- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
Р Я Д Ы
Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
1.1. Числовой ряд и его сумма
Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение
(1)
которое называется числовым рядом. Числа называютсячленами ряда, а выражение общим членом ряда.
Пример 1. Найти общий член ряда .
При ,
при ,
при
Нетрудно заметить, что общий член ряда .
Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом
.
Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:
;
;
;
…
.
Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.
Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.
Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся, если , где числоназываетсясуммой ряда, и пишут . Если
предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 2. Проверить на сходимость ряд .
Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму представим общий членрядав виде суммы простейших дробей
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В
Отсюда находим, что , а.
Следовательно, общий член ряда имеет вид
Тогда частичную сумму можно представить в виде
.
После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид
.
Вычислим сумму ряда
Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.
Пример 2. Проверить на сходимость ряд
бесконечную геометрическую прогрессию.
Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна .
Тогда имеем следующие случаи:
1. Если , то
2. Если , то, т.е. ряд расходится.
3. Если , то ряд имеет види тогда, т.е. ряд расходится.
4. Если , то ряд имеет види тогда, если частичная сумма имеет четное число членов и, если нечётное число, т.е.не существует, следовательно, ряд расходится.
Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается , т.е..
Так как для сходящихся рядов , то,
т.е. будет б.м.в. при. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.
Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:
1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q, то сходится ряд , где, а его сумма равнаA S + B Q.
2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного
ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.
1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е..
Действительно, имеем
,
тогда , что и требовалось доказать.
Следствие. Если же , то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.
Определение 5. Ряд вида называется гармоническим.
Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как .
В то же время он является расходящимся. Покажем это
Таким образом, гармонический ряд расходится.