3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

При больших значениях n формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.

Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при большихп приближенно равна значению функции

, где при. (2)

Значения функции берутся из таблиц, при этом- четная функция, т.е..

Пример 2. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероят-ность того, что среди 100 новорожденных окажется половина мальчиков.

Вероятность такого события вычисляем по формуле (2) при и. Имеем

где значение взято из таблицы значений функции.

3.3. Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится п независимых испытаний. Как найти вероятность того, что событиеА появится в п испытаниях не менее раз и не болеераз? Формулойпользоваться не удобно. Ответ даёт

Теорема 2. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при большихп приближенно равна

,

где

(3)

Для приближенного вычисления данного интеграла

(функция Лапласа)

имеются таблицы, при этом функция нечетная, т.е. .

Тогда

.

Замечание 2. Погрешность вычислений вероятностей по формулам (2) и (3) имеет порядок .

Пример 3. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, среди 400 отобранных наудачу деталей окажется непроверенных от 70 до 100.

Вычислим

Тогда

3.4. Теорема Пуассона

Из замечания 2 следует, что точность вычисления вероятностей тем хуже, чем меньше р или q. Возникает задача отыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для этого случая. Такая формула была получена Пуассоном.

Теорема 3. Если число испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то имеет место приближенная формула

или , (4)

где  среднее число появлений события А в п испытаниях.

Замечание 3. Можно проверить, что при больших п справедливо равенство

Пример 4. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, среди 400 изготовленных деталей окажется пять бракованных.

Так как число испытаний велико, а вероятностьмала, то воспользуемся формулой (4). Найдёми тогда

Замечание 4. Для удобного использования формулы Пуассона также существуют таблицы для . Есть таблицы и для вычисления вероятностей вида

(5)

причем поскольку в формуле Пуассона число испытаний достаточно велико, то п можно не писать, т.е. и

Пример 5. Вероятность того, что деталь будет забракована, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 изготовленных деталей будет не больше пяти забракованных.

Очевидно, что поэтому можем воспользо-ваться формулою (5). Из таблицы, учитывая, чтои, нахо-димСледовательно, искомая вероятность равна

3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний с постоянной веро-ятностью р. Требуется найти вероятность того, что отклонение частоты отр по абсолютной величине не превосходит данного , т.е.

Преобразуем неравенство в скобках

и умножим полученное неравенство на

Полагая в формуле (3) и учитывая нечетность функции Лапласа, получаем

. (5)

Пример 5. Вероятность изготовления фарфоровой посуды высшего ка-чества равна . Найти вероятность того, что в партии из 600 изделий частота изготовления посуды высшего качества отклонится от вероятности не более чем на0,05.

Подставим данные задачи в формулу (5)

Пример 6. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти число испытаний п, при котором с вероят-ностью 0,9876 можно ожидать, что

Подставим данные задачи в формулу (5)

По таблице значений функции Лапласа находим соответствующее значение аргумента