Лекция № 48

5.2. Разложение функций в степенные ряды

Как было показано ранее, сумма степенного ряда является непрерывной и дифференцируемой функцией в интервале сходимости. Допустим, что функция , которую будем представлять как сумму степенного ряда, удовлетворяет этим условиям в окрестности некоторой точки. Тогда её в окрестности этой точки можно представить в виде ряда

. (1)

Требуется найти коэффициенты . Положим в формуле (1) , получим. Продифференцируем выражение (1)

. (2)

Подставим в выражение (2) , получим.

Аналогично, дифференцируя п раз:

. (3)

Подставив значение в выражение (3), получим.

Тогда, окончательно

. (4)

Степенной ряд (4) называется рядом Тейлора функции в окрестности точки. Если положить, то получим ряд Маклорена

.

Каким условиям должна удовлетворять функция, чтобы её можно было разложить в ряд Тейлора? Воспользуемся формулой Тейлора

где . Из этой формулы следует: Если все производные функции ограничены в окрестности точки, т.е., то

и тогда , т.е. ряд (4) сходится.

Рассмотрим некоторые примеры разложений элементарных функций в ряд Тейлора при (ряд Маклорена):

Вычислим производные . Следовательно, получим ряд

. (5)

Область сходимости такого ряда была определена на предыдущей лекции (прим. 3): .

Аналогично получим

5.3. Применение рядов Тейлора

5.3.1. Приближенное вычисление значений функции.

Рассмотрим пример. Найти с точностью до 0,01 значение . Воспользуемся разложением функции , полагая

,

так как полученный числовой ряд является знакочередующимся.

5.3.2. Интегрирование с помощью степенных рядов.

Если интегралы не выражаются через элементарные функции, то путём разложения подынтегральной функции в ряд Тейлора и почленного инте-грирования можно получить выражение этого интеграла в виде степенного ряда. Например, рассмотрим функцию и представим её в виде степенного ряда, заменив в ряду (5), т.е.

.

Тогда

.

Таким же методом можно вычислять и определённые интегралы.

Например, вычислим интеграл Френеля с точностью до0,001.

Воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора, заменив в нёми проинтегрировав,

.

Так как , то.

5.3.3. Интегрирование дифференциальных уравнений.

Рассмотрим этот метод на примере. Найти четыре первых отличных от нуля членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию.

Решение ищем в виде

.

Тогда

Вычислим производные:

Подставим в ряд для полученные значения функции и её производных

.

5.3.4. Докажем знаменитую формулу Эйлера: , где мнимая единица.

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции

.

В этом ряду заменим . Тогда получим

С учетом разложений в ряд функций иполучим формулу Эйлера

.

Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье

6.1. Определение ряда Фурье

Определение 1. Функциональный ряд вида

(1)

где  коэффициенты ряда, называется тригоно-метрическим рядом.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом .

Рассмотрим задачу. Дана периодическая функция с периодом. Как и при каких условиях можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?

Пусть можно представить тригонометрическим рядом, т.е.

(2)

Будем считать, что ряд (2) сходится равномерно. Тогда его можно почленно интегрировать в промежутке . Определим коэффициенты ряда. Для этого проинтегрируем его в этом промежутке

. (3)

Все интегралы в правой части выражения (3), кроме первого, равны нулю. В силу чего получим

. (4)

Затем умножим ряд (2) на и опять проинтегрируем

(5)

Рассмотрим отдельно в выражении (5) интегралы:

Несложно вычислить

Тогда из выражения (5) следует

(6)

Аналогично, умножая ряд (2) на и интегрируя, получаем

(7)

Определение 2. Коэффициенты тригонометрического ряда (2), определяемые по формулам (4), (6), (7), называются коэффициентами ряда Фурье, а сам ряд (2) – рядом Фурье.

Замечание 1. Интегралы в формулах (4), (6), (7) можно вычислять по любому отрезку, длина которого равна , что следует из свойства инте-грала для периодической функции с периодомТ: .