1.3 Способы задания движения точки
|
Основной задачей кинематики точки после установления уравнений движения точки по отношению к выбранной системе отсчета является определение ее кинематических характеристик: – скорости точки; – ускорения точки. |
Рассмотрим
три способа описания движения точки
(рис. 1.5).
Векторный*)
способ
Изучаем
движение точки М
(рис.1.6) по отношению к наблюдателю,
находящемуся в точке О.
Поместим в точку О
начало радиуса-вектора
.
При движении точкиМ
этот радиус-вектор изменяется как по
модулю, так и по направлению, однозначно
определяя положение движущейся точки.
Каждому моменту времени t
соответствует определенное значение
.
Следовательно, кинематическое уравнение движения точки в векторной форме выражается формулой (1.1):
, (1.1)
где
– дважды дифференцируемая функция от
времени.
Траекторией
точки
называется геометрическое место
положений движущейся точки в рассматриваемой
системе отсчета, т.е. линия, соединяющая
концы радиуса-вектора
этой точки (рис. 1.6).
|
Кривую,
которую описывает конец вектора при
условии, что его начало находится в
одной точке, называют годографом этого
вектора. Следовательно,
траектория является годографом
радиуса-вектора
|
.
Координатный способ
Способ состоит в том, что задается какая-либо система координат, связанная с телом отсчета, и координаты движущейся точки как функции времени.
В случае прямоугольной
декартовой системы координат положение
точки в пространстве определяется
координатами
(рис. 1.7). Поэтомукинематические
уравнения движения точки в декартовых
координатах
имеют следующий вид:
.
(1.2)
Эти
уравнения, вместе с тем, являются
уравнениями
траектории точки в параметрической
форме с параметром t.
Чтобы
получить уравнение траектории в явном
виде, надо, если это возможно, исключить
параметр t
из уравнений (1.2).
Связь между векторным и координатным способами (рис. 1.7) имеет следующий вид:
,
(1.3)
где
– орты (единичные векторы) системы
координат
.
Уравнения движения могут быть представлены и в других системах координат [3] (рис. 1.5).
Естественный способ
Если траектория точки заранее известна, то для определения закона ее движения в пространстве достаточно задать:
а) траекторию (кривую или прямую);
б) начало отсчета дуговой координаты (точка О, рис. 1.8);
в) направление положительного отсчета дуговой координаты;
г) положение точки на траектории – дуговую координату, отсчитываемую от выбранной точки отсчета.
При
движении точки М
дуговая координата S
изменяется с течением времени, т.е.
,
(1.4)
где
– дважды дифференцируемая функция.
Естественным
способом можно задать, например, движение
трамвая, считая его точкой; трамвайное
депо, точка О
– начало отсчета дуговой координаты.
Не следует смешивать 
с длиной пути
,
пройденного движущейся точкой. Путь –
это расстояние, пройденное точкой за
рассматриваемый промежуток времени,
это монотонно возрастающая функция
времени.
Закон
движения точки по траектории может быть
задан не только аналитически, но и
графически, т.е. в виде кривой, построенной
на плоскости 
,
выражающей зависимость
.
Это график движения. Кривая, построенная
на плоскости
,
выражающая зависимость
– график пути. Для сравнения на рис. 1.9
приведены такие графики в случае простого
колебательного движения точки по прямой
,
тогда
.
Чтобы
установить связь между естественным и
координатным способами, воспользуемся
формулой элемента дуги из курса
дифференциальной геометрии:
. (1.5)
Тогда закон движения точки будет иметь следующий вид:
. (1.6)
Выбор знака перед корнем эквивалентен выбору направления отсчета дуговой координаты на участках неизменного направления движения точки по ее траектории.
Примечание. В механике производная по времени обозначается точкой над функцией:
.