Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды

4.1. Определение функционального ряда

Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом, т.е. это ряд вида

, (1)

где являются непрерывными функциями в областиD.

Определение 2. Множество значений x, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости данного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда .

Замечаем, что ряд содержит только положительные члены, поэтому применим признак Даламбера

Исследуем на концах интервала  ряд сходится. Область сходимости .

Аналогично, как и для числовых рядов, определяется сумма и остаток ряда

При этом, если ряд сходится, то .

4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 3. Функциональный ряд (1) равномерно сходится в некоторой области D к своей сумме , если, что придля всех.

Для определения равномерной сходимости удобно использовать

Критерий равномерной сходимости (теорема Вейерштрасса). Если все члены ряда (1) удовлетворяют неравенству

(2)

для любого x из некоторой области D и ряд , то ряд (1) сходится равномерно в этой области.

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд .

Так как и рядсходится, то рядсходится равномерно

Основные свойства равномерно сходящихся рядов:

1. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций на есть функция непрерывная в этой области.

2. Равномерно сходящийся ряд из непрерывных функций на можно почленно интегрировать и дифференцировать, если ряд, состав-ленный из производных, сходится равномерно.

Тема 5 : Степенные ряды

5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Определение 4. Функциональный ряд вида

(2)

называется степенным рядом, где

члены ряда;

коэффициенты ряда.

Замечание 1. Путём замены ряд (2) принимает вид, поэтому в дальнейшем можно считать, чтои рассматривать ряд

. (3)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (3) сходится при некотором значении , то он является сходящимся и причем абсолютно

- если ряд (3) расходится при некотором , то он расходится

Так как ряд сходится, тои.

Преобразуем ряд (3):

так как и ряд, как сумма бесконечно убывающей геометри-ческой прогрессии, сходится и причем абсолютно.

Пусть при некотором ряд (3) расходится. Тогда он будет расходиться при. Действительно, если бы в какой либо точке х ряд сходился, то из выше доказанного, он сходился бы и при , что по условию теоремы невозможно. Это противоречие доказывает вторую часть теоремы.

Следствие. Теорема Абеля позволяет определить расположение точек сходимости и расходимости степенного ряда: областью сходимости является интервал с центром в начале координат.

Определение.5. Число называется радиусом сходимости сте-пенного ряда, если ряд сходится прии расходится при, а интервалназывается интервалом сходимости.

Из теоремы следует, что интервалы сходимости рядов исовпадают. Тогда по признаку Даламбера получаем

Окончательно, .

Аналогично, используя радикальный признак Коши,

Замечание 2. Для нахождения области сходимости степенного ряда вначале необходимо найти интервал сходимости или непосредственно или по формуле вычислить радиус сходимости, а затем исследовать сходимость на концах интервала.

Из теоремы следуют свойства степенных рядов:

1. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, принад-лежащем интервалу сходимости.

2. В интервале сходимости степенной ряд сходится к непрерывной функции и его можно почленно интегрировать и дифференцировать. При этом ряд, составленный из производных, имеет тот же радиус сходимости, что и данный ряд.

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда .

Вычислим

Область сходимости совпадает с интервалом сходимости

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда

Воспользуемся общим подходом

Решая это неравенство, получим Исследуем сходимость на концах интервала:

При получаем числовой ряд, который сходится как обобщенный гармонический с.

При получаем такой же ряд.

Окончательно, областью сходимости является отрезок