Тема 1: Статистические законы распределения выборки

1.1. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение наблюдалось , ,…, раз и объём выборки.

Наблюдаемые значения называютсявариантами. Количество наблюдений значенияназываетсячастотой, а величина отно-

сительной частотой.

Определение 2. Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот.

			…
			…

Если варианты выборки расположены в возрастающем порядке, то такое статистическое распределение называется вариационным рядом.

1. Рассмотрим случай дискретной СВ.

Определение 3. Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки:

Аналогично определяется полигон относительных частот.

Пример 1. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки

	2	4	5	6	8
	10	40	20	15	15

Здесь 10 + 40 + 20 + 15 + 15 = 100, а

w

0,4

0,2

0,1

0 2 4 5 6 8 x

2. Случай непрерывного распределения выборки.

В этом случае весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят - сумму частот вариант, попавших вi-ый интервал.

Определение 4. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотой  плотность частоты.

Аналогично определяется гистограмма относительных частот .

Из определения следует, что гистограмма относительных частот приближенно определяет плотность распределения вероятности случай-ной величины.

Пример 2. По данным распределения выборки построить гистограмму частот

i
1		10	2,5
2		20	5
3		50	12,5
4		12	3
5		8	2

Здесь 10 + 20 + 50 + 12 + 8 = 100, а

12,5

5,0

2,5

0 1 5 9 13 17 21 x

1.2. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение выборки. Введём обо-значения:  число вариант меньших x; n  объём выборки.

Определение 5. Эмпирическая функция распределения определяется формулой .

В отличие от эмпирической функции распределения функциюназывают теоретической функцией распределения. При достаточно больших значенияхn эмпирическая функция близка к теоретической, что следует из теоремы

Теорема. иимеет место

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки (приближенного выражения) теоретической функции распреде-ления генеральной совокупности.

Пример 3. Построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки.

	2	3	5
	5	20	25

Здесь п = 5 + 20 + 25 = 50, а

Тогда получим:

1. Если , то

2. Если , то

3. Если , то

4. Если , то

1

0,5

0,1

0 2 3 5 х