2.3. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий , образующих полную группу событий. Будем называть ихгипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: и условные вероятности:. Тогда имеет место формула полной вероятности

Теорема 3.

(5)

Представим событие А в виде

.

Так как события попарно несовместны, т.е., то и.

Тогда по третьей аксиоме и теореме умножения вероятностей получим

.

Пример 4. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый станок выпускает 20%, из них – 5% брака, второй - 30% и 3% брака, третий - 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая вероятность того, что эта деталь бракована?

Пусть А - интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим события:

- деталь изготовлена на первом станке,

- деталь изготовлена на втором станке,

- деталь изготовлена на третьем станке,

Тогда по формуле (5) получим

2.4. Формула Бейеса

Условия такие же, как и для формулы полной вероятности. Пусть событие А произошло, тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.

Теорема 4. . (6)

По теореме умножения вероятностей имеем

и, с учетом формулы полной вероятности, получаем

.

Пример 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором находится бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая равна 0,1, легковая – 0,2. К заправке подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая.

Введём гипотезы:

- подъехала грузовая машина,

- подъехала легковая машина,

Тогда по формуле (6) получаем

Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний

3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли

Испытание – это осуществление определённых условий, в результате которых может произойти то или иное элементарное событие простран-ства E. Если число исходов испытания - m, то назовём событие  i-м исходом . Обозначими будем считать, что все

события образуют полную группу событий, тогда

Пусть произведено n испытаний.

Определение 1. Если исходы испытания в каждом опыте не зависят от предыдущих исходов, то испытания называются независимыми.

Например, при бросании игральной кости, исходы: выпало одно, два очка и т.д. не зависят от предыдущих очков – испытания независимые.

Рассмотрим случай (схема Бернулли). Положим, т.е..

Рассмотрим следующую задачу. Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с одной и той же вероятностью р. Требуется найти  вероятность того, что событие А появится k раз, а, значит, событие появитсяраз.

Рассмотрим в какой либо последовательности чередование событий А и так, чтобыА повторялось k раз, а событие появилосьраз. Это событие. По теореме умножения вероятностей получаем

.

По теореме сложения вероятностей равна сумме таких вероятностей для всех различных способов появлений событияА (k раз из п), т.е. их число . Поскольку все эти вероятности равны, то получаем формулу Бернулли

. (1)

Замечание 1. Так как все возможные исходы: событие А появилось 0 раз, 1 раз, … , п раз образуют полную группу событий, то

Пример 1. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.

Если  вероятность хотя бы одного попадания при двух выст-релах, то

,

тогда вероятность одного попадания и вероятность трёх попа-даний при четырёх выстрелах