Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения

Основные понятия:

дифференциальное уравнение; общий интеграл; порядок дифференциального уравнения; семейство кривых; однородные дифференциальные уравнения; линейное дифференциальное уравнение; метод Эйлера; характеристическое уравнение; определитель Вронского.

Основные понятия

Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Пример. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональностии, соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть – число жителей региона в момент времени. Прирост населенияза промежуток времениравен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е.. Обозначим. Полученное уравнение можно записать в виде. Если перейти к пределу при, получается уравнение. Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса, где– постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).

Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, связывающих между собой независимую переменную , искомую функциюи ее производные различных порядков по. Такие уравнения называютдифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального уравнения го порядка следующий:

,

(1)

где – некоторая функцияпеременных при, причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить,и отдельные производные порядков ниже чем. Дифференциальное уравнениего порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

,

(2)

где – некоторая функцияпеременной.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции и ее производныхи не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

,

(3)

Всякая функция , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называетсярешением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение – значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции , производная которой равна данной непрерывной функции– сводится к простейшему дифференциальному уравнению.

Общее решение этого уравнения есть функция , гдепроизвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции, можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример.Рассмотрим уравнение второго порядка .

Так как , то отсюда следует. Интегрируя последнее равенство, получим.

Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные и, т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение.Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое содержит столько независимых постоянных, каков порядок этого уравнения.

Предполагается, что функция в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции, не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Если общее решение задано в неявном виде , то оно обычно называетсяобщим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример.Рассмотрим уравнение второго порядка .

Решениями этого уравнения будут функции и, т.к.и. Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция, гдеи– произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить, а, то полученная функцияявляется частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример. Показать, что функция есть решение уравнения.

В самом деле, и.

Следовательно:

что и требовалось показать.