Интегральное исчисление Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл

1.1. Первообразная и неопределённый интеграл

Ранее для заданной функции мы находили производную. Теперь рассмотрим обратную задачу: Известна производная. Требуется найти, которая называется первообразной.

С точки зрения механики – по скорости требуется восстановить движение материальной точки.

Определение 1. Функция называется первообразной на некотором промежутке для функции , еслидля всехх из этого промежутка.

Пример 1. Если , тополучаем, так как. Кроме того, замечаем, что первообразными будут являться также функциии т.д.

Таким образом, первообразные отличаются на константу.

Теорема. Если ипервообразные на, товыполняется, где.

Обозначим и применим к этой функции теорему Лагранжа:, так как, то.

Замечание 1. Если первообразную определить на некотором множестве, а не промежутке, то данная теорема, вообще говоря, неверна, что видно из примера:

Две функции являются первообраз-ными для функции. Однако, их разность

Определение 2. Множество всех первообразных на некотором проме-жутке называется неопределённым интегралом от функции и обозна-чается

.

Выражение называетсяподынтегральным. Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием функции .

С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет собой множество кривых , получаемых путём сдвига одной из них параллельно самой себе вдоль осиОу.

1.2. Основные свойства неопределённого интеграла

1. .

Действительно, .

2. .

Действительно, .

3. Свойство линейности: , где.

Продифференцируем обе части этого равенства.

Для левой части получаем .

Для правой: .

4. , где.

Доказывается аналогично дифференцированием.

1.3. Таблица неопределённых интегралов

Непосредственным дифференцированием можно проверить следующие формулы:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

7. 11.

8. 12.

9. 13.

10. 14.

Замечание 2. Используя свойство 4, таблицу неопределённых интегралов можно расширить. Например, .

С помощью этой таблицы можно находить некоторые интегралы.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

1.4. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки)

Пусть функция является дифференцируемой и имеет обратную функцию. Тогда имеет место формула, которая проверяется дифференцированием:

. (1)

Действительно, продифференцируем левую часть: ,

Затем продифференцируем правую часть

= (по правилу дифференцирования сложной функции) == (по правилу дифференцирования обратной функции) =.

Замечание 3. Функцию следует выбирать так, чтобы интеграл в правой части формулы (1) можно было найти.

Замечание 4. В практике нахождений интегралов константу С не пишут для каждого интеграла, так как они в конечном итоге будут входить в окончательный ответ, содержащий произвольную константу.

Замечание 5.Часто более целесообразно применять замену переменной в виде . Это в том случае, когда интеграл можно представить в виде. Например,

.

Пример 4.

.

Пример 5. .

Пример 6.

Пример 7. Найдите ошибку:

На основании свойства 4 имеем

.

С другой стороны

Отсюда следует