Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
Непосредственно из определений получаем следующие два свойства:
10.
Для
любых не равных одновременно нулю целых
чисел a1
, … , an
и произвольной перестановки (i1
, … , in)
символов 1, … , n справедливо равенство
НОД(a1
, … , an)
= НОД(
).
20. Для любых чисел a, b Z, не равных одновременно нулю, справедливы равенства НОД(a, b) = НОД(–a, b) = НОД(a, –b).
Эти равенства легко следуют из общего принципа: если множества общих делителей чисел a1 , … , an совпадает с множеством общих делителей чисел b1 , … , bm , то совпадают и наибольшие элементы этих множеств: НОД(a1 , … , an) = НОД(b1 , … , bm).
30.
Для
любых ненулевых целых чисел a1
, … , an
произвольной перестановки (i1
, … , in)
символов 1, … , n справедливо равенство
НОК[a1
, … , an]
= НОК[
].
40. Для любых чисел a, b Z \ {0} справедливы равенства НОК[a, b] = НОК[–a, b] = НОК[a, –b].
Аналогично предыдущему, всё следует из общего принципа: если множества общих кратных чисел a1 , … , an совпадает с множеством общих кратных чисел b1 , … , bm , то совпадают и наименьшие элементы этих множеств: НОК(a1 , … , an) = НОК(b1 , … , bm).
50. Если a, b Z и a | b, то НОД(a, b) = |a| .
Действительно, |a| | a, |a| | b и значит, |a| (a, b) |a| , т.е. (a, b) = |a| .
60. Если a, b Z и a | b, то НОК[a, b] = |b| .
Действительно, a
| |b|,
b
| |b|
и |b|
[a,
b]
|b|
, т.е. [a,
b] = |b| .
70. Для любых чисел a, b Z, не равных одновременно нулю, и произвольного t Z справедливы равенства
НОД(a, b) = НОД(a, b – at) = НОД(a – bt, b).
В самом деле, если
d = (a, b),
то d | a, d | b
и значит,
по свойствам делимости нацело, d
| (b – at),
т.е. d
(a, b – at)
= D.
Обратно,
если
D
| a
и
D | (b – at),
то
D
| b = (b – at) + at.
Значит,
D
d = (a, b)
D,
т.е.
d
= D
. Второе
равенство проверяется аналогично.
80. Любой общий делитель d не равных одновременно нулю целых чисел а, b делит их наибольший общий делитель D = НОД(a, b).
Достаточно предполагать, что a b > 0 (?!). Рассуждая от противного, выберем наименьшее натуральное число а, для которого утверждение не верно. Ясно, что a > 1, т.к. при a = 1 общими делителями чисел a, b будут только ±1 | НОД(1, b) = 1.
Рассмотрим число a1 = a – b. По доказанным выше свойствам (a1 , b) = = (a, b) = D , d – общий делитель чисел a1 и b, причём 0 а1 < a. Поэтому, ввиду выбора a, верно d | (a1 , b) = D.
90. Любое общее кратное K ненулевых целых чисел а, b делится на их наименьшее общее кратное k = [a, b].
Будем рассуждать от противного. Если K не делится на k , то деля с остатком, получим K = kq + r, где 0 < r < k. Поскольку K и k – общие кратные чисел a и b, число r также является общим кратным чисел a и b (?!) вопреки минимальности наименьшего общего кратного k.
100. Для любых натуральных чисел a, b справедливо равенство
НОК[a,
b] =
.
Пусть D
= (a,
b),
a
= Da1
, b
= Db1
, где a1
, b1
– натуральные
числа. Докажем, что целое число K
=
=Da1b1
является наименьшим общим кратным
чисел a, b.
Действительно, во-первых, K
= ab1
= ba1
является
общим кратным чисел a,
b. Во-вторых,
если k
– наименьшее общее кратное, то k
= am
= bn
для некоторых
целых чисел m,
n , причём
m
b1
и n
a1
(т.к. k
K).
Пусть b1
= mq
+ r
– формула
деления с остатком. Тогда из a1m
= b1n
имеем Da1r
= Da1b1
– Da1mq
= a(b1
– mq)
= b(a1
– nq)
делится на
а
и на b,
т.е. является общим кратным чисел а,
b.
При этом Da1r
< Da1m
= k
. Это возможно
только при r
= 0, значит,
b1
= mq
и a1
= nq,
т.е. числа а
и
b
делятся на
Dq
d.
Поэтому, q
= 1 и
K
= k
– наименьшее
общее кратное, что и требовалось
доказать.
110. Для любых целых чисел a, b справедливо равенство
НОК[a,
b] =
.
Замечание.
Обобщение
НОК[a1
, … , аn]
=
доказанной
формулы на случай любого числа сомножителей
неверно.
Придумайте контрпример и исправьте
формулу.
120. Для любых не равных одновременно нулю целых чисел a1 , … , an–1 , an справедлива формула (a1 , … , an) = ((a1 , … , an–1), an).
Действительно, пусть Dn = (a1 , … , an), Dn–1 = (a1 , … , an–1). Тогда Dn делит все числа a1 , … , an–1 , а значит, Dn | Dn–1 . Кроме того Dn | an , так что Dn | (Dn–1 , an). Поскольку (Dn–1 , an) – общий делитель чисел a1 , … , an (?!), имеем (Dn–1 , an) | Dn и окончательно Dn = (Dn–1 , an), что и требовалось доказать.
130. Для любых не равных одновременно нулю целых чисел a1 , … , an–1 , an справедлива формула (a1 , … , an) = (((…((a1 , a2), a3), … ), an–1), an).
Упражнения: 1. Докажите, что
a1 , … , an Z \ {0} [a1 , … , an] = [[a1 , … , an–1], an],
и значит, [a1 , … , an] = [[[…[[a1 , a2], a3], … ], an–1], an].
2. Верно ли, что
a, b, c Z \ {0} (ac, bc) = (a, b)c [ac, bc] = [a, b]c ?
3. Верно ли, что a, b Z \ {0} (a2, b2) = (a, b)2 [a2, b2] = [a, b]2 ?
4. Верно ли, что a, b, c Z \ {0} [(a, b), c] = c (a, b, c) = (a, b) ?