6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье

Что нужно для того, чтобы ряд Фурье сходился, и сумма полученного ряда равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Определение 3. Функция называется кусочно–монотонной на отрезке, если этот отрезок можно разбить конечным числом точекна интервалытак, что на каждом из этих интервалов функция монотонна.

Вдальнейшем будем рассматривать кусочно–монотонные функции, имеющие разрывы только первого рода. Такие условия принято называтьусловиями Дирихле. у

О а b x

Теорема Дирихле. Пусть функция с периодомудовлет-воряет условиям Дирихле в промежутке. Тогда её ряд Фурье сходится в каждой точкеи сумма этого ряда

равна:

1. во всех точках непрерывности;

2. во всех точках разрыва;

3. на концах промежутка.

Замечание 2. Поэтому для разрывных функций иногда ряд Фурье пишут в виде .

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

при с периодом.у

х

Вычислим коэффициенты Фурье:

.

Ряд Фурье для данной функции имеет вид

.

6.3. Ряд Фурье для функций с периодом T = 2 l

Пусть функция , заданная на, является периодической с периодомT = 2 l. Введём новую переменную . Тогда

будет функцией с периодом и её можно разложить в ряд Фурье на, т.е.

а, возвращаясь к переменной x и учитывая, что , получим

(8)

Тогда ряд Фурье для этого случая принимает вид

. (9)

Пример 2. Периодическую функцию с периодомразложить в ряд Фурье.

По формулам (8) вычислим коэффициенты:

.

При этом, если ,

а если ,

и тогда

.

Лекция № 50

6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

6.4.1. Рассмотрим случай разложения в ряд Фурье четной функции. Воспользуемся свойством интеграла в симметричных пределах от четных и нечетных функций. Тогда для четной функции получим

и ряд Фурье принимает вид

.

6.4.2. Рассмотрим случай разложения в ряд Фурье нечетной функции. Аналогично получаем

и ряд Фурье принимает вид

.

Пример 1. Периодическую функцию с периодомT = 2 l, заданную на промежутке , разложить в ряд Фурье.

Так как функция четная, то ряд Фурье имеет вид

где

Тогда окончательно ряд Фурье этой функции примет вид

.

Из выражения для этого ряда, если положить , можно получить интересную формулу для приближенного вычисления числа:

.

6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье

Часто возникает задача о разложении в ряд Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле на , только в ряд по косинусам или только по синусам. В таких случаях поступают следующим образом:

6.5.1. Если требуется разложить в ряд Фурье по косинусам, то доопределяют так чтобы прии периодически продолжают на всю числовую ось. В этом случае говорят, что функция продолжена “четным“ образом и для неё

.

6.5.2. Если требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то доопределяют так чтобы прии периодически продолжают на всю числовую ось. В этом случае говорят, что функция продолжена “нечетным“ образом и для неё

.

Теперь рассмотрим общий случай.

6.5.3. Пусть функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле на , требуется разложить в ряд Фурье. Для этого функцию периодически с периодомпродолжают на всё числовую ось, а затем коэффициенты Фурье вычисляют по формулам:

y

Пример 2. Функцию ,

заданную на промежутке ,

разложить в ряд Фурье.

Вычислим коэффициенты Фурье

с учетом, что :

; O 1 3 x

;

Тогда ряд Фурье для данной функции примет вид