Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

2.1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1)

(2)

Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, еслии ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Пусть исоответственно частичные суммы рядов (1-2), аQ  сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

.

Так как и ограничена, то, т.е. ряд (1) сходится.

Аналогично доказывается и вторая часть признака.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Сравним с членами ряда .

Начиная с , имеем.

Так как ряд сходится, то данный ряд также сходится.

На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.

Предельный признак сравнения. Если для двух рядов (1-2) с положи-тельными членами выполняется условие , то

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ,

который является расходящимся.

Тогда

а, следовательно, наш ряд расходится.

Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщённый гармонический ряд , который, как будет показано ниже, сходится прии расходится при.

Лекция № 46

2.2. Признак Даламбера

Теорема 1. Пусть для ряда с положительными членами сущест-вует конечный или бесконечный предел, тогда:

1. Если  ряд сходится;

2. Если  ряд расходится;

3. Если  ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.

Вначале докажем пункт 1. Из определения предела следует: выполняетсяили. Если , то можно указать такое, для которого выполняетсяи тогда. Таким образом, выполняются равенства:

. (1)

Из формул (1) следует, что ряд сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд.

Аналогично доказывается и случай 2. Здесь имеем , и выполняется неравенство, т.е. нарушается необходимый признак сходимости, следовательно, ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

т.е. ряд расходится.

2.3. Радикальный признак Коши

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Пусть для ряда с положительными членами сущест-вует конечный или бесконечный предел, тогда:

1. Если  ряд сходится;

2. Если  ряд расходится;

3. Если  ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

2.4. Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами .

Заменим в общем члене ряда натуральную переменнуюп вещественной переменной х. Получим функцию , для которой. Исходя из геометрического смысла определённого интеграла, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3. Если функция непрерывная и невозрастающая на, тогда:

1. Если интеграл сходится, т.е., то ряд сходится;

2. Если интеграл расходится, то ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Рассмотрим функцию. Для нее имеем

Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится, если и расходится, если. Легко убедиться,что признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости этого ряда.