Тема 3 плоско-параллельное движение тела

3.1 Способ изучения движения

Плоско-параллельным называют такое движение тела, при котором каждая его точка движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Примеры. 1. Все точки любого круглого сечения катящегося цилиндра остаются в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости Н (рис. 3.1)

Рисунок 3.1

2. Все звенья кривошипно-шатунного механизма (рис. 3.2) движутся, оставаясь в одной плоскости. Какие движения выполняют кривошип ОА и ползун В, мы знаем?... ОА вращается вокруг оси О, ползун В движется поступательно. Шатун АВ совершает …? плоское движение.

Рисунок 3.2

Пусть имеем тело (рис. 3.3), которое совершает такое движение, при котором его любое сечение S остается в плоскости П, параллель­ной некоторой неподвижной плоско­сти Н. Если мы знаем траекторию точки А в плоскости П, вопрос: какие точки тела движутся так же, как и точка А? Ответ. Все точки, находя­щиеся на перпендикуляре к плоско­сти Н (А, А1, А2,…).

Рисунок 3.3

Отсюда вывод: нет необходимости изучать движение всего тела! Достаточно изучить движение сечения S в своей плоскости П.

В дальнейшем будем изображать плоскость П и сечение S в произ­вольный момент времени (рис. 3.4).

3.2 Уравнения движения тела

Плоско-параллельное движение будем называть плоским, т.к. по движению сечения S в плоскости Оxy будем судить о плоско-параллельном движении всего тела.

Покажем, что плоское движение есть синтез двух движений. Для этого покажем сечение S в двух положениях: I и II (рис. 3.4).

Положение II можно получить таким образом:

– переместить фигуру S сначала поступательно, оставив прямую АВ параллельно своему положению I, т.е. точка А попадет в точку А_II, а точка В в точку В^';

– затем повернуть сечение S вокруг оси А_II z на угол α₁. В этом случае точку A называют полюсом.

Есть другой вариант:

– переместить фигуру S поступательно вместе с точкой В, при этом точка В попадет в точку В_II, а точка А – в точку А^';

– затем повернуть сечение S вокруг оси В_II z на угол α₂. В этом случае точка В является полюсом.

Нетрудно убедиться в том, что углы α₁ и α₂ одинаковы по величине и направлению. Траектории точек А и В при этом разные, т.е. поступательная часть движения зависит от выбора полюса.

Вывод. Всякое перемещение плоской фигуры в своей плоскости (а, следовательно, и всякое плоско-параллельное перемещение твердого тела) можно себе представить как совокупность двух перемещений:

1) поступательного перемещения, зависящего от выбора полюса, и

2) вращательного перемещения вокруг оси, проходящей через полюс, перпендикулярно плоскости движения; угол и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Как задать уравнения плоского движения тела?

Положение плоской фигуры S в любой момент времени определяется положением отрезка АВ. Для этого надо задать положение, например, точки А, т. е. координаты (х_А; у_А) (рис. 3.5).

Рисунок 3.5

Положение точки В опреде­ляется также двумя координатами, но поскольку расстояние между точками А и В остается неизмен­ным, вместо четырех координат (хА; уА; хВ; уВ) нужны только три независимые параметра. Третьим параметром может быть угол φ. φ – угол поворота отрезка АВ вокруг оси Аz. Таким образом, уравнения (3.1) являются кинематическими уравнениями движения плоской фигуры. . (3.1)

Рассмотрим частные случаи:

1. Пусть плоская фигура движется так, что

. (3.2)

В этом случае отрезок АВ будет параллельным своему первоначаль­ному положению, т.е. плоская фигура совершает поступательное движение.

2. Пусть плоская фигура движется так, что

. (3.3)

В этом случае плоская фигура вращается вокруг оси, проходящей че­рез точку А и перпендикулярной к плоскости Оху, т. е. Аz.

Вспомним основную задачу раздела «Кинематика» (рис. 2.2): по данным урав­нениям движения (в данном случае это уравнения 3.1) надо, во-первых, опре­делить скорость и ускорение тела, а затем скорости и ускорения точек этого тела.

Перейдем к решению первой части задачи.