2.3 Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси. Скорость и ускорение тела

Вращательным движением тела вокруг неподвижной оси называют движение, при котором остаются неподвижными хотя бы две его точки. Ось, проходящая через эти точки, называется осью вращения.

Для определения положения вращающегося тела в любой момент времени проведем через ось вращения О₁О₂ неподвижную плоскость Н и подвижную плоскость П, связанную с телом (рис. 2.5,а). В начальный момент времени эти плоскости совпадали.

Положение тела в любой момент времени однозначно определяется взятым с соответствующим знаком углом φ между плоскостями H и П. Будем считать угол φ положительным, если с оси z видим, что вращение тела происходит против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Угол φ измеряется в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени, т.е.

. (2.4)

Уравнение (2.4) выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Кинематические характеристики тела, вращающегося вокруг оси – угловая скорость и угловое ускорение.Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота тела φ, поэтому:

. (2.5)

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости тела , поэтому:

, (2.6)

, – алгебраические величины, т. к. могут иметь знак «+» или «–».

Если угловая скорость и угловое ускорениеимеют одинаковые знаки, то вращение ускоренное (рис. 2.6,а), а если разные, то замедленное (рис. 2.6,б).

Рисунок 2.6

Вектора угловой скорости и углового ускорения лежат на оси вращения, прикладывают их в любой точке оси, то есть , – это скользящие вектора:

, ,

где – единичный вектор оси вращения.

В таблице 1.2 представлены частные случаи вращательного движения тела.

Таблица 1.2 – Частные случаи вращательного движения тела

№ n/n	Угловое ускорение	Угловая скорость	Угол поворота	Название движения
1				Равнопеременное вращение
2				Равномерное вращение
3				Вращение с переменным ускорением

На практике угол поворота измеряют оборотами, а угловую скорость измеряют числом оборотов в минуту, . Свяжем угловую скорость,с оборотами в минуту.n оборотов соответствуют радиан, в минуте 60 секунд, поэтому.

2.4 Скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

2.4.1 Скорости точек тела

Изобразим вид вращающегося тела (рис. 2.5) сверху, с оси z. Рассмотрим точку А тела, которая находится на расстоянии h от оси вращения OA = h (рис. 2.5,б). При вращении тела точка А будет описывать окружность радиусом h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения z, а центр О лежит на самой оси. Если за время t тело повернется на угол φ, то точка А при этом совершит вдоль своей траектории перемещение S = φ · h.

Вопрос. Каким способом в данном случае задано движение точки А?

Ответ. Естественным.

Покажем естественные оси координат (рис. 1.12): касательную Аτ и главную нормаль Аn, на рис. 2.5,б. Ось бинормаль нам не понадобится, т.к. траектория точки – плоская кривая (окружность, радиусом ОА = h).

Как известно, (см. тему 1), проекция скорости точки на касательную равна , гдеS = φ · h.

Поэтому

(2.7)

Скорость V называют линейной или окружной скоростью точки.

Численное значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению модуля угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлен вектор скорости по касательной к окружности, описываемой точкой, перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку А.

Сравним скорости точек А и В (рис. 2.5,б). Используя формулу (2.7), имеем ,. Тогда

, (2.8)

поскольку на угловую скорость тела можно сократить.

Получаем закон распределения скоростей точек тела.

Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорциональны их расстояниям до оси вращения.
Поле скоростей точек вращающегося тела показано на рис. 2.7: чем дальше точка от оси, тем больше ее скорость.	Рисунок 2.7