1.4 Скорость и ускорение точки при векторном и координатном способах изучения движения точки

Вспомним, что такое скорость точки? Какая единица ее измерения? Правильно, см/с, м/с, км/час; расстояние, деленное на время – это определение скорости вам знакомо из школьного курса. – эта формула примениматолько при равномерном движении. В общем случае примем такое определение скорости.

Скорость точки – это векторная величина, характеризующая в каждый момент времени быстроту и направление изменения положения точки в данной системе отсчета.

Для определения скорости точки рассмотрим два ее последовательных положения. Пусть М и М₁ (рис. 1.10) будут два последовательных положения точки в моменты времени t и t+Δt. Вектор , соединяющий начальное и конечное положения точки, называетсяперемещением точки за промежуток времени Δt, т. е.

.

Отношение есть средняя скорость точки за промежуток времениΔ t, т. е.

.

Этот вектор направлен по вектору , т. е. по хордеММ₁. Скорость точки в данный момент, или просто скорость точки – это предельное значение средней скорости, когда Δt стремится к нулю, т. е.

.

Согласно дифференциальному исчислению, этот предел является векторной производной радиуса-вектора по времени, т. е.

. (1.7)

Скорость точки равна первой производной по времени от радиуса-вектора точки. Вектор скорости точки направлен по касательной к ее траектории в сторону движения, т. к. граничным положением вектора при Δ t → 0 есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора (к траектории точки) (рис. 1.10).

В общем случае движение точки происходит с переменной по величине и направлению скоростью. Чтобы охарактеризовать изменение скорости, вводят величину, характеризующую быстроту изменения скорости – ускорение.

Ускорение, измеряет изменение скорости как по величине, так и по направлению.

Как известно из курса математики, скорость изменения некоторой функции есть производная от этой функции.

Поэтому ускорение точки равно векторной производной по времени от вектора ее скорости

. (1.8)

Если учесть формулу (1.7) для скорости, получим

. (1.9)

Ускорение точки равно второй производной по времени от радиуса-вектора точки.

Чтобы ответить на вопрос куда направлен вектор ускорения, надо построить годограф вектора скорости. Для простоты рассмотрим частный случай, когда точка движется равномерно по окружности (рис. 1.11,а). Отложим вектора скорости идля положения точекМ и М₁, которое заняла точка за промежуток времени Δ t, из общего полюса О (рис. 1.11,б). Концы векторов и(точкиN и N₁) располагаются на годографе скорости. Геометрическая разность имеет направление хорды к годографу скорости. ОтношениекΔ t – это среднее ускорение точки за время Δ t. При стремлении Δ t к нулю вектор в пределе займет положение касательной к годографу скорости.

Отсюда следует, что вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.

Для вычисления скорости и ускорения по заданным уравнениям движения в декартовых координатах воспользуемся формулой радиуса-вектора (1.3).

Дифференцируя обе части этого равенства по времени и учитывая, что вектора постоянны по величине и направлению, по правилам дифференцирования суммы произведений получим следующее:

(1.10)

С другой стороны, векторы имогут быть представлены в виде:

(1.11)

Поэтому имеем следующее:

1) проекции вектора скорости на неподвижные оси координат равны производным по времени от соответствующих координат: ;

2) проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат: .

Величина вектора скорости равна

. (1.12)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами углов, составляемых им с осями координат:

. (1.13)

Величина вектора ускорения равна:

. (1.14)

Направление вектора ускорения определяется косинусами углов. составляемых им с осями координат:

. (1.15)