Основные понятия

При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость – одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

Пусть ‑ некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило), по которому каждому числуставится в соответствие единственное число, обозначаемое.Тогда говорят, что на множествезадана функцияи записывают:илиЧаще используют более простую терминологию: задана функция,.

Множество называютобластью определенияфункции. Множествоназываютмножеством значенийфункции. При этомназываютнезависимой переменнойили аргументом функции,–зависимой переменнойили значением функции, а–характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву (,,,и т.д.). Частное значение функциипризаписывается как.

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции.

При аналитическомспособе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множествоне указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическомспособе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскостиназывается геометрическое место точек, координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличномспособе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

• Функция называетсячетной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство. Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;

• Функция называетсянечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций – функция четная;

• Нулямифункцииназывают значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;

• Функция называетсяпериодической, если существует числотакое, что для каждого значения аргументаиз области ее определения выполняется равенство. Числоназываютпериодомэтой функции;

• Функция называетсявозрастающейна некотором промежутке, если для любых значенийиз этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.. Функцияназываетсяубывающейна некотором промежутке, если для любых значенийиз этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.. Как возрастающие, так и убывающие функции называютсямонотонными;

• Асимптотойграфика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу(вертикальная асимптота);

• Функция называетсяограниченной сверху(снизу), если существует числотакое, что для каждого значения аргументаиз области ее определения. Функцияназываетсяограниченной, если существует числотакое, что для каждого значения аргументаиз области ее определения;

• Функция называетсяобратнойпо отношению к, если при подстановке её вместо аргументаполучается тождественное равенство:;

• Если каждому значению переменной соответствует одно значение переменной, тоназываетсяоднозначнойфункцией от; если хотя бы некоторым значениям переменнойсоответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений, тоназываетсямногозначной(двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от.