Ushkac_Mehanika

Аналіз і розв'язок

Спочаткуз'ясуємо, чомувиникаєсилапритягання між пластинками. При накладанні пластинок вільна поверхняводивнаслідокповногозмочуванняутворює ввігнутий меніск, діаметральний переріз якого можна зобразитиувиглядідвохнапівкіл. Отже, тискурідині,

Fр – ? яка знаходиться між пластинками, менший від атмосферногонавеличину

де R1 і R2 – радіуси кривизни двох взаємно перпендикулярних нормальнихперерізівповерхнірідини.

Якщобуденадлишокзовнішньоготиску, топластинизближаються, водарозтікаєтьсяміжнимибільштонкимшаром. Цейпроцесзакінчиться, коли рідина дійде до країв пластини, після чого меніск випрямиться, а поверхневий тиск і сила притягання між пластинами зникне, або коли подальшезближенняпластинстаненеможливимчерезте, щовонипочнуть торкатися одна одної в деяких точках через нерівності їх площин.

Силапритяганняміжпластинкамидорівнюєнадлишковомузовнішньомутискур, помноженомунаплощуоднієїпластини, тобто

де R – радіус кола розтікання рідини.

Для того щоб за (1) визначити величину р, розглянемо два взаємно перпендикулярнихнормальнихперерізиповерхнірідини.

РадіускривизниперерізуR1 дорівнюєполовинівідстаніміжпластинками, радіус кривизни другого перерізу R2 є радіусом кола розтікання рідини, який відомий з умови задачі. Оскільки при цьому виконується нерівність R1 << R2, то у (1) можна знехтувати величиною 1/R2, тобто кривизноюдругогоперерізу, ірозглядатименіскнаближенняякувігнуту циліндричнуповерхню. Такимчином, одержимо:

де d – відстань між пластинками, яку знайдемо, розділивши об'єм води наплощуїїрозтікання:

де m – маса води; ρ – її густина.

Підставивши в (2) значення р із (3) з урахуванням (4), визначимо силупритяганняміжпластинками

Для того щоб роз'єднати пластинки, їх треба розтягувати із силою, якадорівнюєсиліїхвзаємногопритягання. Отже,

Перевіримо(5) нарозмірністьневідомоїфізичноївеличини:

Відповідь: Fр = 1200 Н.

Задачі для самостійної роботи

Адіабатичний процес. Робота газу при різних процесах. Явища переносу

1.Знайтизмінуентропіїприперетворенні10 гльодупри0 °Снаводу при 0 °С.

2.Знайти зміну ентропії при перетворенні 10 г льоду при –20 °С на воду при 0 °С.

3.Знайтизмінуентропіїприперетворенні10 гльодупри0 °Снаводу при20 °С.

4.Знайти зміну ентропії при перетворенні 10 г льоду при –20 °С на воду при 20 °С.

5.Воденьмасою6,6 грозширюєтьсяізобарнодозбільшенняоб'єму

в2 рази. Знайтизмінуентропії.

6.Знайтизмінуентропії10 гводипри100 °Сприперетворенніїїна парупри100 °С.

7.Кисень масою 10 г нагрівається від t1 = 50 °C до t2 = 150 °C. Знайтизмінуентропії, якщонагріваннявідбуваєтьсяприпостійномутиску.

8.Знайти зміну ентропії при перетворенні 10 г льоду з початковою температурою 0 °С на пару при 100 °С.

9.Знайтизмінуентропіїприперетворенні240 гльодузпочатковою температурою – 20 °С на пару при 100 °С.

10.Розплавлений свинець масою 640 г при температурі плавлення вилилиналідпри0 °С. Знайтизмінуентропіїсвинцю.

11.Знайти зміну ентропії при ізобарному розширенні 8 г гелію від

об'єму V1 = 10 л до V2 = 25 л.

12. Знайтизмінуентропії10 гводизпочатковоютемпературою30 °С приперетворенніїїнапарупри100 °С.

13. Знайти зміну ентропії принагріванні 10 гводивід 2 до100 °С. 14. Повітря об'ємом 1 м3, що знаходиться при температурі 0 °С та тиску2 105 Н/м2, ізотермічнорозширюєтьсявідоб'ємуV1 дооб'ємуV2 =

= 2V1. Знайтизмінуентропії.

15. Зміна ентропії на інтервалі між двома станами в циклі Карно дорівнює 1 ккал/град. Різниця температур між двома ізотермами дорівнює 100 °С. Яка кількість тепла перетворюється на роботу при цьому циклі?

16. Знайти зміну ентропії при розширенні 8 г кисню від об'єму 10 л при температурі 80 °С до об'єму 40 л при температурі 300 °С.

164Розділ2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

17.Знайтизмінуентропіїприпереході12 газотувідоб'єму15 лпри температурі 40 °С до об'єму 40 л при температурі 300 °С при сталому тиску.

18.Знайти зміну ентропії при ізотермічному розширенні 6 г водню від тиску 105 Па до 0,5 105 Н/м2.

19.Азотмасою 10,5 гізотермічно розширюютьсявідоб'ємуV1 = 2 л до об'єму V1 = 5 л. Знайти приріст ентропії.

20.Теплову машину, яка працює за циклом Карно з термічним ККД η = 10 %, використовують притихже резервуарах як холодильну машину. Знайтиїїхолодильнийкоефіцієнт ε (ε = Qхол/А).

21.Принагріванні22 газотуйогоабсолютнатемпературазбільшилася в 1,2 рази, а ентропія збільшилася на 4,19 Дж/град. За яких умов відбувалося нагрівання (при сталому об'ємі чи сталому тиску)?

22.Якакількістьмолівідеальногогазубулавпосудині, якщопіслятого, як газ ізобарно нагріли до збільшення об'єму в 2 рази, а потім ізохорно охолодилидозменшеннятискув2 рази, прирістентропіїсклав11,5 Дж/К.

23.Кисень масою 48 г нагрівається від t1 = 20 °C до T2 = 500 К. Знайтизмінуентропії, якщонагріваннявідбуваєтьсяприпостійномуоб'ємі.

24.При нагріванні 1 кмоля двохатомного газу його абсолютна температуразбільшуєтьсяв1,5 рази. Знайтизмінуентропії, якщонагрівання відбувається при V = const.

25.При нагріванні 4 кмоля двохатомного газу його абсолютна температуразбільшуєтьсяу8 разів. Знайтизмінуентропії, якщонагрівання відбувається ізобарно.

26.Азотмасою28 гадіабатичнорозширилив2 рази, апотімізобарностиснулидопочатковогооб'єму. Знайтизмінуентропіїгазу.

27.Після ізобарного розширення азоту в 2 рази з подальшим адіабатичним стисканням до початкового об'єму приріст ентропії становив + 20 Дж/К. Яка маса азоту була у посудині?

28.У скільки разів адіабатично розширили 30 г кисню, якщо після ізобарногостисканнядопочатковогооб'ємузмінаентропіїсклала15 Дж/К.

29.Кусок льоду масою 100 г при температурі 0 °С помістили в калориметр, вякомузнаходилося100 гводипритемпературі60 °С. Нехтуючитеплоємністюкалориметра, знайтиприрістентропіїсистемидомоментувстановленнятепловоїрівноваги.

30.Навестиприкладпроцесу, приякомувсятеплота, одержаназтеплового резервуара, перетворюється на роботу.

31.Ідеальний газ (ν = 2 моль) спочатку ізобарно нагріли так, що йогооб'ємзбільшився в 2 рази, а потім ізохорно охолодили так, щойого тискзменшивсяв2 рази. Знайтиприрістентропії.

32.Водень виконує цикл Карно. Знайти ККД циклу, якщо при адіабатичному розширенні тиск газу зменшується в 2 рази.

33.Ідеальна холодильна машина має ККД η = 0,093. Тепло відбирається від тіла з температурою –10 °С і передається тілу з температуроюt °С. Знайтитемпературуt °Сцьоготіла, якщомаємісцеобернений циклКарно.

34.Ідеальний газ (ν = 2 моль) спочатку ізохорно охолодили так, що його тиск зменшився в 2 рази, а потім ізобарно нагріли так, що його об'ємзбільшився в2 рази. Знайтиприрістентропії.

35.Лідмасою2 кгпритемпературіt1 = 0 °C бувперетворенийуводу тієїжтемпературизадопомогоюпари, щомалатемпературуt1 = 100 °C. Знайти масу затраченої пари. Яка зміна ∆S ентропії системи "лід–пара" пританеннільоду?

36.Унаслідокізохорногоохолодженнягазуйоготискзменшивсяв2 рази, априподальшомуізобарномунагріванніоб'ємзбільшивсяв2 рази. Прирістентропіїстановив–12 Дж/К. Скількимолівгазубулоупосудині?

37.Ускількиразівзбільшитьсяоб'ємдвохатомногогазу(ν = 2 моль) унаслідок ізобарного нагрівання, якщо після подальшого ізохорного охолодження його тиск зменшився втричі, а приріст ентропії становив

15 Дж/К.

38.Приріст ентропії ідеального газу становив – 20 Дж/К після ізохорного охолодження газу зі зменшенням тиску в n раз та ізобарного нагріваннязізбільшеннямоб'ємувдвічі. Чомудорівнюєn, якщокількість газу 3 моля?

39.Змішали m1 = 5 кг води при температурі Т1 = 280 К з m2 = 8 кг водипритемпературіT2 = 350 К. Знайти: 1) температурусуміші; 2) зміну ентропіїсумішіпіслязмішування. Вважати, щотеплоємністьводистала.

40.Азот масою 25 г ізобарно розширили в 3 рази, а потім адіабатичностиснулидопочатковогооб'єму. Знайтиприрістентропії.

41.Після адіабатичного розширення азоту в 2 рази з подальшим ізобарним стисканням до початкового об'ємузміна ентропії склала ∆S =

=–20,2 Дж/К. Яка маса азоту була в посудині?

42.ІдеальнахолодильнамашинапрацюєзаоберненимцикломКарно. Тепло береться від тіла з температурою –10 °С і передається тілу з температурою + 17 °С. Найти ККД циклу.

166Розділ2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

43.Водень масою 20 г адіабатично розширили в n разів, а потім ізобарно стиснули до початкового об'єму. Знайти n, якщо зміна ентропії склала +10 Дж/К.

44.В якому випадку ККД циклу Карно підвищиться більше: при збільшенні температури нагрівача на ∆T чи зменшенні температури холодильниканатакужвеличину?

45.Водень виконує цикл Карно. Знайти ККД циклу, якщоприоберненому розширенні об'єм газу збільшується у n = 2 рази.

46.Ідеальнахолодильнамашинапрацюєяктепловийнасосзаобер-

ненимцикломКарно. Вонавідбираєтепловідводизтемпературою2 °С

та передає його повітрю з температурою 27 °С. Знайти коефіцієнт η1 – відношення кількості теплоти, переданої повітрю, до кількості теплоти, відведеної у води за той же час.

47.Два моля ідеального газу виконують цикл Карно. Температура нагрівача 1200 К, температура холодильника 300 К, при ізотермічному розширенніоб'ємзбільшивсявдвічі. Знайтироботузацикл.

48.Теплову машину, яка працює за циклом Карно, використовують

притихжетепловихрезервуарахякхолодильнумашинузхолодильним коефіцієнтом ε = 9. Знайти ККД теплової машини.

49.Ідеальна теплова машина, яка працює за циклом Карно, одержує за кожен цикл від нагрівача 600 кал. Температура нагрівача 400 К, температура холодильника 300 К. Знайти роботу, виконану машиною за одинцикл.

50.Ідеальна теплова машина, яка працює за циклом Карно, одержує за кожен цикл від нагрівача 800 кал. Температура нагрівача 600 К, температурахолодильника350 К. Знайтикількістьтепла, якабулапереданахолодильникузаодинцикл.

51.ІдеальнатепловамашинапрацюєзацикломКарно. ЗнайтиККД циклу, якщо відомо, що за один цикл була виконана робота 3000 Дж,

ахолодильнику була передана теплота 3,2 ккал.

52.Ідеальнатепловамашина, якапрацюєзацикломКарно, виконує за один цикл роботу 7,35 104 Дж. Температура нагрівача 100 °С, температура холодильника 0 °С. Найти: 1) ККД машини; 2) кількість тепла, яку машина одержала за один цикл від нагрівача; 3) кількість тепла, яка буланаданазаодинциклхолодильнику.

53.Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно. При цьому

80% теплоти, отриманої від нагрівача, передається холодильнику.

Кількість теплоти, отриманої від нагрівача, дорівнює 1,5 ккал. Знайти: 1) ККДциклу; 2) роботу, виконанузаодинповнийцикл.

54. Чи може теплова машина, яка використовує цикл Карно, бути необоротною? Назвати достатні умови оборотності такої машини.

55. Скільки палива за 1 год споживає парова машина потужністю 14,7 кВт, якщотемпературакотла200 °С, температурахолодильника58 °С. При ККД 20 % теплова здатність палива 3,3 107 Дж/кг. Порівняти ККД ідеальноїпаровоїмашини, щопрацюєзацикломКарно, міжтимижтемпературами.

56. Знайтитемпературу котлапаровоїмашинипотужністю14,7 кВт тайогоККД, якщоККДідеальноїпаровоїмашини, якапрацюєзациклом Карнопритихжетемпературах, η = 30 %. Відомо, щомашинаспоживає за 1 год 8,1 кг палива з теплотворною здатністю 3,3 107 Дж/кг, температура холодильника 58 °С.

57. Ідеальна холодильна машина, яка працює за оберненим циклом Карно, виконує за один цикл роботу 3,7 104 Дж. Тепло відбирається від тіла з температурою – 10 °С і передається тілу з температурою +17 °С. Знайтикількістьтеплоти, відведеноїухолодноготілазаодинцикл.

58. Ідеальна холодильна машина, яка працює за оберненим циклом Карно, виконує за один цикл роботу 4,6 103 Дж. Тепло відводиться від тіла з температурою –27 °С і передається тілу з температурою +37 °С. Знайти кількість тепла, переданого гарячому тілу за один цикл.

59. Один кіломоль ідеального газу виконує цикл Карно, при цьому робота дорівнює 5,18 106 Дж. У скільки разів збільшується об'єм при ізотермічномурозширенні, якщоізотермициклувідповідаютьнайбільшій танайменшій температурам іншого циклу, щоскладається здвохізохор ідвохізобар. Уцьомудругомуцикліоб'ємгазузмінюєтьсявідV1 = 25 м3

до V2 = 50 м3, а тиск від p1 = 1 атм до p2 = 2 атм.

60. Кусок міді масою 90 г при температурі 90 °С поклали в калориметр, в якому знаходився лід масою 50 г при температурі –3 °С. Знайти прирістентропіїкускамідідомоментувстановленнятепловоїрівноваги. Вважати теплоємності міді та льоду сталими.

61. ІдеальнахолодильнамашинапрацюєзаоберненимцикломКарно з ККД 0,093. Тепло відводиться від тіла з температурою t1 та передається тілу з температурою +17 °С. Знайти температуру t1.

62. ІдеальнахолодильнамашинапрацюєзаоберненимцикломКарно з коефіцієнтом Q1/Q2 = 1,09. Тепло відводиться від води з температу-

рою 2 °С та передається повітрю. Знайти температуру повітря t, якщо Q1 – кількістьтеплоти, переданоїповітрю; Q2 – кількістьтеплоти, відведеноївідводи.

63.Упроцесіроботиідеальноїхолодильноїмашинитепловідбирається від рідини з температурою t та передається повітрю з температурою 27 °С. Знайти температуру рідини, якщо виконується обернений цикл

Карно з коефіцієнтом Q1/Q2 = 1,09, де Q1 – кількість теплоти, переданої повітрю; Q2 – кількість теплоти, відведеної від води.

64.Ідеальна холодильна машина, що працює за оберненим циклом Карно, передає тепло від холодильника з водою при температурі 0 °С кип'ятильникузводоюпритемпературі100 °С. Якукількістьводинеобхідно заморозити в холодильнику, щоб перетворити на пару 1 кг води

вкип'ятильнику?

65.В ідеальній холодильній машині, яка працює за циклом Карно, теплопередаєтьсявідхолодильниказводоюпритемпературі0 °Скип'я- тильникузводоюпритемпературі100 °С. Скількиводибулоперетворенонапарувкип'ятильнику, якщовхолодильникубулозаморожено4,94 кг води.

66.Ідеальна холодильна машина передає тепло від холодильника зводоюпритемпературіT кип'ятильникузводоюпритемпературі100 °С. Прицьомувхолодильнику булозаморожено4,94 кгводи, авкип'ятильнику було перетворено на пару 1 кг води. Визначити температуру води

вхолодильнику.

67.Парова машина потужністю 14,7 кВт споживає за 1 год 8,1 кг вугіллязтеплотворноюздатністю3,3 107 Дж/кг, температуракотла200 °С, холодильника– 58 °С. ЗнайтифактичнийККДмашинитапорівнятийого зККДідеальноїтепловоїмашини, щопрацюєзацикломКарно, міжтими

жтемпературами.

68.Знайтипотужністьпаровоїмашини, якаспоживаєза1 год8,1 кг вугілля з теплотворною здатністю 3,3 107 Дж/кг. Відомо, що температура котла 200 °С, холодильника – 58 °С, ККД η = 20 %. Знайти ККД ідеальноїпаровоїмашини, якапрацюєзацикломКарно, міжтимижтемпературами.

69.Кусок міді масою 90 г при температурі 90 °С поклали в калориметр, в якому знаходився лід масою 50 г при температурі –3 °С. Знайти прирістентропіїльодунамоментустановленнятепловоїрівноваги.

70.У калориметрі знаходився лід масою 50 г при температурі –3 °С. На нього поклали кусок міді масою 90 г при температурі 90 °С. Знайти прирістентропіїсистеми"лід–мідь" намоментустановленнярівноваги.

71.Питоматеплотавипаровуванняводипритемпературі200 °Сстановить1,94 106 Дж/кг. Відомо, щопритемпературі200 °Стискнасиченої пари 15,3 атм, густина води 103 кг/м3. Користуючись першим законом термодинаміки знайти сталу а у рівнянні Ван-дер-Ваальса. Прийняти, щозмінавнутрішньоїенергіїсилвзаємодіїпривипаровуваннівідповідає

1– V2)/(V1V2).

72.Знайти температуру холодильника теплової машини, а також її ККД, якщо відомо, що ККД ідеальної теплової машини, яка працює за

циклом Карно, між тими ж температурами – 30 %. Реальна машина споживаєза1 год8,1 кгвугіллязтеплотворноюздатністю3,3 107 Дж/кг, температура котла 200 °С, потужність машини 14,7 кВт.

73.Знайти зміну ентропії ∆S при плавленні 1 моля льоду, якщо

зовнішнійтискзбільшивсяна1 МПа, атемператураплавленнязмінилася на ∆T = –0,08 К. Густина льоду і води відповідно 0,9 та 1 г/см3.

74.Скількимолівльодурозплавиться, якщопризбільшеннізовніш-

нього тиску на 1 МПа температура плавлення відповідно змінилася на ∆T = – 0,08 К, а ентропія – на 23 Дж/К. Густина льоду і води відповідно

0,9 та 1 г/см3.

75.Робота, яку виконують 10 кмоль ідеального газу при циклі Карно, 500 Дж. У скільки разів зменшується об'єм при ізотермічному стисканні газу, якщо ізотермам відповідають температури 1000 та 250 К.

76.Знайти температуру нагрівача в циклі Карно, якщо температура холодильника 300 К. Робоче тіло – 1 кмоль ідеального газу, об'єм якого

збільшується вдвічі при ізотермічному розширенні. Робота за цикл дорівнює4,5 106 Дж.

77.Теплова машина працює за циклом Карно. При ізотермічному стисканні об'єм 0,5 кмоль ідеального газу зменшується у 3 рази. Знайти

температуру холодильника, якщо температура нагрівача 1300 К, ароботазациклдорівнює25 105 Дж.

78.Чому дорівнює маса льоду, зануреного в 100 г води при температурі 50 °С, якщо температура суміші 20 °С, а початкова температура льоду0 °С. Визначититакожприрістентропіїсистемидомоменту встановленнятепловоїрівноваги.

79.У калориметрі знаходиться вода при температурі 60 °C. У воду∆

зануренокусокльодумасою100 гпритемпературі0 °С. Визначитиприріст ентропіїсистеминамоментустановленнятепловоїрівноваги(20 °С).

80.Для характеристики стану тіла можна користуватися його температуроютаентропією. ЗобразитиграфічноциклКарнонадіаграмі. По осі абсцис відкласти ентропію, по осі ординат – температуру. Знайти за допомогоюграфікаККДциклу.

81.Знайти зміну ентропії одного моля ідеального газу при політропічному розширенні p V n = const від об'єму V1 до об'єму V2 при n = 1.

82.Теплова машина з одним молем ідеального газу працює за цик-

лом Стірлінга, який складається з двох ізотерм та двох ізохор. Довести,

що ККД такої машини η > (T1 – T2)/T1. Вважати відомими максимальні та мінімальні об'єми і температури газу.

83.Приякійтемпературітискнасиченоїпаридеякогоспиртудорівнює6,78 104 Н/м2, якщопритемпературі313 Ктиск1,77 104 Н/м2. Відомо, що при випаровуванні 10–3 кг спирту при температурі 323 К зміна ентропіїстановить2,86 Дж/К. Масаодногомоляспирту46 10–3 кг/моль.

84.На скільки збільшився зовнішній тиск, якщо температура плавлення одного моля льоду зменшилася на ∆T = –0,08 К. Зміна ентропії складає 25 Дж/К. Густина льоду і води відповідно 0,9 та 1 г/см3.

85.Площинапрямокутноїрамкизрухомоюнижньоюперекладиною довжиною 40 мм затягнута мильною плівкою. Який повинен бути діа-

метр мідної перекладини, щоб вона знаходилася у рівновазі? Вважати коефіцієнтповерхневогонатягумильногорозчину4 10–2 Н/м.

86.Площина прямокутної рамки з рухомою перекладиною діаметром 0,5 мм затягнута мильною плівкою. Знайти довжину перекладини,

якщовідомо, щоприїїпереміщенніна1 смвиконуєтьсяізотермічнаробота 4,5 10–4 Дж. Прийняти для мильного розчину α = 0,045 Н/м.

87.Тиск насичених парів етилового спирту (С2Н5ОН) при температурі40 °Сдорівнює133 ммрт. ст., апритемпературі68 °С– 509 ммрт. ст. Знайтизмінуентропіїпривипаровуванні1 гетиловогоспиртупритемпературі 50 °С.

88.Деякий спирт має тиск насичених парів 509 мм рт. ст. при температурі 341 К, а при температурі 313 К – 133 мм рт. ст. Знайти масу одногомоляспирту, якщопривипаровуванні1 гспиртупритемпературі 50 °С зміна ентропії становить 2,86 Дж/К.

89.Змінаентропіїпривипаровуванні1 грідинипритемпературі50 °С становить 2,86 Дж/К. Знайти тиск насичених парів рідини при темпера-