- •Интегральное исчисление Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •Лекция № 26
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 27
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 28
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
- •Лекция № 29. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •4. .
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 30
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 31. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 32
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
- •Функции нескольких переменных Лекция № 33. Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производная сложной функции
- •2.4. Производная по направлению
- •2.5. Градиент функции
- •Лекция № 35
- •2.6. Касательная и нормаль к поверхности
- •Тема 3* : Векторная функция скалярного аргумента
- •3.1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
- •3.2. Производная векторной функции
- •. Лекция № 36. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных
- •4.1. Необходимые условия экстремума
- •4.2. Достаточные условия экстремума
- •4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
- •Лекция № 37
- •4.4. Условный экстремум
- •4.5. Метод наименьших квадратов
- •Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 39
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 40. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 41
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Лекция № 42
- •4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений
Лекция № 27
1.8. Интегрирование рациональных дробей
На основании рассмотренной в предыдущей лекции теоремы преобра-зуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла сводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числи-телях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.
Пример 1. .
Преобразуем подынтегральную функцию, представив её как сумму простейших дробей
.
Определим коэффициенты . Для этого приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателя и приравняем числители дробей в правой и левой частей полученного равенства
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (метод неопределённых коэффициентов), приходим к системе
Упростим систему, учитывая, что ,
Из первых двух уравнений получаем , из первого и третьего и,.
Тогда наш интеграл приводится к нахождению интегралов
.
1.9. Интегрирование тригонометрических функций
1.9.1. Интегралы вида , гдеR рациональная функция,
приводятся к интегралу от рациональной функции путём замены , которая называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой. Это достигается тем, что ивыражаются черезрационально:
(1)
Пример 2. (воспользуемся формулами (1)) =
.
Замечание. Использование такой подстановки часто приводит к громоздким выражениям. Эта подстановка, как правило, эффективна, если ивходят в дробное выражение в первой степени.
1.9.2. Интегралы вида с помощью подстановок:соответственно приводятся к интегралам от рациональной функции.
Пример 3.
.
1.9.3. Интегралы вида .
В этом случае применяется замена , так какивыражаются черезрационально:, или используются тригонометрические формулы понижения степени.
Пример 4.
.
1.9.4. Интегралы вида , где среди показателейт и п по крайней мере одно нечетное.
В этом случае за новую переменную принимается та функция, которая содержит чётную степень, либо любая, если все функции в нечётных степенях.
Пример 5.
.
1.9.5. Интегралы вида.
Эти интегралы находятся с использованием формул:
Пример 6.
.
Лекция № 28
1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим только некоторые частные случаи, когда интеграл от иррациональной функции выражается через элементарные функции.
1.10.1. Интегралы вида .
Если , то подстановка имеет види тогда. После чего интегрирование сводится к интегрированию рациональных дробей.
Пример 1.
Замечание 1. Если выражение под знаком радикала линейное, т.е. имеет вид , то из свойства4 следует, что мы вправе применить тот же подход.
Пример 2.
1.10.2. Интегралы вида .
Аналогично, если , то подстановкатакже приводит к интегрированию рациональных дробей.
Пример 3.
.
1.10.3*. Интегралы вида .
Преобразуем выражение под знаком радикала. Если за знак радикала вынести , то получим. Выполнив замену, приходим к трём случаям:
Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно. Естественно, случай не рассматривается.
1. Интегралы вида .
Заменой такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции.
Пример 3.
.
2. Интегралы вида
В этом случае используется замена .
Пример 4.
.
3. Интегралы вида .
Рационализация подынтегрального выражения достигается заменой .
Пример 5.