5.3. Понятие о моментах св

Кроме математического ожидания и дисперсиипри-меняются и другие числовые характеристики СВ.

Определение 5. Начальным моментом k-го порядка СВ называется величина .

Тогда для дискретных СВ: .

Для непрерывных СВ: .

Определение 6. Центральным моментом k-го порядка СВ называется величина .

Тогда для дискретных СВ: .

Для непрерывных СВ: .

Легко проверить следующие соотношения:

и установить связь между начальными и центральными моментами:

.

Моменты характеризуют то или иное свойство СВ. Например, (дисперсия) характеризует рассеивание значений СВ около математического ожидания, асимметрию распределения и т.д.

Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св

6.1. Законы распределения дискретных случайных величин

6.1.1. Биномиальное распределение

Определение 1. Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли в виде таблицы

X	0	1	…	k	…	п
p			…		…

где Х  количество появлений события А в п повторных испытаниях, если вероятность его появления в каждом из испытаний не изменяется и равно р. Пусть  число появления события A в i-ом испытании, т.е.

	0	1
p	q	p

тогда и

Аналогично можно показать, что .

Пример 1. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. В каждой партии 5 изделий. Найти , гдеX - число партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверки подлежат 50 партий.

Вначале определим вероятность того, что в каждой партии окажется ровно 4 стандартных изделия

Тогда

6.1.2. Распределение Пуассона

Пусть в схеме Бернулли производится n опытов, в которых вероятность появления события А мала, а n велико и .

Определение 2. СВ X распределена по закону Пуассона, если вероят-ностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой

Пуассона , т.е. закон распределения имеет вид

X	0	1	…	k	…
p			…		…

Тогда .

Аналогично можно показать, что .

Пример 2. Автозавод отгрузил автомобилей. Вероятность повреждения автомобиля при транспортировке. Определить веро-ятность того, что автомагазин получит повреждённых автомобиля.

Вначале определим математическое ожидание .

Тогда

6.1.3. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а, значит, вероятность непоявления события А равна . Испытания заканчиваются в момент появления событияА. Следовательно, если событие А появи-лось в k-ом испытании, то в предыдущихk  1 испытаниях оно не появля-

лось, т.е. описываемое событие имеет вид .

Отсюда получим

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испы-таний, которые необходимо провести до появления события А. Таким образом СВ Х может принимать только значения 1, 2, 3, …

Определение 3. СВ X распределена по геометрическому закону, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой , т.е. закон распределения имеет вид

X	1	2	3	…	k	…
p	p			…		…

Нетрудно убедиться, что сумма всех вероятностей, как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равна

Тогда

Аналогично можно показать, что .

Пример 3. Студент может сдать экзамен по высшей математике с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что:

а) студент сдаст экзамен с третьей попытки;

б) студент сдаст экзамен за три попытки.

Имеем и вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки

Вероятность того, что студент сдаст экзамен за три попытки