Ushkac_Mehanika

Задачі для самостійної роботи

Рівняння руху матеріальної точки. Траєкторія

1.Знайти співвідношення між часом проїзду човна вгору річкою та назад і часом проїзду такого ж шляху в нерухомій воді. Швидкість руху

човнавідносноводивобохвипадкахдорівнюєV2 = 5 км/год, швидкість течії річки V1 = 2 км/год.

2.Відома функція f (S), яка визначає залежність похідної швидкості

dVdt відпройденогочастинкоюшляхуS, атакожвідомезначеннямодуля

швидкостіV0 напочаткушляху. НаписативираздляV(S) – модуляшвидкості, яку матиме частинка, коли пройде шлях S.

3.Рух точки заданий рівнянням x = 12t – 2t2 + t3 (x, м; t, с). Визначити швидкість руху і прискорення точки в момент часу t0 = 5 с.

4.Рух точки задано рівнянням x(t) = 15t – 2t2. Визначити середню швидкість руху точки в інтервалі часу від t1 = 1 с до t2 = 4 с.

5.Точка рухається за законом x(t) = 8t – t3. Визначити середні прискорення точки за 1-у і 2-у с із початку відліку часу.

6.Залежність шляху від часу виражається рівнянням S = S0 + At2 –

–Bt3, деАіВ– деякісталівеличини. Накреслітьзагальніграфікизалежності швидкості та прискорення від часу. Знайдіть шлях ∆S, пройдений тілом за 3 с, якщо швидкість тіла через 2 с після початку руху дорівнює

3 м/с.

7.Тіло рухається прямолінійно. Залежність пройденого шляху від часу визначається рівнянням S = (0,5t + t2) м. Визначити: залежність швидкостііприскореннявідчасу; середнюшвидкістьтілаза2-ус; шлях, пройдений тілом за 5-у с. Накреслити графіки залежності шляху, швидкості та прискорення від часу.

8.Поїзд повертає на закруглену ділянку шляху з початковою швидкістю54 км/год і проходитьшлях600 мза30 с, рухаючись рівноприскорено. Радіусповороту1,0 км. Визначитишвидкістьіповнеприскорення

вкінціцьогошляху.

9.Автомобіль рухається рівномірно зі швидкістю 72 км/год по дузі радіусом500 м. Визначититангенціальнеінормальнеприскорення.

10.Поїзд проходить поворот радіуса R = 400 м, причому його тангенціальнеприскоренняaτ = 0,2 м/с2. Визначитинормальнеіповнеприскорення в момент, коли швидкість V = 10 м/с.

19*. Закон руху матеріальної точки має вигляд x = b1 + с1t; y = c2t +

+ d2t2; z = 0, де b1 = – 9 м; с1 = 3 м/с; с2 = 4 м/с; d2 = –1 м/с2. Побудувати графікизалежностіx(t), y(t) ітраєкторіюточкизаперші5 сруху. Знайти

вектори швидкості, прискорення і кут між ними в моменти часу t1 = 2 с,

t2 = 4 с.

20*. Закон руху матеріальної точкимає виглядx = b1t + d1t3; y = b2t +

+ c2t2; z = 0, де b1 = 27 м/с; d1 = –1 м/с3; b2 = 32 м/с; c2 = – 8 м/с2.

Побудувати траєкторію руху точки протягом перших 6 с. Визначити дотичне і нормальне прискорення та радіус кривизни траєкторії в момент

часу t1 = 2 с.

21*. Точка рухається в площині xy за законом x = αt; y = αt (1 – βt), деα іβ – позитивністалі. Знайти: а) рівняннятраєкторіїточкиy(x) (зобразитиїїграфічно); б) швидкість V та прискорення a точкивзалежності від t; в) момент часу t0, коли кут між швидкістю і прискоренням дорівнює π/4.

22*. Залежність координат частинки від часу має вигляд x = acosωt; y = asinωt; zr= 0 (a і ω – сталіrвеличини). 1. Визначити радіус-вектор rr, швидкість V іприскорення a частинкиr , атакожїхмодулі. 2. Обчислити скалярний добуток векторів rr і V . Що означає одержаний результат? 3. Знайтирівняннятраєкторіїчастинки. 4. Вякомунапрямірухаєтьсяпо траєкторії частинка? 5. Охарактеризуйте рух частинки. 6. Як зміниться рухчастинки, якщоувиразідляy змінитизнакнапротилежний?

23*. Матеріальна точка рухається по прямій лінії, зменшуючи свою швидкість ізприскоренням, модуль якогозалежить від її швидкості V за

законом a = α V , де α – позитивна стала. У початковий момент часу швидкість точки дорівнює V0. Який шлях вона пройде до зупинки? За якийчасбудепройденийцейшлях?

24*. Точка рухається по дузі кола радіусом R. Її швидкість залежить від пройденого шляху S за законом V = α S , де α – стала величина. Знайти кут ϕ між вектором повного прискорення і вектором швидкості в залежності від S.

25*. Точка рухається, зменшуючи свою швидкість, по колу радіуса R так, щовкожниймоментчасуїїтангенціальнеінормальнеприскорення за модулем дорівнюють один одному. У початковий момент часу t = = 0 швидкістьточкидорівнюєV0. Знайтизалежність: а) швидкостіточки відчасуівідпройденогошляхуS; б) повногоприскоренняточкивідшвидкостітапройденогошляху.

26*. Точкарухаєтьсяпоплощинітак, щоїїтангенціальнеприскорення aτ = α, нормальне прискорення an = βt4, де α і β – позитивні сталі величини; t – час. У момент t = 0 точка знаходилася в стані спокою. ЗнайтизалежністьвідпройденогошляхуS радіусакривизниR траєкторії точкитаїїповногоприскоренняa.

27*. ЧастинкарухаєтьсярівномірнозісталоюшвидкістюV поплоскій траєкторії y(x). Знайти радіус кривизни траєкторії та прискорення частинки в точці x = 0, якщо траєкторія: а) парабола – y = αx2; б) еліпс – (x/α)2 + (y/β)2 = 1, де α і β – сталі величини.

28*. Точка A знаходиться на ободі колеса радіусом R = 0,5 м, яке котитьсябезковзанняпогоризонтальнійповерхнізішвидкістюV = 1 м/с. Знайти: а) модуль і напрямок прискорення точки A; б) увесь шлях S, який проходить точка A між двома послідовними моментами дотику до поверхні.

29*. Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом r = 4 м, змінюєтьсязазакономan = a + bt + ct2. Знайтитангенціальнеприскоренняточки, шлях, пройденийточкоюзачасt1 = 6 спісляпочаткуруху, іповнеприскореннявмоментчасуt2 = 2/3 с, якщоa = 1 м/с2, b = 3 м/с3, c = 2,25 м/с4.

30*. Велосипедист їде зі сталою швидкістю V на прямолінійній ділянцішляху. Знайтимиттєвілінійнішвидкостівідносноземліточок, що лежать наободіколеса: накінцях вертикального діаметра, горизонтальногодіаметраідіаметра, повернутогонакут30° відноснонапрямуруху велосипеда.

Рівноприскорений рух. Вільне падіння

31.Відстань між двома автобусними станціями дорівнює L = 2 км. Першуполовинуцієївідстаніавтобуспроходитьрівноприскорено, адругу – рівносповільнено так, що початкова і кінцева швидкості (на станціях) дорівнюють нулю. Максимальна швидкість автобуса на перегоні Vmах = 72 км/год. Визначити час руху автобуса між станціями.

32.Поїзд, що рухається під ухил довжиною S = 7,5 км із прискореннямa = 0,02 м/с2, досягшвидкостіV = 20 м/с. Знайтипочатковушвидкість поїзда V0 і час t йогоруху під ухил.

33.Спостерігач, який стояв у момент початку руху електропоїзда біляйогопередньогокінця, помітив, що1-йвагонпройшовповзньогоза t = 4,5 с. Скількичасурухатиметьсяповзньогоn-й(8-й) вагон, якщорух електропоїздарівноприскорений?

34.Куля, що летіла зі швидкістю 400 м/с, потрапляє в земляний насип і проникає в нього на глибину 36 см. Яка швидкість кулі була на глибині 18 см? Скільки часу рухалася вона всередині насипу? З яким прискоренням? Рухкулівважатирівносповільненим.

35.Куля, що летіла зі швидкістю 500 м/с, потрапляє в земляний насипіпроникаєвньогонаглибину40 см. Наякійглибинішвидкістькулі зменшиласявтрирази? Рухкулівважатирівносповільненим.

36.Куля пробиває дошку товщиною 2 см. Швидкість кулі до влу-

чання в дошку V = 500 м/с і після вильоту з неї V1 = 100 м/с. Чому дорівнюєприскореннякуліприпроходженнічерездошкуіскількичасу вона рухається всередині дошки. Рух кулі вважається рівносповільненим.

37.Тілорухаєтьсярівноприскоренопопрямолінійнійділянцішляху. Відомо, що через якийсь час t після початку руху за наступні τ = 10 с тілопройшлоS = 30 мішвидкістьприцьомузрославn = 5 разів. Визначитиприскореннярухутіла.

38.Досягнувши швидкості V0 = 108 км/год, автомобіль починає рухатися рівносповільнено з прискоренням |a| = 0,4 м/с2. Через який час його швидкість зміниться в n = 3 рази?

39.Реактивний літак з ракетою летить зі швидкістю V = 900 км/год. Двигунракетивключаєтьсявмоментвідокремленнявідлітакаіпрацює

t1 = 1 хв. За останні t2 = 10 с роботи двигуна ракета пролетіла відстань S = 57,5 км. Визначитисереднєприскоренняракетизачасt1 таїїшвидкість

умоментприпиненняроботидвигуна.

40.Камінь кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю V0 = = 15 м/с. Через який час він буде на висоті h = 10 м?

41.Куля летить вертикально вгору, досягає найвищої точки і вертикальнопадаєвниз. Визначититімісця, вякихприскорення маєнайбільшеінайменшезначення, якщоопірзростаєзізбільшеннямшвидкості.

42.Тіло, вільно падаючи, досягає землі за t1 = 4 с. За який час воно досяглобземлі, якбийогокинутизтакоїжвисотивертикальновгорузпочатковою швидкістю V0 = 29,4 м/с.

43.Якависотабашти, якщокулька, падаючизїївершинибезпочаткової швидкості, останні S = 185 м пролетіла за t = 2 с?

44.З яким проміжком часу τ дві дощові краплі відірвалися від даху,

якщочерезчасt0 післяпочаткупадіння2-їкраплівідстаньміжкраплями була L?

45.Запущена з поверхні Землі у вертикальному напрямі ракета рухається зі сталим прискоренням a = 2g протягом t = 50 с. Потім двигуни миттєво вимикають. Визначити максимальну висоту підняття ракети. Для обчислення взяти g = 10 м/с2.

46.Запущену вертикально вгору з початковою швидкістю V0 = 400 м/с ракету потрібно терміново знищити. Для цього із Землі запустили другу ракету з такою ж швидкістю. На якій висоті зіткнуться ракети, якщо відомо, що другу ракету запустили в момент досягнення першою найвищоїточкисвогопольоту?

47.ЗякоюшвидкістюV0 требакинутивертикальновнизтілозвисоти h = 40 м, щоб воно впало на поверхню Землі на ∆t = 1 с раніше, ніж тіло, яке вільно падало з тієї ж висоти?

48.Тіло, якевільнопадає, маловточціA швидкістьV1 = 40 м/с, авточці B – V2 = 70 м/с. Визначити відстань d між точками A і B, а також час t1, за який тіло пролетіло відстань AB. Для обчислень взяти g = 10 м/с2.

49.Тіло кинуливертикально вгору з початковою швидкістю V1. Одночасно з найвищої точки, якої може досягти перше тіло, вертикально

внизкинулидругетілозішвидкістюV2. Наякійвисотітазякимишвидкостями зустрінуться тіла?

50.З вишки одночасно кинуто два тіла з однаковою початковою

швидкістю V0 – одне вертикально вгору, друге вертикально вниз. Як із часом змінюватиметься відстань між цими тілами?

51.Два камені падають у шахту. Другий камінь почав падати на 1 с пізніше від першого. Знайти рівняння руху S(t) одного каменя відносно другого.

52.Два тіла одне за одним через проміжок часу ∆t = 0,5 с кинуто

вертикально вгору з однаковою початковою швидкістю V0 = 29,4 м/с. Через який час від моменту кидання першого тіла і на якій висоті вони зустрінуться?

53.Жонглер кидає вертикально вгору м'ячик. Коли м'ячик досягає висоти h = 4,9 м (верхньої точки свого шляху), він кидає вгору другий м'ячик з тією ж початковою швидкістю. На якій висоті зіткнуться м'ячі?

54.Тіло вільно падає з висоти h = 10 м. У той же момент друге тіло кинулизвисотиH = 20 мвертикальновниз. ОбидватілавпалинаЗемлю одночасно. Визначити початкову швидкість другого тіла.

55.Хлопецьвипустивнадутугарячимповітрямкулю, якапіднімаєть-

сявертикально вгорузісталоюшвидкістюV1 = 3 м/с. Черезτ = 5 спісля запускухлопецькидаєвертикальновгорум'ячізпочатковоюшвидкістю V2 = 28 м/с. Скількиразівінаякійвисотім'ячзустрінетьсязкулею? При якому значенні τ м'яч зустрінеться з кулею тільки один раз?

56.АеростатпочинаєвертикальнопідніматисязповерхніЗемлізприскоренням a = 4 м/с2. Через t = 10 с із аеростата випав предмет. Визначити час падіння предмета до землі від моменту відділення його з аеростата.

57.Парашутист залишає аеростат, якій вільно летить на висоті h0 =

=250 м. Перші h1 = 50 м він падає вільно, а потім, розкривши парашут, опускається зі сталою швидкістю V0 = 4 м/с. На якій відстані S відмісця стрибка (за горизонталлю) приземлиться парашутист? Швидкість вітру V1 = 2 м/с і не залежить від висоти.

58.Хлопець, що стоїть на краю скелі, висота якої h = 180 м, випустивзруккамінь, ачерез1 скинуввниздругийкамінь. Якоїшвидкостівін надавдругомукаменю, якщообидвакаменівпалиназемлюодночасно?

59.Камінь кинуто вертикально вниз зі швидкістю V0 = 4,9 м/с. Визначити середню швидкість переміщення за перші 5 с (g = 9,8 м/с2).

60.Визначити, наскількишлях, пройденийвільнопадаючимтіломза n-усекунду, більшийвідшляху, пройденогозапопередню(n – 1) секунду

(g = 9,8 м/с2).

61.З башти кинули в горизонтальному напрямі камінь. Через t = 2 с він упав на Землю на відстані L = 40 м від основи башти. Визначити початкову V0 і кінцеву V швидкості каменя.

62.З крутого берега ріки висотою h = 20 м кидають горизонтально

каміньзішвидкістюV0 = 15 м/с. Черезякийчаскаміньдосягнеповерхні води? Зякоюшвидкістювінупадеуводу? Прискореннявільногопадіння взяти g = 10 м/с2.

63.З якою горизонтальною швидкістю V треба кинути тіло з певної висоти h, щоб пройдений ним у горизонтальному напрямі шлях був у n разівбільшимвідвисотипадіння?

64.Швидкість кулі можна знайти за зниженням її траєкторії h на заданій відстані L при горизонтальному пострілі. Зниження траєкторії визначається за отворами, пробитими кулею у двох вертикальних, розташованих на траєкторії кулі, щитах. Знайти за цими даними швидкість куліV.

65.Тіло кинуто під кутом до горизонту. Показати, що вектор швид-

костітілаприйогопадінніназемлюдзеркально-симетричнийдовектора початковоїшвидкостівідносногоризонтальноїплощини.

66.Кинутий горизонтально камінь упав на Землю через t = 0,5 с на відстані L = 5 м за горизонталлю від місця кидання. Знайти кут між вектором швидкості та горизонтом у момент падіння.

67.Літак летить горизонтально на висоті h зі швидкістю V0. Пілот повиненскинутипакетутабірпартизанів, розташованийпопередулітака. Під яким кутом α до горизонту він повинен бачити табір у момент скидання пакета?

68.У вертикальну мішень, розташовану на відстані 50 м, зроблено двапостріливгоризонтальномунапряміприоднаковомунаведеннігвинтівки. Унаслідоквипадковоївідмінностізарядівпочатковашвидкістькулі

водному випадку 320 м/с, а в другому – 350 м/с. Яка відстань між точками влучання в мішень?

69.ТілокинулигоризонтальнозвисотиH = 10 мзпочатковоюшвид-

кістю V1 = 4 м/с. Одночасно друге тіло кинули вертикально вгору з поверхні Землі з точки, розташованої на відстані L = 2 м за горизонталлю

відточкикиданняпершоготіла. Визначити, яку початковушвидкістьV2 треба надати другому тілу, щоб тіла зіткнулися.

70.Тіло кинуте з початковою швидкістю V0 під кутом a до горизонту. Знайтишвидкістьтілаунайвищійточціпідняттяівточційогопадіння нагоризонтальнуплощину.

71.Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло, щоб висота підняття була в n = 2 рази більша від дальності польоту?

72.Тіло кинули під кутом α = 30° до горизонту з початковою швид-

кістю V0 = 9,8 м/с. На якій відстані від точки кидання буде тіло через t = = 0,5 с?

73.Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло, щоб горизонтальна дальність польоту була вдвічі більша за висоту підняття?

74.Доведіть, що дальність польоту тіла, кинутого під кутом α до горизонту, такаж, якідальністьпольотутіла, кинутогопідкутом90° – α.

75.З якою початковою швидкістю V0 слід вистрілити ракету під кутомα = 45° догоризонту, щобвонаспалахнулаунайвищійточцісвоєї траєкторії, якщо час горіння запалу ракети t = 6 с?

76.Камінь, який кинули з висоти h = 2,1 м під кутом α = 45° до горизонту, падає на Землю на відстані S = 42 м (у горизонтальному напрямку) від місця кидання. Знайти початкову швидкість каменя, час по-

льоту та максимальну висоту підняття над рівнем Землі. Визначити такожрадіускривизнитраєкторіїуверхнійточцітавточціпадіннякаменя на Землю.

77.Бомбардувальникпікіруєпідкутомα догоризонтузішвидкістю

V0. НаякійвідстанівідціліпілотповиненскинутибомбунависотіH, щоб вона влучила в неї?

78.З висоти h = 21 м над поверхнею Землі було кинуто камінь під кутомα = 45° догоризонту(вниз), івінупавнаЗемлюнавідстаніS = 15 м загоризонталлювідмісцякидання. Зякоюшвидкістюбулокинутокамінь

іскільки часу він летів?

79.Камінь кидають горизонтально з вершини гори, кут нахилу якої

до горизонту α. Визначити, з якою швидкістю V0 було кинуто камінь, якщовінупавнасхилнавідстаніL відвершини.

80.Чому дорівнюють тангенціальне і нормальне прискорення тіла, кинутогопідкутомдогоризонту, внайвищійточцітраєкторії?

81.Тіло кинуто під кутом 60° до горизонту. Знайти тангенціальне

інормальне прискорення тіла в початковий момент часу.

82.В який момент часу тангенціальне прискорення тіла, кинутого горизонтальнозпочатковоюшвидкістю19,6 м/с, дорівнюєнормальному?

83.Камінь кинуто горизонтально зі швидкістю 15 м/с. Знайти нормальне і тангенціальне прискорення каменя через 1,0 с після початку руху.

84.Знайтирадіускривизнитраєкторіїтіла, кинутогозішвидкістю20 м/с підкутом60° догоризонту, внайвищійточціпольоту.

85.Тіло кинуто зі швидкістю 14,7 м/с під кутом 30° до горизонту. Знайти нормальне і тангенціальне прискорення тіла через 1,25 с після початкуруху.

86*. Снаряд вилітає зі ствола гармати зі швидкістю 103 м/с під кутом60° догоризонту. Знайтинайкоротшувідстаньвідгарматидоточки, в якій снаряд розірвався, якщо відомо, що в момент розриву снаряда вектор його швидкості складав з горизонтом кут 45°. Опором повітря знехтувати (g = 10 м/с2). Відповідь виразити в км.

87*. Ціль, розміщенунапагорбі, виднозмісцярозташуваннягармати під кутом β над горизонтом. Відстань за горизонталлю від гармати доцілідорівнюєL. Стрільбуведутьпідкутомα догоризонту. Визначити

швидкість V0 снаряда, що влучає в ціль.

88*. Яку початкову швидкість повинен надати м'ячу футболіст при

виконанніодинадцятиметровогоштрафногоудару, щобм'ячпотрапивпід верхнюперекладку футбольнихворіт? Початковашвидкістьм'ячаспрямована під кутом α = 30° до горизонту, висота воріт h = 2,8 м.

0= 12 м/с, і через t =

=0,5 свінперетнувлініюворітзішвидкістю10 м/с. Наякійвисотіh м'яч

улетів у ворота?

90*. Камінь кинули зі швидкістю V0 під кутом α до горизонту. Пролетівши за горизонталлю відстань S, він влучив у стовбур дерева. Ви-

значити, на якій висоті від землі це сталося.

91*. З поверхні довгої рівної гори, нахиленої під кутом α = 30° до горизонту, кинули камінь у горизонтальному напрямі зі швидкістю V0 =

=20 м/с. Визначити час t польоту каменя.

92*. Кулькавільнопадаєвертикальнонапохилуплощину. Пролетівшивідстань1,0 м, вонапружновідскакуєівдругепадаєнацюжплощину. Знайтивідстаньміжточкамидотикукулькиіплощини, якщоплощина утворює з горизонтом кут 30°.

93*. Кулька вільно падає і, пролетівши відстань H = 9,8 м, абсолютно пружно співударяється з поверхнею похилої площини. Відразу після удару напрям руху кульки був горизонтальний. Через який час кулька зновувдаритьсяопохилуплощину?

94*. Кулька падає на похилу площину, пролетівши висоту h = 2 м, і пружно відскакує. На якій відстані від місця падіння вона знову вдариться обту ж площину? Кут нахилу площини до горизонту α = 30°.

95*. Тіло падає з висоти H без початкової швидкості. На висоті h воно абсолютно пружно відбивається від площадки, розташованої під кутом α = 30° до горизонту. Визначити висоту підняття тіла над точкою удару об площадку.

96*. М'яч падає з висоти 1 м, два рази вдаряється об похилу дошку. Відстань між точками удару м'яча об дошку 4 м. Удар м'яча в дошку абсолютно пружний. Опором повітря знехтувати. Визначити: кут між дошкою і горизонтом; рівняння траєкторії м'яча; радіус кривизни його траєкторіївточцінайбільшогопідняттяпісляпершогоудару.

97*. Пружна кулька падає на похилу стінку, пролетівши перед тим висоту h = 20 см. На якій відстані S від місця падіння вона вдариться об стінку вдруге? Кут нахилу стінки до горизонту β = 37°.

98*. Тіло падає з висоти 4 м. На висоті 2 м воно пружно вдаряється