Ushkac_Mehanika

взакріпленуплощадку, розташованупідкутом30° догоризонту. Знайти повнийчасрухутілаідальністьйогопольоту.

99*. На ідеально гладку похилу площину, що складає з горизонтом кут α, вільно падає абсолютно пружна кулька. Швидкість кульки в моментударудорівнюєV. Визначитивідстаньміжточкамипершоготадругогоударуприумові, щоплощина: а) знаходитьсявспокої; б) піднімається вертикально вгору зі швидкістю U; в) рухається в горизонтальному напрямкузішвидкістюU. Длявипадку(в) проаналізуйтезалежністьрезультату від кута α.

100*. З похилої площини, яка створює кут β з горизонтом, кидають тіло масою M зі швидкістю V0 під кутом α до похилої площини. Знайти відстаньL відточкикиданнядоточкипадіннятіла. Тілопадаєнапохилу площину.

101*. Абсолютно пружну кульку кинуто зі швидкістю V0 під кутом до горизонту. Кулька відбивається від абсолютно пружної вертикальної стіни, яка стоїть на відстані L від точки кидання кульки (рахуючи по горизонталі). На якій відстані від стіни впаде кулька після відбивання? При якій відстані від точки кидання до стіни кулька після відбивання повернеться в точку кидання?

102*. Камінь, кинутий горизонтально, впав на Землю через 0,5 с на відстані 5 м від місця кидання. Визначити: висоту, з якої кинуто камінь; початковуікінцевушвидкостірухукаменя; рівняннятраєкторіїруху; кут швидкості каменя з горизонтом через 0,2 с після початку руху і радіус кривизни траєкторії в цей момент. Опором повітря знехтувати.

103*. Рух тіла в горизонтальному та вертикальному напрямах визначаєтьсярівняннями: x = 25t м; y = (43t – 4,9t2) м. Визначити: рівняння траєкторіїрухутіла; повнеприскоренняішвидкістьупочатковиймомент часу; найбільшу висоту підняття тіла та дальність його польоту; радіус кривизнитраєкторіївточціпадінняівточцінайбільшогопідняття.

104*. М'яч вільно падає з висоти 120 м на горизонтальну площину. При кожному відскоку швидкість його зменшується вдвічі. Побудувати графік швидкості із часом і знайти пройдений м'ячем шлях від початку падіннядоповноїзупинки.

105*. З точки з координатами x0, y0 кинуто тіло під кутом a до горизонтузпочатковоюшвидкістюV0. Прицьомунатілодієпопутнийгоризонтальний вітер, який надає йому стале прискорення a. Знайти час польоту t, найбільшу висоту hmах та дальність польоту xmах.

Кутові характеристики руху при обертанні. Їх зв'язок з лінійними характеристиками

106.Махове колесо через 10 обертів після початку обертання досягло кутової швидкості 2 рад/с. Знайти кутове прискорення колеса.

107.Колесо, обертаючисьрівносповільнено, пригальмуванніза1,0 хв зменшило свою частоту обертання від 300 до 180 об/хв. Знайти кутове прискорення колеса і кількість обертів, яку воно зробило за цей час.

108.Вентилятор робить 900 об/хв. Після вимкнення вентилятор зупинивсячерез10 с. Знайтикутовеприскореннявентилятора, вважаючи, щодозупинкивінобертавсярівносповільнено.

109.Секундна стрілка годинника зробила 5 обертів. Знайти кут поворотуікутовушвидкістьстрілки.

110.Маховик мав початкову кутову швидкість ω0 = 2π с–1. Зробивши10 обертів, вінунаслідоктертявпідшипникахзупинився. Знайтикутове прискорення маховика, вважаючи його сталим.

111.З якою лінійною швидкістю обертається земля навколо Сонця, якщорадіусїїорбіти1,5 108 км?

112.Зякоюлінійноюшвидкістюрухаютьсяточкиекватораприобертанні Землі навколо своєї осі? Радіус Землі 6,37 103 км.

113.Тіло рівномірно рухається по колу радіусом 2,0 м, роблячи 120 об/хв. Знайти: а) частотуйперіодобертаннятіла; б) лінійнутакутовушвидкостіруху.

114.З якою кутовою швидкістю потрібно обертати барабан лебідки діаметром d = 20 см, щобрівномірно підняти тягарнависотуh = 60 мза час t = 2 хв?

115.Через блок радіусом R = 50 мм, який обертається навколо закріпленої горизонтальної осі, перекинута нерозтяжна нитка. Тягарі, що

прив'язані до кінців нитки, рухаються зі сталою швидкістю V = 20 см/с відносно один одного. Визначити кутову швидкість обертання блока ω. Нитка не ковзає по поверхні блока.

116.Камінь обертають на шнурку довжиною 0,5 м у вертикальній площині із частотою 3,0 об/с. На яку висоту злетить камінь, якщо шнурок обірветься в той момент, коли швидкість каменя буде направлена вертикальновгору?

117.Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Скільки обертів за1 сроблятьйогоколеса, якщовоникотятьсяпошосебезковзання, азовнішнійдіаметрпокришокколіс60 см? Визначититакождоцентровеприскореннязовнішньогошарупокришокйогоколіс.

118. Дляобчислення доцентрового прискоренняможнаскористати-

сявиразами: an = V 2 і an = ω2 R. Зпершоїрівностівипливає, щодоцент-

R

рове прискорення обернено пропорційно відстані рухомої точки до осі обертання, а з другої – залежність між прискоренням і радіусом обертання – пряма. У чому полягає уявне протиріччя?

119.Колесо турбіни радіусом R = 1 м приводять в обертання зі ста-

нуспокою, прицьомуза1 хвприрівноприскореномурусівономаєдосягнути кутової швидкості ω = 24 с–1. Визначити: а) кутове прискорення

вцей момент, число обертів, яке зробить колесо, лінійну швидкість точокободаколесаприційкутовійшвидкості; б) кутміжповнимлінійним прискореннямілінійноюшвидкістючерез10 спісляпочаткуруху.

120.Колесо радіусом 0,5 м котиться без проковзування по горизонтальній дорозі зі швидкістю 1,0 м/с. Визначити прискорення точок, які лежать на кінцях вертикального і горизонтального діаметрів відносно землі.

121.Автомобіль рухається прямолінійно зі сталою швидкістю V = = 20 м/с. Яке повне прискорення верхньої точки його колеса? Радіус колесадорівнює0,25 м.

122.Знайти кутову швидкість обертання Землі навколо своєї осі та лініїшвидкостіточокнаекваторійгеографічнійширотіϕ = 56°.

123.ЛітаклетитьзішвидкістюV0 = 360 км/год. Наякійгеографічній широті його екіпажу здаватиметься, що Сонце нерухомо стоїть на небі?

124.Махове колесо радіусом R = 1 м починає рухатися зі стану спо-

коютаобертаєтьсярівноприскорено. Черезt1 = 10 сточка, щолежитьна його ободі, має швидкість V1 = 100 м/с. Знайти швидкість, а також нормальне, дотичне і повне прискорення цієї точки в момент часу t2 = 15 с.

125.Диск радіусом R = 20 см починає обертатися з кутовим прискоренням ε = 3 с–2. Через який час точка, яка лежить на його краю, буде мати повне прискорення 75 см/с2?

126.Тіло починає рух зі стану спокою та обертається зі сталим кутовим прискоренням ε = 0,04 с–2. Через який час будь-яка точка тіла будематиповнеприскорення, спрямованепідкутом45° доїїшвидкості?

127.Диск починає рух без початкової швидкості й обертається рівноприскорено. Яким буде кут між вектором швидкості та вектором прискореннядовільноїточкидиска, коливінзробитьодиноберт?

128.Тіло починає обертатися зі сталим кутовим прискоренням β =

=0,04 c–2. Через який час після початку обертання повне прискорення буде спрямоване під кутом α = 76° до напрямку швидкості?

129.Тіло обертається рівносповільнено з початковою частотою ν0 =

=1200 об/хвізупиняється, зробившиN = 2100 обертів. Знайтивеличину кутового прискорення і час, протягом якого відбувалася зупинка тіла.

130.Колесо обертається зі сталим кутовим прискоренням 2 с–2. Через 0,5 с після початку руху повне прискорення точок на ободі колеса стало 13,6 см/с2. Знайти радіус колеса.

131.Колесообертаєтьсязісталимкутовимприскоренням2 с–2. Через 1 с після початку руху повне лінійне прискорення точок на ободі колеса дорівнює2,7 м/с2. Визначитикут, утворенийвекторомповноголінійного прискорення з вектором лінійної швидкості в цей момент; залежність шляху від часу для точок на ободі колеса; радіус колеса.

132.Матеріальна точка рухається по колу радіусом 10 см зі сталим за величиною кутовим прискоренням 0,5 с–2. Визначити: повне лінійне прискорення точки через2 спісляпочатку обертання; їїнормальнеприскорення через один оберт; кут між вектором повного прискорення і радіусом кола. Скільки обертів зробить точка через 10 с після початку руху?

133.Два колеса починають обертатися одночасно. Через 10 с друге колесо випереджає перше на один повний оберт. Кутове прискорення першого колеса 0,1 с–2. Визначити кутове прискорення другого колеса. Скільки обертів зробить кожне колесо за 20 с із початку руху?

134.Колесо обертається навколо нерухомої осі так, що залежність кута його повороту від часу ϕ = βt2, де β = 0,2 с–2. Знайти повне прискорення a точки на ободі колеса в момент t = 2,5 с, якщо швидкість точки в цей момент часу V = 0,65 м/с.

135.Маховик радіусом 2 м починає рухатися. Рівняння руху точки, що знаходиться на ободі, S = 0,2t2 м. Через деякий час точка на ободі має лінійну швидкість 5 м/с. Для цього моменту часу визначити: нормальне та тангенціальне прискорення точки обода; кутові швидкість та прискорення маховика; скільки обертів зробитьмаховик зпочатку руху.

136.Знайтивеличинукутовогоприскоренняточкилопаткитурбіни, розташованої на відстані 1000 мм від осі обертання, через 15 с після пуску турбіни, якщо залежність лінійної швидкості цієї точки від часу виражається рівнянням V = at – bt2, де a = 2 м/с2; b = 0,8 м/с3.

137.Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі за законом ϕ =

=at2 – bt3, де a = 6 с–2; b = 2 с–3. Знайти: а) середні значення кутової

швидкості та кутового прискорення за проміжок часу від t = 0 до зупинки; б) кутове прискорення в момент зупинки тіла.

138.Залежністькутаповоротурадіусаколесавідчасузаданарівнянням ϕ = 4 + 5t – t3. Знайти в кінці 1-ї с обертання кутову швидкість колеса, атакожлінійнушвидкістьіповнеприскоренняточки, щолежить на ободі колеса. Радіус колеса 2 см.

139.Тілообертаєтьсятак, щозалежністькутовоїшвидкостівідчасу задаєтьсярівняннямω = 2 + 0,5t. Знайтиповнечислообертів, здійснених тілом за 20 с після початку обертання.

140.Тілообертаєтьсятакимчином, щокутповоротувідноснонерухомої осі змінюється за законом ϕ(t) = 16t + 2t2 – t3. Знайти середню

кутову швидкість тіла в інтервалі часу від t1 = 2 с до t2 = 4 с.

141*. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу визначається рівнянням ϕ = 1 + 2t – 2t3. Нормальне прискоренняточок, якілежатьнаободіколесапідкінець2-їсруху, дорівнює200 м/с2. Знайтирадіусколесаівизначитизалежністьвідчасукутовоїталінійноїшвидкостей, кутовогойповноголінійногоприскореньдля точок, щолежатьнаободіколеса. Визначитивекторсередньогоповного прискорення цих точок протягом першого оберту колеса.

142*. Кут повороту деякого тіла відносно нерухомої осі задається рівнянням ϕ(t) = t – 2t4. Знайти середнє кутове прискорення обертання тілаза2-усізпочаткувідлікучасуіпорівнятийогоізсереднімарифме- тичнимвідмиттєвихприскореньнапочаткутанаприкінцітієїжсекунди.

143*. Автомобіль зрушує з місця і рухається зі сталим прискоренням 1 м/с2. Яке повне прискорення верхньої точки його колеса відносно землі через 1 с після початку руху?

144*. ОбручрадіусомR = 0,5 мкотитьсябезпроковзуванняпогоризонтальнійповерхні. Кутовашвидкістьобертанняобручаω = (2/3)π рад/с.

Упевний момент часу точка A обруча дотикається до поверхні. Яким буде значення швидкості точки A через t = 0,5 с після цього моменту відноснонерухомогоспостерігача?

145*. Колесорадіусаr котитьсябезковзанняпопрямолінійнійділянці шляху з кутовою швидкістю ω. При цьому точка M, яка знаходиться на

ободі колеса, рухається по траєкторії, параметричні рівняння якої x = = r(ωt – sinωt); y = r(1 – cosωt). Визначитизалежністьлінійноїшвидкості

відчасутакоординатиточоктраєкторіїзнайменшоюінайбільшоюлінійнимишвидкостямивідноснонерухомогоспостерігача.

146*. Коли автомобіль повертає, його колесо радіусом r = 0,75 м котитьсяпоколурадіусомR = 6 мугоризонтальнійплощині. Прицьому центр колеса рухається зі сталою швидкістю V = 1,5 м/с. Визначити: а) кутову швидкість і кутове прискорення колеса; б) кут, утворений вектором кутової швидкості з вертикаллю.

147*. При гальмуванні махового колеса його кутове прискорення змінюється за законом ε = a – bω. Чому дорівнює кутова швидкість маховикачерезt спісляпочаткудіїгальмівноїсили, якщопередгальмуваннямвонадорівнювалаω0?

148*. Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі за законом ω = = ω0 – aϕ, де ω0 і a – позитивні сталі. У момент часу t = 0 кут ϕ = 0. Знайти залежність від часу: а) кута повороту; б) кутової швидкості.

149*. Тіло обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю ω1 й одночасно – навколо горизонтальної осі, що перетинається з вертикальною, з кутовою швидкістю ω2 = 3ω1. Яким буде результуючийрухтіла?

150*. Куля, насаджена на горизонтальну вісь, котиться по площині, описуючи коло радіусом R = 26 см. Радіус кулі r = 14 см. Визначити повнукутовушвидкістькулітаїїнахилдогоризонту, якщоцентркулімає лінійнушвидкістьV = 50 см/с.

1.2. Динаміка матеріальної точки

Перший закон Ньютона

Матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки дія з боку інших тіл не змусить її (його) змінити цей стан.

Прагненнятілазберігатистанспокоюаборівномірногопрямолінійного руху називається інертністю. Тому перший закон Ньютона називаютьтакожзакономінерції. ПершийзаконНьютонапостулюєіснування інерціальних систем відліку – таких, в яких матеріальна точка, на якунедіютьіншітіла, рухаєтьсярівномірноіпрямолінійно.

Для того щоб описувати дії, про які йдеться в першому законі Ньютона, вводятьпоняттясили, дляописуінерційнихвластивостейтіл– поняття маси.

Сила

Сила – векторна величина, що є мірою механічної дії на тіло з боку інших тіл або полів, у результаті якої тіло набуває прискорення або змінює форму і розміри.

Механічна взаємодія може здійснюватися як між безпосередньо контактуючимитілами(наприклад, приударі, терті, тискуодиннаодного тощо), так і між віддаленими. Особлива форма матерії, що зв'язує частинкиречовинивєдинісистемиіщопередаєзкінцевоюшвидкістюдію одних частинок на інші, називається фізичним полем, або просто полем. Взаємодія між віддаленими тілами здійснюється за допомогою по- в'язанихзнимигравітаційнихіелектромагнітнихполів.

Використовуючипоняттясили, вмеханіцірозуміютьрухідеформаціюданоготілапіддієюприкладенихдоньогосил. Зазвичайприцьому кожній силі завжди відповідає якесь певне тіло або поле, що діє із цією

силоюСила. Fr повністюзадана, якщовказаніїїмодульF, напрямупросторі й точка прикладання. Пряма, вздовж якої направлена сила, називається

лінією дії сили. Центральними називаються сили, які завжди направлені вздовж прямих, що проходять через одну й ту ж нерухому точку – центр сил, і залежать тільки від відстаніr до нього.

Поле, діюче на матеріальну точку із силою F , називається стаціонарним, якщо воно не змінюється із часом.

Одночасна дія на матеріальну точку декількох сил еквівалентна дії

однієї сили, яка називається рівнодіючою, або результуючою, що дорівнюєїхгеометричнійсумі.

Одиниця сили – ньютон (Н): 1Н – сила, яка у тіла масою 1 кг задає прискорення1м/с2 унапрямідіїсили.

Механічні системи

Механічною системою називається сукупність матеріальних точок (тіл), що розглядаються як єдине ціле.

Тіла, що не входять до складу досліджуваної механічної системи, називаються зовнішніми. Сили, діючі на систему з боку зовнішніх тіл, називаються зовнішніми.

Внутрішніми силами називаються сили взаємодії між частинами даної системи.

Механічна система називається замкнутою, або ізольованою, якщо вонаневзаємодієіззовнішнімитілами(нанеїнедіютьзовнішнісили).

Тіло називається вільним, якщо на його положення і рух у просторі не накладено ніяких обмежень, та зв'язаним, якщо на його можливі положенняірухинакладенітіабоіншіобмеження, яківмеханіціназивають зв'язками. Зв'язане тіло можна розглядати як вільне, замінивши дію на ньоготіл, щоздійснюютьзв'язки, відповіднимисилами. Цісилиназиваються реакціями зв'язків, а всі інші сили, діючі на тіло, – активними.

Маса

Маса – фізична величина, одна з основних характеристик матерії, щовизначаєїїінерційнітагравітаційнівластивості.

Одиниця маси – кілограм (кг).

Густиною тіла ρ у даній його точці М називається відношення маси dm малого елемента тіла, що включає в себе точку М, до величини dV об'єму цього елемента:

ρ = dVdm .

Імпульс

Векторна величина pr, що дорівнює добутку маси m матеріальної точки на її швидкість v і має напрям швидкості, називається імпульсом, абокількістюрухуцієїматеріальноїточки:

pr = m v.

Другий закон Ньютона

ДругийзаконНьютона– основнийзакондинамікипоступальногоруху– відповідаєнапитання, якзмінюєтьсямеханічнийрухматеріальноїточки (тіла) піддієюприкладенихдонеїсил.

Прискорення, що набуває матеріальна точка (тіло), пропорційне діючій на неї силі, співпадає з нею за напрямком і обернено пропорційне до маси матеріальної точки (тіла):

r ar = mF ,

або

Fr = mar = m d vr = d(mvr) = dpr. dt dt dt

Більш загально другий закон Ньютона можна сформулювати так:

швидкість зміни із часом імпульсу матеріальної точки дорівнює діючій на неї силі.

імпульсуматеріальноїточкидорівнюєімпульсудіючоїнанеїсили: dpr = Fr dt;

t2 r

∆p = p2 − p1 = ∫F dt.

t1

Основнийзакондинамікиматеріальноїточкивиражаєпринциппричинності в класичній механіці – однозначний зв'язок між зміною iз часом стану руху і положення в просторі матеріальної точки та діючою на неїсилою, щодозволяє, знаючипочатковийстанматеріальноїточки, описати її стан у будь-який подальший момент часу.