяться в безперервному хаотичному русі. Властивостімакроскопічнихсистемобумовленінелишеіндивідуальнимивластивостямисамихчастинок, айособливостямиїхсукупнихрухів та середніми значеннями динамічних характеристик частинок.

Термодинамічний метод – це метод дослідження систем з великої кількостічастинок, вякомувикористовуютьсявеличини, щохарактеризують систему в цілому (тиск, об'єм, температура) при різних перетворенняхенергії, яківідбуваютьсявсистемі, невраховуючиприцьомувнутрішньої будови досліджуваних тіл і характеру руху окремих частинок. Цейметодлежитьвосновітермодинаміки– розділуфізики, якийдосліджуєзагальніякостімакроскопічнихсистем, щознаходятьсяустанітермодинамічноїрівноваги, іпроцесипереходуміжцимистанами.

Термодинамічна система

Термодинамічнасистема– сукупністьмакроскопічнихтіл, яківзаємодіють і обмінюються енергією як між собою, так і з іншими тілами (зовнішнім середовищем). Термодинамічні системи, які не обмінюютьсяіззовнішнімсередовищемречовиною, називаютьсязамкненими. Тер-

модинамічнісистеминазиваютьсяізольованими, якщовонинеобмінюютьсяіззовнішнімсередовищемніенергією, ніречовиною.

Термодинамічні параметри – фізичні величини, якіхарактеризують стан термодинамічної системи: температура, тиск, об'єм та ін.

Якщодляданоїсистемизовнішніумовитаїїстанізчасомнезмінюються, то ця система знаходиться в термодинамічній рівновазі. Параметри стану системи можуть змінюватися. Будь-яка зміна в термодинамічнійсистемі, пов'язаназізміноюхочабодногозїїтермодинамічних параметрів, називається термодинамічним процесом. Такий процес називається рівноважним, якщо система в ньому проходить неперервний ряднескінченноблизькихтермодинамічнорівноважнихстанів.

Температурасистеми, щознаходитьсяврівноважномустані, ємірою інтенсивностітепловогорухуатомів, молекултаіншихчастинок, якіутворюють цю систему. Температура – фізична величина, яка характеризує стан термодинамічної рівноваги макроскопічної системи і визначає напрямтеплообмінуміжтілами.

Для вимірювання температури застосовуються температурні шкали, яківстановлюютьсязадопомогоютермометричнихтіл. Міжнародна практична шкала (шкала Цельсія) градуйована в градусах Цельсія (°С) за двома реперними точками – температурами кристалізації та кипіння водипритиску1,013 105 Па, якіприймаютьсявідповідноза0 і100 °С.

Термодинамічна температурна шкала (шкала Кельвіна), градуйована в градусах Кельвіна (К), визначається за однією реперною точкою – потрійною точкою води – температурою, при якій лід, вода і насичена пара при тиску 609 Па знаходяться в термодинамічній рівновазі. Температурацієїточкизаданоюшкалоюдорівнює273,15 К. ТемператураТ= 0 К називається абсолютним нулем температури.

Термодинамічна температура (Т) і температура (t) за Міжнародною практичноюшкалоюпов'язаніспіввідношеннямТ= 273,15 + t.

Нормальніфізичніумовизадаютьсянаступнимчином: Т0 = 273,15 К,

р0 = 101325 Па.

Ідеальний газ

Ідеальний газ – це фізична модель, що є найпростішим об'єктом, для якого в термодинаміці може бути розглянуте термічне рівняння стану. Приформулюваннімоделі"ідеальнийгаз" приймаютьнаступніприпущення:

1) власним об'ємом молекул газу можна знехтувати відносно об'є- мупосудини;

2)сили взаємодії між молекулами газу відсутні;

3)зіткнення молекул газу між собою і зі стінками посудини абсолютнопружні.

Виходячи із цього, ідеальний газ можна розглядати як сукупність молекул-кульок, які хаотично рухаються і не взаємодіють одна з одною на відстані та об'ємом яких можна знехтувати.

Законами, які описують поведінку ідеальних газів, є закони Бойля– Маріотта, Авогадро, Дальтона, Гей-Люссака.

Закон Бойля–Маріотта

Для даної маси газу m при постійній температурі Т добуток тиску р на об'єм V є сталою величиною:

pV = const при T = const і m = const.

Крива, яка відображає залежність між р і V та характеризує якості речовиниприпостійнійтемпературі, називаєтьсяізотермою. Ізотерми– гіперболи, якірозташованінаграфікутимвище, чимвищетемпература даногопроцесу.

Закон Авогадро

Кількість речовини ν – фізична величина, що визначається числом специфічних структурних елементів – молекул, атомів чи іонів, з яких складається речовина.

Одиницякількостіречовини– моль(кількістьречовинисистеми, яка налічуєстількижструктурнихелементів, скількивміщуєтьсяв0,012 кг ізотопукарбону12С).

Водномумолірізнихречовинвміщуєтьсяоднеітежчисломолекул NА, яке називається числом Авогадро:

N A = 6,022 1023 моль–1.

Закон Авогадро формулюється так: молі будь-яких газів при однакових температурі й тиску займають однакові об'єми.

При нормальних умовах (Т = Т0, р = р0) цей об'єм (молярний об'єм)

Vµ = 22,41 10−3 м3/моль.

Молярна маса µ = mν – це маса одного моля речовини.

Одиниця молярної маси – кілограм на моль (кг/моль).

Закон Дальтона

Парціальнийтиск– тиск, якийутворювавбигаз, якийвходитьусклад газовоїсуміші, якщобвінодинзаймавоб'єм, щодорівнюєоб'ємусуміші при тій же температурі.

Закон Дальтона формулюється наступним чином: тиск суміші ідеальнихгазівдорівнюєсуміпарціальнихтисківр1, р2, …, рn газів, яківнеї входять:

р = р1 + р2 + … + рn або p = ∑ pn.

n

Закон Гей-Люссака

1.Тискрданоїмасиm газуприпостійномуоб'ємізмінюєтьсялінійно

зтемпературою t:

р= р0 (1 + αt) при V = const; m = const.

2.Об'ємV даноїмасиm газуприпостійномутискузмінюєтьсялінійно

зтемпературою t:

V = V0 (1 + αt) при p = const; m = const,

де α = 1/273 К–1; V0 і p0 – відповідно об'єм і тиск при t = 0 °С. Процес, якийпротікаєприпостійномутиску, називаєтьсяізобарним.

На діаграмі в координатах (V, t) цей процес зображається прямою, яка називаєтьсяізобарою. Процес, якийпротікаєприпостійномуоб'ємі, називається ізохорним. На діаграмі в координатах (p, t) він зображається прямою, яка називається ізохорою.

Ізобари та ізохори перетинають вісь температури в точці t = –1/α = = – 273 °С. Якщо початок відліку змістити в цю точку, то отримаємо шкалу Кельвіна (термодинамічну температуру): T = t + 1/α.

У термодинамічній шкалі температур

V = V0 (1 + αt) = V0αT ; p = p0 (1 + αt) = p0αT.

де індекси 1 і 2 відносяться до довільних станів, які лежать на одній ізобарічиізохорі.

Рівняння стану ідеального газу

Рівняннямстанутермодинамічноїсистеминазиваєтьсярівняння, яке зв'язує тиск р, об'єм V і температуру Т термодинамічної системи, що знаходитьсявстанітермодинамічноїрівноваги:

f ( p, V , T ) = 0,

декожназізміннихєфункцієюдвохінших.

Припустимо, що деяка маса газу знаходиться в стані 1, при цьому її об'єм V1, тиск р1, температура Т1. Ця ж маса газу в іншому довільному стані характеризується параметрами р2, V2, Т2. Перехід зі стану 1 у стан 2 здійснюється послідовно ізотермічним (1–1') та ізохорним (1'–2) процесами (рис. 2.1).

ЗапишемодлявизначенихстаніврівняннязазаконамиБойля–Маріотта і Гей-Люссака:

Виключаючи p′ , отримаєморівняннястануідеальногогазу: дляда-

1

ної маси ідеального газу відношення добутку тиску та об'єму до термо-

98 Розділ2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

ступним чином: pV = RT, де константа R = 8,31 Дж/(моль К) – універсальна газова стала.

Длядовільноїмасиm газурівняннястануідеальногогазу(рівняння Клапейрона–Менделєєва) має вигляд

об'єму).

Такимчином, можназробитивисновки:

тискідеальногогазуприданійтемпературіпрямопропорційнийконцентраціїйогомолекул;

приоднаковихтемпературійтискувсігазиналічуютьводиниціоб'є- му однакове число молекул.

Кількість молекул, яка налічується в 1 м3 газу за нормальних умов, називається числом Лошмідта:

NL = p0 = 2,68 1025 м–3. kT0

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеальних газів

Припустимо, що в посудині об'ємом V знаходиться ідеальний газ масою m, який складається з N молекул масою m0, що рухаються з однаковими швидкостями v. За визначенням концентрація молекул у газі n = N/V.

Якщо при зіткненні зі стінками за час ∆t елементарній площадці ∆S стінки посудини передається імпульс ∆Р, то тиск газу, який він створює

При кожному зіткненні молекула, яка рухається перпендикулярно стінці, передає їй імпульс 2m0v. У середньому в напрямку до стінки рухається 1/6 частина всіх молекул. (Якщо розглянути три взаємно перпендикулярні осі, то в середньому тільки 1/3 молекул рухається вздовж однієїзосейітількиполовиназних– 1/6 – уздовжданогонапрямку.) За час ∆t площадки ∆S досягне 1/6n∆Sv∆t молекул і передадуть їй імпульс

∆P = 13 nm0v2∆S∆t .

Тиск, якийстворюєгазнастінку посудини, p = 13 nm0v2 .

Якщо газ об'ємом V уміщує N молекул, які рухаються зі швидкостями v1, v2, …, vN, то доцільно розглядати середню квадратичну швидкість, яка характеризує всю сукупність молекул газу та визначається як

Основнерівняннямолекулярно-кінетичноїтеоріїідеальнихгазівмає вигляд

p = 13 nm0 vкв 2.

Існують й інші варіанти запису цього рівняння з урахуванням співвідношень

де Е– сумарна кінетична енергія поступальногоруху всіхмолекул газу; V – молярний об'єм; – молярна маса.

Використовуючи рівняння Клапейрона–Менделєєва, отримаємо

100 Розділ2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

няється.

Молекулярно-кінетичнетлумаченнятемпературиформулюєтьсятак: термодинамічна температура – міра середньої кінетичної енергії поступальногорухумолекулгазу.

Закон Максвелла про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями

Угазі, щознаходитьсяустанірівновагиприданійтемпературі, встановлюєтьсядеякийстаціонарнийрозподілмолекулзашвидкостями, який не змінюється із часом. Цей розподіл описується функцією f (v), яка називається функцією розподілу молекул за швидкостями, що визначає відносне число молекул, швидкості яких лежать в інтервалі v...v + dv, тобто

dN(v) = f (v)dv. N

Закон Максвелла можна записати у вигляді

Якщо по осі абсцис відкласти швидкості v, а по осі ординат – функцію f (v), то для різних температур T1 < T2 < T3 криві розподілу молекул за швидкостями будуть мати вигляд, зображений на рис. 2.2.