2.4.2 Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Для нахождения ускорения точки А (рис. 2.5) воспользуемся формулами ускорения для естественного способа задания движения точки (1.26). , где

, . (2.9)

В нашем случае берем производную по времени от (2.7), чтобы найти :

. (2.10)

Численное значение касательного ускорения точки (его еще называют вращательным) равно произведению модуля углового ускорения тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

. (2.11)

Вектор направлен по касательной к окружности, которую описывает точка, в зависимости от направления углового ускорения (рис. 2.8, а, 2.8, б). В формуле нормального ускорения (2.9) радиус кривизны траектории , т. е. равен расстоянию от точки до оси вращения. Поэтому, с учетом (2.7), имеем:

. (2.12)

Нормальное ускорение точки (его еще называют центростремительным) равно произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлен вектор всегда по радиусу от точки А к центру окружности О (поэтому это центростремительное ускорение) (рис. 2.8).

Полное ускорение точки А, согласно теореме Пифагора, равно диагонали прямоугольника, построенного на векторах и (рис. 2.8), т.е.

. (2.13)

Вектор полного ускорения составляет угол µ с радиусом АО, тангенс которого согласно (1.31) равен:

,

. (2.14)

Так как в каждый момент времени идля всех точек имеют одно и то же значение (ведь это кинематические характеристики тела), имеем (рис. 2.8,в):

. (2.15)

Ускорения точек вращающегося вокруг неподвижной оси тела прямо пропорциональны их расстояниям до оси вращения и образуют один и тот же угол (2.14)с радиусами, описываемых точками окружностей.

Самостоятельно. Как вращаются колеса, изображенные на рис. 2.9: ускоренно, замедленно или равномерно?

2.4.3 Векторные формулы скорости и ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку М, принадлежащую телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, с угловой скоростью и угловым ускорением(покажем эти вектора на оси вращения) (рис. 2.10).

Соединим точку М радиусом-вектором с некоторой точкой О оси. . Рассмотрим векторное произведение.

Вспомним, чему равен модуль векторного произведения:

, но ,

т. е. модуль этого вектора равен модулю скорости точки М.

Как направлен вектор векторного произведения? Перпендикулярно плоскости, в которой расположены сомножители, т.е. перпендикулярно плоскости ОСМ; значит перпендикулярно СМ, т.е. по касательной к окружности, которую опишет точка М. Именно таким и будет вектор скорости точки М.

Вывод.

Вектор скорости точки равен векторному произведению вектора угловой скорости тела и радиуса-вектора этой точки, проведенного из любой точки О оси вращения: . (2.16)

Это формула Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.).

Возьмем производную по времени от обеих частей формулы (2.16):

.

Рассмотрев произведения и, нетрудно убедиться в том, что это известные нам составляющие ускоренийи .

, (2.17)

где – вектор касательного ускорения.

Действительно, модуль , направлен векторперпендикулярно плоскостиОСМ, т.е. по касательной к окружности в зависимости от направления вектора .

, (2.18)

где – вектор нормального ускорения.

Действительно, модуль , направлен этот вектор перпендикулярно плоскости, в которой расположены вектора и , т.е. по радиусуМС от точки М к точке С.

Формулы (2.16), (2.17), (2.18) являются более информативными, т.к. без каких-либо оговорок о величине и направлении скорости и ускорении точек позволяют их определять, зная ответ на вопрос: чему равно векторное произведение векторов.