- •Интегральное исчисление Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •Лекция № 26
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 27
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 28
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
- •Лекция № 29. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •4. .
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 30
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 31. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 32
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
- •Функции нескольких переменных Лекция № 33. Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производная сложной функции
- •2.4. Производная по направлению
- •2.5. Градиент функции
- •Лекция № 35
- •2.6. Касательная и нормаль к поверхности
- •Тема 3* : Векторная функция скалярного аргумента
- •3.1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
- •3.2. Производная векторной функции
- •. Лекция № 36. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных
- •4.1. Необходимые условия экстремума
- •4.2. Достаточные условия экстремума
- •4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
- •Лекция № 37
- •4.4. Условный экстремум
- •4.5. Метод наименьших квадратов
- •Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 39
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 40. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 41
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Лекция № 42
- •4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений
Лекция № 26
1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
Рассмотрим интегралы вида . Они с помощью заменыприводятся к известным интегралам.
Пример 1.
.
Замечание 1. Если для первого из рассмотренных интегралов квадрат-ный трёхчлен имеет действительные корни, то более целесообразно преобразовать подынтегральную функцию, представив её как сумму алгебраических дробей со знаменателями–множителями в разложении квадратного трёхчлена. Более подробно об этом будет рассмотрено в следующей лекции.
Пример 2. Найти интеграл .
Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Определим коэффициенты А и В, выполнив сложение дробей и приравняв числители дробей правой и левой частей равенства:
.
Приравнивая коэффициенты при х и свободные члены, получим
откуда .
Тогда имеем
1.6. Интегрирование по частям
Пусть u и v дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула
. (1)
Проинтегрировав выражение (1), получаем формулу интегрирования по частям
. (2)
Формула (2) применяется при нахождении интегралов от функций вида:
и некоторых других.
Пример 3.
.
Пример 4. Найти интеграл . Воспользуемся формулой (2) дважды.
1.7. Многочлены и рациональные дроби
Вначале напомним некоторые положения из алгебры.
Рассмотрим многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами. Если, тоназывается корнем многочлена. Согласно основной теоремы алгебры любой такой многочлен можно представить в виде
(3)
где действительные корни кратности, квадратичные множители в формуле (3) действительных корней не имеют и.
Пример 5. Представить в виде (3) многочлен .
Здесь и.
Определение 1. Рациональной функцией или дробью называется функция вида
. (4)
При этом будем считать, что (это всегда можно сделать путём деления числителя и знаменателя на) и. Такая рациональная дробь называется правильной рациональной дробью.
В противном случае, нужно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель, т.е. представить дробь в виде
,
где многочлен степени , а многочлен степени меньше .
Пример 6. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби
.
Выполним деление многочленов
Таким образом, дробь можно представить в виде
.
Определение 2. Рациональные дроби вида
1. ;2. 3. 4.
называются простейшими дробями.
Интегралы от дробей 1-2 являются табличными. Интеграл от дроби 3 был уже рассмотрен в пункте 1.5. Интеграл от последней дроби путём замены приводится к известному интегралу и интегралу вида, для вычисления которого с помощью формулы интегри-рования по частям можно получить рекуррентную формулу
.
Например, если , то имеем
.
Таким образом, нахождение интегралов от простейших дробей не представляет принципиальных трудностей.
В алгебре доказывается следующая теорема.
Теорема. Если в правильной рациональной дроби знаменатель можно представить разложением (3), то её можно разложить на сумму простейших дробей, т.е.
.
С использованием этой теоремы преобразуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла приводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числителях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.
Пример 7. Для выражения, полученного в примере 6, имеем
.
Коэффициенты определим методом неопределённых коэф-фициентов. Выполним сложение дробей и приравняем числители правильной дроби в левой части и результата сложения дробей (числителя) в правой части
.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений
из которой следует . Окончательно получим
.