Алгебраїчний матеріал в курсі математики 3-го класу.

Програмою з математики передбачається ,що учні початкової школи повинні отримати початкові уявлення про математичні вирази, числові рівності та нерівності, познайомитися з буквеною символікою, із змінною, навчитися розв’язувати нескладні рівняння та нерівності, набути вмінь розв’язувати деякі прості та складені задачі за допомогою рівнянь.

Мета вивчення алгебраїчного матеріалу полягає в більш глибокому розкритті арифметичних понять, в доведенні узагальнень учнів до високого рівня, а також у підготовці до подальшого засвоєння курсу алгебри.

Таким чином ,вивчення елементів алгебри в початковому навчанні математиці тісно пов’язано з вивченням арифметичного матеріалу. Це виявляється, наприклад, у тому що рівняння і нерівності розв’язуються без застосування алгебраїчного апарату (теорем про рівносильність рівнянь), а використовуючи властивості арифметичних дій, на підставі взаємозв’язку між компонентами та результатами арифметичних дій.

Основними алгебраїчними поняттями є “рівність”, ”нерівність”, ”вираз”, ”рівняння”. Означень цих понять в курсі математики початкової школи не дається. Учні засвоюють їх на рівні уявлень в процесі виконання спеціальних вправ.

Зміст алгебраїчного матеріалу

Математичні вирази

Нерівності

Рівності

Числові

Буквені

Числові

Рівняння

Числові

Із змінною

Математичні вирази: числові .

Основними задачами при вивченні математичних виразів є:

• навчити читати та записувати математичні вирази;

• навчити знаходити значення математичних виразів;

• навчити виконувати тотожні перетворення;

• навчити порівнювати математичні вирази;

• навчити складати вираз за текстом будь-якої простої або складеної задачі.

Математичний вираз – це запис, який складається із чисел та букв, які з’єднані знаками арифметичних дій та дужками. Наприклад :

3*2+24:6 а + 5*12 в:( 11-6 )

Якщо запис складається лише тільки із чисел, які з’єднані знаками арифметичній дій та дужками – це числовий вираз.

В 3-му класі учні уперше зустрічаються з математичними виразами, які містять три арифметичні дії. Наприклад:

32 – 24 + 64 : 8

8 * 9 – ( 42 – 7 )

56 : 8 + 64 : 8

24 – 18 : 3 + 7

8 * 2 – 6 : 2,

між тим, як у другому класі вивчалися вирази, які містили не більше двох арифметичних дій.

Знаходження значень математичних виразів.

В 2-му класі учня познайомилися з математичними виразами, які містили дві арифметичні дії різних ступенів , а також виразами, в яких числа поєднані знаками арифметичних дій множення та ділення; знаходили значення виразів з дужками. Але правила порядку дій не були введені.

З правилами порядку виконання дій у виразах учні знайомляться в 3-му класі. Звичайно це відбувалося під час вивчення теми „Таблиці множення та ділення”.

1. Якщо у виразі без дужок є тільки додавання та віднімання, тоді їх виконують в тому порядку ,в якому вони записані: 40-12+8=36 57-9-20=28

2. Якщо у виразі без дужок є тільки множення та ділення, тоді їх виконують в тому порядку, в якому вони записані: 24:4:3=2 12:3*2=8 2*2*7=28

3. Якщо у виразі немає дужок, тоді спочатку виконують по порядку множення та ділення, а потім додавання та віднімання: 24-8:4=22 4*3+2*6=24 20+4*7=48

4. Якщо у виразі є дужки ,тоді спочатку виконують дії в дужках: 35-(41-24) 36 :(13-9)

Вчитель звертає увагу учнів на важливість притримування цих правил при обчисленнях, інакше можна одержати невірну відповідь: 20 – 15:5,

• за правилами порядку дії ,отримаємо: 1)15:5=3, 2)20-3=17,тому 20-15:5=17;

• якщо не притримуватися правил: 1)20-15=5, 2)5:5=1, 20-15:5=1 – невірно.

Для закріплення правил порядку дій учням пропонуються завдання :

1. Розв’язок прикладів з поясненням порядку дій.

2. Пояснення помилок у порядку виконання дій (завдання на критику помилок).

3. Використовуючи дужки змінити порядок дій:

5+4*3 ( (5+4)*3 )

4. Вправи на прикладання всіх правил порядку дій.

5. Знайти значення виразів, у яких остання дія віднімання ( додавання й тощо):

8 – 8 : 2 32 + ( 17 – 8 ) 64 : 8 – 8

( 70 – 7 ) : 7 32 – ( 17 + 8 ) ( 64 – 8 ) : 8

6. В кожному виразі поставити дужки так, щоб його значення збільшилося:

1 + 8 * 4 24 – 18 : 2 + 7 24 : 8 – 2

32 : 8 – 4 42 – 24 : 3 + 3 7 * 3 + 6

При розв’язанні цього завдання учні повинні міркувати так:

1. Яка остання арифметична дія в даному виразі? (1 + 8 * 4 – остання дія додавання.)

2. Яка арифметична дія повинна бути останньою, якщо змінити за допомогою дужок порядок дій? ( 1 + 8 * 4 – остання дія повинна бути множенням.)

3. Як повинен змінитися один з компонентів, щоб значення збільшилося? ( Добуток збільшується, якщо один з доданків збільшується.)

4. Як за допомогою дужок змінити цей компонент? ( Можна збільшити перший множник, якщо взяти у дужки суму 1 та 8. (1 + 8 ) * 4.)

Так можна міркувати при розв’язанні 1-го та 3-го стовпчиків завдань:

(1 + 8) * 4 24 : (8 – 2)

32 : (8 – 4) 7 * (3 + 6)

Міркування при виконанні завдань 2-го стовпчика можуть бути такими:

1. Яка арифметична дія остання в даному виразі? (18 : 2 + 7– остання дія додавання.)

2. Які дії можуть бути останніми при змінені порядку дій? ( Або віднімання, або ділення.)

3. При якій арифметичній дії з двох визначених, отримуємо більший результат? ( При відніманні отримуємо більший результат, ніж при діленні.)

4. Отже, яка дія повинна бути останньою? ( Віднімання.)

5. Як треба змінити один з компонентів дії, щоб результат збільшився? ( Щоб різниця збільшилася, треба щоб або зменшуване збільшилося, або від’ємник зменшився.)

6. Який компонент можна змінити? ( Можна змінити від’ємник. Від’ємник повинен зменшитися.)

7. Як можна цього досягти? ( Щоб від’ємник 18 : 2 + 7 зменшився, треба щоб останньою дією було ділення і щоб значення частки було меншим. Значення частки буде меншим, якщо дільник збільшиться. Маємо: 18 : (2 + 7). )

8. Запиши відповідь. (24 – 18 : (2 + 7) )

7. Замість точок поставити такі знаки арифметичних дій, щоб отримати вірні рівності:

3...6...2= 9 25...5...4...2 = 22

9...3...9 = 36 9...3...6...2 = 6

При розв’язанні прикладів першого стовпчика треба:

1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку ( частки, суми або різниці). (3...6...2= 9 , 9 = 3 * 3.)

2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? ( Так, е перший множник 3.)

3) Подумай, за допомогою якої арифметичної дії , яку треба виконати між двома іншими числами, щоб отримати інший компонент дії? ( Треба 6 : 2 = 3.)

4) Запиши відповідь. (3 * (6:2 )= 9 або 3 * 6 : 2 = 9)

Аналогічними міркуваннями дістаємо відповідь на друге завдання першого стовпчика:

1. 36 = 9 * 4 = 9 * 3 + 9

2. Є множник 9.

3. За допомогою чисел 3 та 9 або 9 та 3 не можна отримати другий множник 4. Тому користуємося поданням числа 36 у вигляді суми: 9 * 3 + 9.)

Бачимо перший доданок можна отримати, якщо 9 помножити на 3, а другий доданок – це число 9.

4. 9 * 3 + 9 = 36

Розглянемо міркування при розв’язанні прикладів другого стовпчика:

1. Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку ( частки, суми або різниці). (25...5...4...2 = 22, 22 = 20 + 2.)

2. Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? ( так, є другий доданок 2.)

3. Подумай, як отримати інший компонент дії? ( 25 ... 5...4 = 20. 25 : 5 * 4 = 20)

4. 25 : 5 * 4 + 2 = 22

Аналогічно: 9...3...6...2 = 6

1. 6 = 3 * 2 , 6 = 3 + 3

2. Є множник 2.

3. Треба з чисел 9 ... 3 ... 6 = 3 – немає можливостей. Тому розглянемо суму: 6 = 3 + 3. Як отримати з чисел 9... 3 число 3 ? Дією ділення. Як отримати з чисел 6 та 2 число 3? Дією ділення.

4. 9 : 3 + 6 : 2 = 6.

8. Розставити дужки так, щоб рівності були вірними:

12 : 2 + 2 * 2 = 6 32 : 8 – 2 * 2 = 4 72-24:6+2=66 (72-(24:6+2)=66)

12 : 2 + 2 * 2 = 2 32 : 8 – 2 * 2 = 8

Розглянемо першу рівність:

1. Число 6 можна подати у вигляді : 6 = 3 * 2, 6 = 4 + 2.

2. У вигляді суми подавати число 6 не можна, тому що 12 : 2 не дорівнює 4. Отже будемо виходити з добутку: 6 = 3 * 2. Другий множник, число 2 ми маємо.

3. Подумаємо, як дістати перший множник 3? 12 : 2 + 2 – треба розставити дужки так, щоб отримати число 3: 12 : ( 2 + 2 ).

4. 12 : ( 2 + 2 ) * 2 = 6.

Аналогічно міркуємо при розв’язанні другого завдання:

1. 2 = 1 * 2 ( Ми не дістанемо 1 – 12 : 2 + 2.) 2 = 12 : 6

2. Є ділене 12.

3. Треба подумати, як з решти чисел і знаків дій отримати число 6: 2 + 2 * 2 = 6.

4. 12 : ( 2 + 2 * 2 ) = 2

Аналогічно:

32 : 8 – 2 * 2 = 4 (32 : 8 – 2) * 2 = 4

32 : 8 – 2 * 2 = 8 32 : ( 8 – 2 * 2 ) = 8

72-24:6+2=66 72-(24:6+2)=66

Порівняння числових виразів.

Вирази порівнюються декількома способами:

1. Знаходимо значення кожного виразу і порівнюємо отримані числа. Більше той вираз, значення якого більше. І навпаки.

2. Порівнюємо вирази, аналізуючи їх: 3+5 …3+4 - обидва вирази – суми; в обох сумах однакові перші доданки, значить більший той вираз у якого другий доданок більший: 5 більш ніж 4,тому 3+5 більше 3+4.

3. Перетворення виразу й порівняння виразів 2-им способом: 3*2 + 3 … 3*4

В 3-му класі учням пропонується порівняти вирази і число, при чому вирази містять кілька арифметичних дій. Наприклад:

56 : 7 – 7 ... 5

Зрозуміло, що порівняння даного виразу і числа відбувається першим способом: обчислюється значення виразу: 56 : 7 – 7 = 1. Порівнюється отри мане число з даним: 1 < 5. Робимо висновок: 56 : 7 – 7 < 5

Цікавим є завдання: підібрати такі числа, щоб нерівності були вірними:

5 * 8 > 5 * … 4 * 7 < … * 8

При розв’язанні цього завдання треба застосувати другий спосіб порівняння виразів:

5 * 8 > 5 * …

1. Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? ( Обидва вирази добутки.)

2. Порівняйте компоненти цих виразів? ( В них однакові перші множники. В них повинні бути різними другі множники , тому що значення першого виразу більше.)

3. Як треба змінити один з компонентів, щоб значення виразу зменшилося ( збільшилося)? ( Щоб добуток зменшився, треба щоб і другий множник зменшився. Отже другим множником буде число, яке менше за 8 – це 7 або 6 або 5 або 4 або 3 або 2 або 1 або 0.

4 * 7 < … * 8

1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? ( Обидва вирази добутки.)

2) Порівняйте компоненти цих виразів? ( В них різні другі множники . При чому більше число містить вираз, значення якого більше. Тому якщо ці вирази містимуть однакові перші множники, то значення другого виразу буде все одно більшим! Отже : 4 * 7 < 4 * 8)