8.2. Числовые характеристики двумерной св
Числовые характеристики составляющих двумерной СВ вводятся также как и для одномерной. Кроме таких числовых параметров вводятся и такие, которые характеризуют зависимость составляющих X и Y.
Определение 4. Ковариацией двумерной СВ называется
.
После простых преобразований можно получить
.
Очевидно,
.
Для дисперсии суммы ранее была получена
формула (лекция 64)
.
Тогда для
независимых СВ
.
Таким образом, если
,
то случайные величиныX
и Y
зависимы.
Для характеристики степени зависимости СВ X и Y используется коэффициент корреляции
.
Отметим его основные свойства.
1.
Если СВ X
и Y
независимы, то
.
Обратное, вообще говоря, неверно.
2.
Если
,
гдеА
и В
,
то
.
Действительно,
обозначим
,
тогда
и
После этого
получаем
3.
.
Замечание. Из определения и свойств коэффициента корреляции сле-дует, что он оценивает линейную связь между X и Y. При этом:
1.
функциональная линейная связь.
2.
статистическая зависимость.
3.
линейная связь отсутствует.
Пример 2. Закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) задан таблицей
|
Y X |
3 |
10 |
12 |
|
4 |
0,17 |
0,13 |
0,25 |
|
5 |
0,1 |
0,3 |
0,05 |
Найти законы распределения составляющих компонент и их числовые характеристики.
Проводя суммирование по соответствующим строкам и столбцам, получаем
-
Y
4
5
Х
3
10
12
p
0,55
0,45
p
0,27
0,43
0,3
Вычислим числовые характеристики:
Найденный коэффициент корреляции мал, следовательно, случайные величины X и Y слабо зависимы.
Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
1. Предмет математической статистики
Определение 1. Математической статистикой называется раздел мате-матики, изучающий методы получения, описания и обработки закономер-ностей массовых случайных событий.
Основной метод изучения случайных величин в математической ста-тистике является выборочным. Его идея состоит в том, что о тех или иных свойствах генеральной совокупности (общая совокупность объектов) судят на основании изучения свойств выборочной совокупности (выборки).
Пусть генеральная
совокупность состоит из N
объектов, подлежащих изучению относительно
некоторой случайной величины X
(размер, вес, брак и т.д.). Из этой
совокупности берётся выборка объёма n
и подвергается сплошному исследованию,
т.е. находятся значения
исследуемого приз-нака всех объектов,
входящих в выборку. По результатам
такого иссле-дования судят обо всей
генеральной совокупности.
К основным задачам математической статистики относятся:
1.
Задача определения закона распределения
случайных величин по статистическим
данным, т.е. приближенно найти функцию
распределения случайной величины Х,
которая приняла значения:
.
2. Приближенно найти (оценить) параметры закона распределения, т.е. математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики случайной величины.
3. Проверить ту или иную статистическую гипотезу, высказанную относительно закона распределения случайной величины. Например, что случайная величина имеет нормальное распределение.
4. По данным наблюдений случайных величин Х и Y оценить степень связи между ними. Например, что между ними имеется практически линейная связь.