Степенной ряд

Степенным рядомназывается ряд вида:

,

(9)

где ‑ числовые коэффициенты,‑ фиксированное число и‑ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке. Множество всех точек, в которых ряд (9) сходится, называютмножеством сходимостиряда (9).

Пример.Ряд сходится абсолютно при, т.к.присходится. Если же, тоне стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости рядаявляется.

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е. точкой. Число, равное половине длины промежутка сходимости, называютрадиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом:

1. , если такой предел существует;

2. , если такой предел существует.

Если в формулах 2. и 3. пределы равны 0, то . Если пределы равны, то.

Если ‑ конечное число, то промежутокпринадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точкии.

Пример.Ряд имеет радиус сходимости.

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Приполучаем ряд, который сходится по признаку Лейбница. Приполучаем ряд, который расходится. Таким образом, промежуток сходимости ряда – полуинтервал.

Пример.Ряд имеет радиус сходимости.Значит, интервал сходимости.

Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд, который сходится абсолютно. Приполучаем ряд, который также сходится. Значит, промежуток сходимости – отрезок.

Если функция в точкеимеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд:

(10)

Этот ряд называется рядом Тейлорадля функциив точке.

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна. Если сумма ряда (10) совпадает сна множестве, то можно написать:

(11)

В этом случае говорят, что на множестверазложена в степенной ряд (11). Справедливы следующие разложения:

, .

,

, .

, .

, .

При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения .

Пример.Разложить по степеням функцию.

Если обозначить , то, используя разложение, получаем:.

Поскольку разложение справедливо для, томожет быть любым действительным числом.

Пример.Разложить по степеням функцию.

Обозначив и использовав разложение, получим.

Это разложение справедливо для , посколькуможет быть любым числом.

Ряды Фурье

Рассмотрим функциональные ряды, суммы которых, в отличие от степенных рядов, имеют непустое конечное множество точек разрыва в области задания.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Другими словами, область ее определения можно разбить на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых:

1. функция ограничена и непрерывна во внутренних точках;

2. На концах каждого отрезка существуют конечные односторонние пределы ,.

Под интегралом функции понимается число.

Можно доказать, что для кусочно-непрерывной на отрезке функциисуществует обобщенная первообразная(,), и, следовательно,.

Функция называетсякусочно-дифференцируемой(иликусочно-гладкой) на, если производнаякусочно-непрерывна на отрезке.

Пусть функции икусочно-непрерывны на отрезке. Скалярное произведение этих функций можно определить как.

Можно показать, что произведение двух кусочно-непрерывных на отрезке функций есть функция кусочно-непрерывная на этом отрезке и, следовательно, ее определенный интеграл на этом отрезке существует.

Тогда ,.

Число называетсянормой функции.

Очевидны свойства скалярного произведения:

1. –свойство коммутативности или симметрии;

2. –свойство ассоциативности или сочетательности;

3. , причем .

Функции иназываютсяортогональными, если, при этом,.

Рассмотрим основную систему тригонометрических функций общего периода :

.

Функции ,и, называютсяосновными гармониками. Их графиками являются синусоиды с амплитудами соответственнои. Гармоникаи поэтому не рассматривается.

Лемма.Основные тригонометрические функции попарно ортогональны на любом промежутке, длина которого равна общему периоду этих функций, т.е. для стандартного отрезкасправедливы условия ортогональности:

1. при ;

2. при ;

3. .

Условия ортогональности проверяются непосредственным интегрированием, в ходе которого используются формулы тригонометрии:

1. ;

2. ;

3. .

Например, при :

1. 

,

т.к. при целых значениях;

2. 

;

3. 

Пусть – кусочно-непрерывная периодическая функция периода.

Можно попытаться провести т.н. гармонический анализ, т.е. представить эту функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник того же периода:

,

Таким образом, можно прийти к тригонометрическому ряду Фурье:

.

Коэффициент нулевой гармоники обычно берется с множителем .

Исторически эта задача впервые возникла при математической обработке результатов наблюдения высоты приливной волны, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания ее величины, что было весьма важно для мореплавателей.

Предположим, что ряд:

сходится на отрезке и допускает почленное интегрирование, в результате которого получится следующее:

Так как из условий ортогональности:

при , то получается.

Отсюда: .

Интересно отметить, что свободный член тригонометрического ряда Фурье представляет собой среднее значение периодической функции.

Если умножить левую и правую части ряда наи почленно проинтегрировать, то получится:

.

Предварительно, следует отметить, что:

,

т.е. .

Отсюда, в силу условий ортогональности, а также с учетом нормировки, получается:

.

Следовательно: , а значит, заменяяна(что по смыслу формул допустимо), можно получить:

Аналогично, умножая обе части ряда на и почленно интегрируя, получим:

.

В данном случае условие нормировки:

,

т.е. .

В силу условий ортогональности:

Следовательно, , а значит:

.

Числа иназываютсякоэффициентами Фурьефункции.

Тригонометрический ряд:

,

коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье данной периодической функции называется еетригонометрическим рядом Фурье, независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функцииили нет. В последнем случае говорят, что функцияпорождает ряд Фурье:

,

где знак ~ означает «соответствует».

Теорема сходимости. Пусть периодическая функция , определенная на, кроме, может быть, точек ее разрывов, и имеющая период, является кусочно–дифференцируемой (или кусочно–гладкой) на любом промежутке, длина которого равна периоду этой функции.

Тогда:

1. Ее тригонометрический ряд Фурье сходится для любого значения , т.е. существует сумма ряда Фурье

;

2. Сумма ряда Фурье равна функциив точкахее непрерывности=и равна среднему арифметическому пределов функциислева и справа в точкахразрыва функции, т.е.:

Поскольку, для точек непрерывности функцииможно записать, то в общем случае:

.

Таким образом, для тригонометрического ряда Фурье функции имеем:

,

где коэффициенты иопределяются по формулам:

.

Если принять, что период функции равен, т.е., то расчетные формулы значительно упрощаются:

где .