Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
cd747 / ЧАСТЬ-3.doc
Скачиваний:
50
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
4.97 Mб
Скачать

Р Я Д Ы

Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости

1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называется числовым рядом. Числа называютсячленами ряда, а выражение общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда .

При ,

при ,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

;

;

.

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся, если , где числоназываетсясуммой ряда, и пишут . Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд .

Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму представим общий членрядав виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что , а.

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна .

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если , то

2. Если , то, т.е. ряд расходится.

3. Если , то ряд имеет види тогда, т.е. ряд расходится.

4. Если , то ряд имеет види тогда, если частичная сумма имеет четное число членов и, если нечётное число, т.е.не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается , т.е..

Так как для сходящихся рядов , то,

т.е. будет б.м.в. при. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q, то сходится ряд , где, а его сумма равнаA S + B Q.

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е..

Действительно, имеем

,

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же , то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим.

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как .

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке cd747